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文档简介
数
学6.2复数的运算第六单元
复数拓展模块(一)人民教育出版社第六单元
复数6.2复数的运算学习目标知识目标理解复数的加法、减法、乘法的概念;能力目标学生运用自主探讨、合作学习,理解复数加法、减法的几何意义,理解复数加法、减法结果的特点,理解并掌握复数乘法的运算律及其运算方法,提高其发现问题、分析问题及解决问题能力,培养学生逻辑思维能力;情感目标通过本节课学习,使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质核心素养通过思考、讨论等活动,直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.在初中,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?创设情境,生成问题活动1问题提出设z1=1+i,z2=2-2i,z3=-2+3i,你认为(z1+z2)与(z1+z2)+z3的值应该等于多少?由此尝试给出任意两个复数相加得运算规则.在初中,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?调动思维,探究新知活动2抽象概括
1.复数的加法一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1+z2为z1与z2的和,并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.在初中,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?调动思维,探究新知活动2
例如,对于上述“探索研究”中的三个复数来说,有z1+z2=(1+i)+(2-2i)=(1+2)+(1-2)i=3-i,类似地,可以算出(z1+z2)+z3=(3-i)+(-2+3i)=1+2i.显然,两个复数的和仍然是复数.复数的加法运算满足交换律与结合律,即z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).在初中,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?调动思维,探究新知活动2探索研究1设z1=2+2i,z2=-1-4i,求出z1+z2,并在复平面内分别作出z1,z2,z1+z2所对应的向量.猜想并归纳复数加法的几何意义.在初中,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?调动思维,探究新知活动2由复数与向量之间的对应关系可以得出复数加法的几何意义:如果复数z1,z2所对应的向量分别为.则当与不共线时,以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2.则z1+z2所对应的向量就是,如图6-5所示.在初中,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?调动思维,探究新知活动22.复数的减法
探索研究2设z1=5+8i,z2=5-3i,猜测z2的相反数以及z1-z2的值.在初中,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?调动思维,探究新知活动2
一般地,复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z,并规定-z=(a+bi)=-a-bi.
复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2).例如,上述“探索研究”中z2的相反数为-z2=-(5-3i)=-5+3i,因此,z1-z2=z1+(-z2)=(5+8i)+(-5+3i)=11i.在初中,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?调动思维,探究新知活动2
一般地,如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.显然,两个复数的差仍然是复数.但两个复数的差一般不满足交换律,即一般来说,z1-z2≠z2-z1.如果复数所对应的向量为与,设点Z满足,则z1-z2所对应的向量就是,如图所示.在初中,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?调动思维,探究新知活动23.复数的乘法
探索研究3设z1=3,z2=1-2i,z3=-5i,你认为的值与的值分别等于多少?由此尝试给出两个复数相乘的运算规则.在初中,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?调动思维,探究新知活动2
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i.为了算出两个复数的积,只需要按照多项式乘法的方式进行,并利用i2=-1即可.在初中,我们用过“自然数集”“有理数集”等表述,这里的“集”就是集合的简称,那么什么是集合呢?调动思维,探究新知活动2
例如,对于上述“探索研究3”中的三个复数来说,有z1z2=3(1-2i)=3-6i,z2z3=(1-2i)(-5i)=-5i+10i2=-10-5i.显然,两个复数的积仍然是复数.复数的乘法运算满足交换律与结合律,且对加法满足分配律,即
,,
例1已知
a,b∈R,求证:(a+bi)(a-bi)=a2+b2.巩固练习,提升素养活动3
例1已知
a,b∈R,求证:(a+bi)(a-bi)=a2+b2.
证明根据复数乘法的定义有
(a+bi)(a-bi)=a2-abi+bai-b2i2
=a2+b2.巩固练习,提升素养活动3
例1的结论可以总结为
n个相同的复数z相乘时,仍称为
z
的
n
次方(或
n次幂),记可以验证,当
m,n
均为正整数时,
zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.
巩固练习,提升素养活动3
由此可知
(5i)2=52×i2=-25,
i3=i2×i=-i,
i4=i2×i2=(-1)×(-1)=1.
巩固练习,提升素养活动3
需要说明的是,以前我们所学过的完全平方公式、平方差公式等数来说也是成立的,即
(z1+z2)2=z12+2z1z2+z22,
z12-z22=(z1+z2)(z1-z2).
例如,例1也可按如下方式计算.
(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2.
巩固练习,提升素养活动3
例2计算
(1+i)2
与
(1-i)2
的值.巩固练习,提升素养活动3
例2计算
(1+i)2
与
(1-i)2
的值.
解
(1+i)2=12+2i+i2=2i.
(1-i)2=12-2i+i2=-2i.巩固练习,提升素养活动3
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