专题6.1 数列的概念与简单表示法（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题6.1数列的概念与简单表示法【九大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1由an与Sn的关系求通项或项】 4【题型2累加法求通项公式】 4【题型3累乘法求通项公式】 5【题型4构造法求通项公式】 6【题型5数列的周期性】 6【题型6数列的单调性】 6【题型7数列的最大（小）项】 7【题型8数列中的规律问题】 8【题型9数列的恒成立问题】 91、数列的概念与简单表示法考点要求真题统计考情分析(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数2021年北京卷：第10题，4分数列是高考的热点内容，属于高考的必考内容.从近几年的高考情况来看，高考中对数列的概念的考查相对较少，考查题型以选择题、填空题为主，难度不大，重点是考查数列的单调性、周期性与最值等内容.【知识点1数列的概念与基本知识】1．数列的定义一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.2．数列的分类分类标准名称含义举例按项的

个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,…,n无穷数列项数无限的数列1,0,1,0,1,0,…按项的

变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一

项的数列3,4,5,6,…,n+2递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一

项的数列-1,-2,-3,…,-n常数列各项相等的数列0,0,0,0,…摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一

项，有些项小于它的前一项的数列1,-2,3,-4,…3．数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4．数列的递推公式(1)递推公式的概念如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.(2)对数列递推公式的理解①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：基础——数列{}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.5．数列表示方法及其比较优点缺点通项

公式法便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究一些数列用通项公式表示比较困难列表法内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难图象法能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势数列项数较多时用图象表示比较困难递推

公式法可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系不容易了解数列的全貌，计算也不方便6．数列的前n项和数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.

如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.

=.【知识点2数列的通项公式的求解策略】1．由an与Sn的关系求通项：(1)已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解.方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.2．由数列的递推关系求通项公式：(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项.(3)构造法：①形如an+1=pan+q的递推关系式可以化为(an+1+x)=p(an+x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.②形如(A,B,C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.【知识点3数列的性质有关问题的解题策略】1．数列周期性问题的解题策略：解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和.2．求数列最大项与最小项的常用方法(1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大(小)项，否则，利用作差法.(2)利用确定最大项，利用确定最小项.【方法技巧与总结】1．若数列{}的前n项和为，通项公式为，则=.2．在数列{}中，若最大，则；若最小，则.【题型1由an与Sn的关系求通项或项】【例1】（2024·四川·模拟预测）已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2n−1−12，则数列an的通项公式为（

）A．an=1C．an=(−2)【变式1-1】（2024·陕西·模拟预测）已知数列an满足k=1nak2k−1A．2024 B．2023 C．4047 D．4048【变式1-2】（2024·四川·三模）已知数列an满足2a1+2A．an=1,n=1C．an=n 【变式1-3】（2024·江苏·一模）已知正项数列an满足1a1a2+1A．13 B．1 C．32【题型2累加法求通项公式】【例2】（23-24高二·全国·单元测试）已知数列an满足a1=3，an+1=A．4+1n B．4−1n C．【变式2-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知正项数列an中，a1=2，an+1A．n2−n+2 C．2n2 D．【变式2-2】（2024·陕西咸阳·三模）在数列an中，a1=1，an+1=A．43 B．46 C．37 D．36【变式2-3】（2023·山西·模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列an，则（

A．a6=16 C．2an+1=【题型3累乘法求通项公式】【例3】（2024高三下·全国·专题练习）在数列an中，a1=13，前n项和SA．12n−12n+1 B．3n−22n+1 C．2−【变式3-1】（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知数列an的项满足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．【变式3-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知Sn是数列{an}的前n项和，a1=1，A．an=2C．an=3【变式3-3】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知a1=2，an=naA．n B．n+1 C．2n D．n+1【题型4构造法求通项公式】【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列an中，a1=2，an+1A．−3n−53n−2 B．3n2−n 【变式4-1】（2024·广东茂名·一模）已知Tn为正项数列an的前n项的乘积，且a1=2,TA．16 B．32 C．64 D．128【变式4-2】（23-24高一下·上海·期末）数列an满足a1=2,an+1=3【变式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若数列an(n∈N∗)的前n项和为Sn，a1=1【题型5数列的周期性】【例5】（2024·辽宁·模拟预测）数列an中，a1=4，a2=3，aA．14 B．34 C．3 【变式5-1】（2024·山东济宁·三模）已知数列an中，a1=2，aA．−2 B．−1 C．1 D．2【变式5-2】（2024·四川宜宾·二模）在数列an中，已知a1=2,a2A．3 B．2 C．1 D．0【变式5-3】（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知数列an，若an+1=an+an+2n∈N∗，则称数列anA．0 B．1 C．－5 D．－1【题型6数列的单调性】【例6】（2024·北京西城·三模）对于无穷数列{an}，定义dn=an+1−aA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式6-1】（2024·江西·模拟预测）已知数列an满足an=n−aa∈R，则“a≤1”是A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式6-2】（2024·江西·二模）已知数列an的首项a1为常数且a1≠23，an+1A．−23,C．0,23 【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知数列an满足a1=t,an+1−2aA．−1,1 B．−∞,0 C．−1,1 【题型7数列的最大（小）项】【例7】（23-24高三上·重庆·阶段练习）数列an、bn满足：a1=8，an−aA．第7项 B．第9项C．第11项 D．第12项【变式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若数列an的前n项积bn=1−27A．−13 B．57 C．2【变式7-2】（2024·安徽·模拟预测）已知数列an是递增数列，且an∈N∗，数列an的前n项和为SnA．5 B．6 C．7 D．8【变式7-3】（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知数列an=(n+1)(−A．anB．anC．anD．an【题型8数列中的规律问题】【例8】（2024·全国·模拟预测）公元前6世纪，希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫作“形数”．用3颗石子可以摆成一个正三角形，同样用6颗石子或者10颗石子可以摆成更大的三角形．毕达哥拉斯学派把1，3,6,10等叫作“三角数”或“三角形数”．同时他们还摆出了正方形数、五边形数、六边形数和其他多边形数．如图所示即摆出的六边形数，那么第20个六边形数为（

）A．778 B．779 C．780 D．781【变式8-1】（2023·海南·模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10项分别为0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,⋯，据此可以推测，该数列的第15项与第60项的和为（

）A．1012 B．1016 C．1912 D．1916【变式8-2】（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b与“弦”c之间的关系为a2+b2=c2（其中a≤b）．当a,b,c∈A．145 B．181 C．221 D．265【变式8-3】（2024·四川·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（

）A．12 B．13 C．40 D．121【题型9数列的恒成立问题】【例9】（23-24高三上·湖北襄阳·期末）数列an中，a1=a(a>0),2n−1aA．3 B．6 C．12 D．15【变式9-1】（23-24高三上·浙江·阶段练习）定义maxa,b=a,a≥bb,a<b．若数列an的前n项和为Sn=λn2+20+λnλ∈A．−4,−3 B．−3,−2C．−23,−【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）设数列an的前n项和为Sn，且Sn+1+Sn=n2【变式9-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知数列an的通项公式为an=2n−1.若对于任意n∈N∗，不等式2一、单选题1．（2024·山东济南·三模）若数列an的前n项和Sn=n(n+1)，则aA．10 B．11 C．12 D．132．（2024·辽宁·二模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第30项为（

）A．366 B．422 C．450 D．6003．（2024·天津南开·二模）设数列an的通项公式为an=n2+bn，若数列A．−3,+∞ B．−2,+∞ C．−2,+∞4．（2024·西藏·模拟预测）已知数列an对任意k∈N*满足ak⋅A．21012 B．21013 C．220245．（2024·重庆九龙坡·三模）正整数1,2,3,⋯,n的倒数的和1+12+13+⋯+1n已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，1+12+13+⋯+1（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，A．10 B．9 C．8 D．76．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）数列an前n项和为Sn，且an=33n−13，则关于A．an，Sn都有最小值 B．anC．an，Sn都无最小值 D．an7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数fx=3x−13x+1，数列an满足aA．1 B．2 C．3 D．48．（2024·四川绵阳·二模）已知数列an的前n项和为Sn，且SnA．an<an+1 B．Sn>二、多选题9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知数列an满足a1=1，an+1=A．a3=2−22C．an+1≤n+110．（2024·福建泉州·模拟预测）数列{an}(n∈N∗)的前n项和为SnA．a3=2 C