人教版九下数学新课标教学课件27.2.5相似三角形应用举例（课件）

27.2.5相似三角形应用举例九年级下人教版学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.

学习目标重点难点金字塔亚马逊河在只有小镜子、标杆、皮尺等基本测量工具的情况下，你知道怎样测量金字塔的高度和河流的宽度吗？新课引入据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.新知学习例1如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.解：∵太阳光是平行的光线，因此∠BAO=∠EDF.又∵∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴，=134(m).∴因此金字塔的高度为134m.归纳表达式：物1高:物2高=影1长:影2长测高方法一：

测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.思考还可以有其他测量方法吗？AFEBO┐┐OBEF=OAAF△ABO∽△AEFOB=OA·EFAF平面镜C入射光线反射光线∠EAC=∠BAC∠EAF=∠BAO∠EAF=∠EAO入射角=反射角测高方法二：

测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.“在同一时刻物高与影长成正比例”和“利用镜子的反射测量高度”这两种方法都用到相似三角形的性质测量高度表达式：物1高:物2高=物1镜距:物2镜距针对训练1.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为90m，这栋楼的高度是多少？解：设这栋楼的高度是

xm．由题意得解得

x=54.因此这栋楼的高度是54m.2.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚底下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部．这时

∠LMK等于∠SMT吗？如果王青身高

1.55m，她估计自己眼睛离地面

1.50m，同时量得

LM=30cm，MS=2m，这栋大楼有多高？解：根据题意，∵∠KLM=∠TSM=90°，∠KML=∠TMS，∴△KLM∽△TSM，∴即∴TS=10(m

)所以这栋大楼高为

10m．入射角等于反射角二

利用相似三角形测量宽度例2

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得

QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.PRQSbTaPQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90.因此，河宽大约为90m.PRQSbTa∴

，解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST.即

，45m90m60m思考还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？例3如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．

此时如果测得BD=80m，DC=30m，EC=24m，求两岸间的大致距离AB．EADCB30m24m80m解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，

∴△ABD

∽

△ECD.

∴

，即，解得AB=64.因此，两岸间的大致距离为64m.

EADCB30m24m80m归纳

测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.针对训练1.如图，测得BD＝120m，DC＝60m，EC＝50m，则河宽AB为（）A.120mB.100mC.75m D.25mB三

利用相似解决有遮挡物问题例4如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距离地面1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了?分析：如图，设观察者眼睛的位置(视点)为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB，CD于点H，K.视线FA，FG的夹角∠AFH是观察点A的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角，由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域(盲区)之内.再往前走就根本看不到C点了.由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，就看不到右边树的顶端C.

解：如图，假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E

与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.∴△AEH∽△CEK.∴，即解得EH=8.针对训练1.如图，路灯灯柱OP的长为8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿AO所在的直线行走14米到达点B处，人影的长度变短了多少？解：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y，∵AD//OP，BC//OP，∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，∴则

，∴x-y=3.5，故变短了3.5米．随堂练习1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为

米．22.5解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，则EF长度为河宽，∵AB∥CD，∴△PDC∽△PBA，∴∴，即EF=22.5AFBCEDP如图，在RT△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时点P从A点开始在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C移动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．设点Q，P移动的时间为t秒．(1)设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式．解：∵BC=8，AC=6，得AB=10，∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，∴△QHA∽△BCA，∴

即

，∴H(2)当t为何值时，△APQ与△ABC相似.解：当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，∴

，当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，∴