2025届湖南省长沙市开福区第一中学高一数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2025届湖南省长沙市开福区第一中学高一数学第一学期期末考试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.2．将函数的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为A. B.C. D.3．函数的零点个数为A.1 B.2C.3 D.44．下列区间是函数的单调递减区间的是（）A. B.C. D.5．已知集合，集合，则（）A.0 B.C. D.6．“”是“”的条件A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分也不必要条件7．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，，则、、的大小关系为（）A. B.C. D.8．设函数与的图象的交点为，，则所在的区间是A. B.C. D.9．若则一定有A. B.C. D.10．若定义在R上的偶函数满足，且当时，f(x)=x,则函数y=f(x)-的零点个数是A.6个 B.4个C.3个 D.2个二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设函数，若关于的不等式的解集为，则__________12．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为_____13．已知集合A={0,1,2,3,4,5}，集合B={1,3,5,7,9}，则Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为________14．已知，，且，则的最小值为______15．当，，满足时，有恒成立，则实数的取值范围为____________16．若函数是定义在上的严格增函数，且对一切x，满足，则不等式的解集为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．现有银川二中高一年级某班甲、乙两名学生自进入高中以来的历次数学成绩（单位：分），具体考试成绩如下：甲：、、、、、、、、、、、、；乙：、、、、、、、、、、、、（1）请你画出两人数学成绩的茎叶图；（2）根据茎叶图，运用统计知识对两人的成绩进行比较.（最少写出两条统计结论）18．已知是定义在上的奇函数，当时，（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.19．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足19万件时，（万元），在年产量大于或等于19万件时，（万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？20．已知函数且.(1)求函数的定义域；(2)判断的奇偶性并予以证明;(3)若0＜a＜1,解关于x的不等式.21．在①“xA是xB的充分不必要条件；②；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合，.（1）当a=2时，求；（2）若选，求实数a的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】计算的取值范围，比较范围即可.【详解】∴，，.∴.故选：A.2、A【解析】由题意利用函数的图象变换法则，即可得出结论【详解】将函数的图象向右平移个的单位长度，可得的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为，故选【点睛】本题主要考查函数的图象变换法则，注意对的影响3、C【解析】令，得到，画出和的图像，根据两个函数图像交点个数，求得函数零点个数.【详解】令，得，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，也即有个零点.故选C.【点睛】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4、D【解析】取，得到，对比选项得到答案.【详解】，取，，解得，，当时，D选项满足.故选：D.5、B【解析】由集合的表示方法以及交集的概念求解.【详解】由题意，集合，，∴.故选：B6、A【解析】若,则；若,则,推不出．所以“”是“”成立的充分不必要条件．故选A考点：充分必要条件7、D【解析】分析可知函数在上为增函数，比较、、的大小，结合函数的单调性与偶函数的性质可得出结论.【详解】因为偶函数在上为减函数，则该函数在上为增函数，，则，即，，，所以，，故，即.故选：D.8、A【解析】设，则，有零点的判断定理可得函数的零点在区间内，即所在的区间是．选A9、D【解析】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选10、B【解析】因为偶函数满足，所以的周期为2，当时，，所以当时，，函数的零点等价于函数与的交点个数，在同一坐标系中，画出的图象与的图象，如上图所示，显然的图象与的图象有4个交点．选B.点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，是中档题．根据函数零点和方程的关系进行转化是解答本题的关键二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据不等式的解集可得、、为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解.【详解】由于满足，即，可得，所以，，所以，方程的两根分别为、，而可化为，即，所以，方程的两根分别为、，，且不等式解集为，所以，，解得，则，因此，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解、、分别为方程、的根，而两方程含有公共根，进而可得出关于实数的等式，即可求解.12、【解析】由指数函数图象所过定点求出，利用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式得出最小值．【详解】令，，则，∴定点为，，，当且仅当时等号成立，即时取得最小值.故答案为：．【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，考查用基本不等式求最值．“1”的代换是解题关键．13、3【解析】由集合定义，及交集补集定义即可求得.【详解】由Venn图及集合的运算可知，阴影部分表示的集合为∁又A={0,1,2,3,4,5}，B={1,3,5,7,9}，∴A∩B={1,3,5}，∴即Venn图中阴影部分表示的集合中元素的个数为3故答案为：3.14、6【解析】由可知，要使取最小值，只需最小即可，故结合，求出的最小值即可求解.【详解】由，，得（当且仅当时，等号成立），又因，得，即，由，，解得，即，故.因此当时，取最小值6.故答案为：6.15、【解析】根据基本不等式求得的最小值，由此建立不等式，求解即可.【详解】解：，，则，∴，当且仅当，即：时取等号，∴，∴，∴实数的取值范围为故答案为：.16、【解析】根据题意，将问题转化为，，再根据单调性解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数对一切x，满足，所以，，令，则，即，所以等价于，因为函数是定义在上的严格增函数，所以，解得所以不等式的解集为故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）图见解析（2）答案见解析【解析】（1）直接按照茎叶图定义画出即可；（2）通过中位数、平均数、方差依次比较.【小问1详解】甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示：【小问2详解】①从整体分析：乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是；甲同学的得分情况，也大致对称，中位数是；②平均分的角度分析：甲同学的平均分为，乙同学的平均分为，乙同学的平均成绩比甲同学高；③方差（稳定性）的角度：乙同学的成绩比较稳定，总体情况比甲同学好.18、（1）（2）.【解析】（1）当时，，利用，结合条件及可得解；（2）分析可得在上递增，进而得，从而得解.【详解】（1）当时，，则，为上的奇函数，且，；（2）因为当时，，所以在上递增，当时，，所以在上递增，所以在上递增，因为，所以由可得，所以不等式的解集为19、（1）；（2）当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元【解析】（1）根据题意，分、两种情况可写出答案；（2）利用二次函数和基本不等式的知识，分别求出、时的最大值，然后作比较可得答案.【详解】（1）因为每件商品售价为25元，则万件商品销售收入为万元，依题意得，当时，，当时，，所以；（2）当时，，此时，当时，取得最大值万元，当时，万元，此时，当且仅当，即时，取得最大值180万元，因为，所以当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元20、(1)(2)奇函数.（3）【解析】（1）根据对数的真数应大于0，列出不等式组可得函数的定义域；（2）函数为奇函数，利用可得结论；（3）不等式等价于，利用对数函数的单调性得，解不等式即可.试题解析：（1）由题得,所以函数的定义域为;（2）函数为奇函数.证明:由（1）知函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数;(3)由可得,即，又0＜a＜1，所以,故,即,解得，所以原不等式的解集为.点睛：本题主要考查了对数函数的定义域，函数奇偶性的证明，以及指数函数、对数函数的不等式解法，注重对基础的考查；要使对数函数有意义，需满足真数部分大于0，函数奇偶性的证明即判断和的关系，而对于指、对数类型的不等式主要是依据函数的单调性求解.21、（1）；