备战2025年高考数学压轴题训练专题09一元函数的导数及其应用(利用导数研究函数零点(方程的根)问题)(全题型压轴题)(学生版+解析)

专题09一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）目录TOC\o"1-1"\h\u一、判断零点（根）的个数 1二、已知零点（根）的个数求参数 3三、已知零点（根）的个数求代数式的值 4一、判断零点（根）的个数1．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或32．（23-24高二下·湖南·阶段练习）函数，则方程解的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，讨论函数的零点的个数.二、已知零点（根）的个数求参数1．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是.5．（2024·陕西渭南·一模）已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是.6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在上有两个不同的零点，求的取值范围.7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)讨论的最值；(2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围．8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)求函数的最小值；(2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．三、已知零点（根）的个数求代数式的值1．（2023·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知，分别是函数和的零点，且，，则．3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为．4．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e的零点，则．5．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)讨论的零点个数；(2)若有两个零点，证明：两个零点之和大于4．专题09一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）目录TOC\o"1-1"\h\u一、判断零点（根）的个数 1二、已知零点（根）的个数求参数 9三、已知零点（根）的个数求代数式的值 18一、判断零点（根）的个数1．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或3【答案】A【优尖升-分析】令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.【详解】，令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，令，当时，，则，所以函数在上单调递增，且，当时，，当时，，则，所以函数在上单调递增，且，又当时，当时，，作出函数的大致图象如图所示，由图可知函数的图象有且仅有一个交点，所以函数零点的个数为个.故选：A.2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）函数，则方程解的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【优尖升-分析】求定义域，求导，得到函数单调性和极值情况，且当时，，画出函数图象，得到与的图像有2个交点，从而求出答案.【详解】，函数定义域为，，令，解得或；令，可得或，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，取得极大值；当时，取得极小值；因此，函数的大致图像如图所示，因为，所以与的图像有2个交点，可知方程有2个解.故选：C3．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，讨论函数的零点的个数.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【优尖升-分析】（1）求出函数的导数，按的取值分类讨论求出函数的单调区间.（2）按分类讨论，并结合函数单调性及零点存在性定理求解即得.【详解】（1）函数定义域为，求导得，若，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增；若，由，得或，①当时，，则函数在上单调递增；②当时，，当或时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减；③当时，，当或时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在单调递增.（2）当时，函数只有一个零点，当时，由（1）知函数在上递减，在上递增，且，，取且，则，因此函数有两个零点；当时，由（1）知函数在上递增，且，，而时，恒有，因此函数只有一个零点，当时，由（1）知函数在上递减，在上递增，且，而时，恒有，因此函数只有一个零点，所以，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求函数的最小值；(2)若，求函数的零点个数．【答案】(1)2(2)有且只有一个零点【优尖升-分析】（1）对函数求导，令，研究的正负，得到函数的单调性，从而求得函数的最小值；（2）根据题意可得，求出，令，根据零点存在定理可知存在唯一的，使得，从而得到的单调性及极大值，数形结合可得函数的零点个数.【详解】（1）解法一：由题，，所以．记，则，①当时，，可得，故函数在区间上单调递减．②当时，，可知函数单调递增，又，所以当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由①②知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，故．解法二：由题，，所以．令，则，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，故，所以，故在定义域上单调递增．易知，故当时，单调递减，当时，单调递增，故．（2）由题意知，定义域为，所以，设，所以，所以在区间上是增函数，因为，所以存在唯一的，使得，即，当时，；当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，取得极大值，且极大值为．设，则，所以在区间上单调递减．所以，所以在内无零点．因为，所以在内有且只有一个零点．综上所述，有且只有一个零点．5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若直线与曲线相切，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)无交点，理由见解析【优尖升-分析】（1）求出导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）设切点为，利用导数的几何意义求出，即可得到解析式，再令，即，令，利用导数说明函数的零点，即可判断.【详解】（1）函数的定义域为，且，当时恒成立，所以在上单调递减，当时，令，解得，所以当时，当时，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，综上可得：当时在上单调递减；当时的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）由，设切点为，则，易知，所以，又，即，即，设，则，所以当时，则单调递增，当时，则单调递减，所以，所以，则，令，即，令，则，令，则，所以当时，则单调递减，当时，则单调递增，又，，当时，所以当时，则单调递减，当时，则单调递增，所以，所以方程无实根，所以函数与的图象无交点.6．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数．(1)证明：；(2)若，判断方程的实根个数．【答案】(1)证明见解析(2)有唯一实根【优尖升-分析】（1）不等式变形为，引入函数，求导确定单调性后得出即证；（2）引入函数，由导数确定的单调性，再结合零点存在定理确定零点个数．【详解】（1）证明：因为，所以，即，即，设，则，所以在上单调递增，所以，即，所以时．（2）方程，即，即，设，则，设，因为，所以，，所以在上有唯一实根，且，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，又，所以，在上没有零点，因为，，，所以在上有唯一零点，也即在上有唯一零点．所以方程在上有唯一实根．【点睛】方法点睛：用导数研究方程的根，通常转化为确定函数的零点，为此利用导数确定函数的单调性，然后由零点存在定理确定零点的存在性及零点个数．二、已知零点（根）的个数求参数1．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【优尖升-分析】考查利用导数研究函数零点问题，先根据导数情况得出函数单调性和最值情况，再数形结合分析，分段函数分段讨论即可.【详解】因为方程存在三个不相等的实根，所以函数有三个零点，当时，，所以，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增，，又当时，；当时，，所以图象如图；当时，，所以，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增，，又当时，；当时，，所以图象如图，所以当即时函数有三个零点，即方程存在三个不相等的实根，故选：C.2．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【优尖升-分析】先将的图象向左平移2个单位长度，可得函数图像，即把问题转化为直线与函数图象交点的个数问题；再证明为奇函数，然后求导后得到在区间上为减函数；再求出曲线在点处的切线方程为，求出，，时的范围；最后作出的图象和的图像，数形结合得到结果.【详解】将的图象向左平移2个单位长度，可得函数的图象，所以原题转化为“函数有3个零点”，即研究直线与函数图象交点的个数问题．因为的定义域为，且，所以为奇函数．因为，所以在区间上为减函数，且曲线在点处的切线方程为．当时，；当时，；当的，，作出的图象．如图：由图知：当时，直线与函数的图象有3个交点．故实数的取值范围是．故选：C.3．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【优尖升-分析】由题意得方程有两个正实数根，分析得知在区间上单调递增，从而方程有两个正实数解，由一元二次方程根的分布即可列出不等式组求解.【详解】令，可得，则，即．令，则．因为，所以，则函数在区间上单调递增，所以，即．所以当时有两个不同的零点等价于方程有两个正实数解，即满足.故选：D．4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是.【答案】【优尖升-分析】根据题意，转化为，令且，利用导数求得函数的单调性和最大值，画出的图象，结合图象和斜率公式，即可求解.【详解】由不等式，可得化为，令且，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得极大值，也为最大值，且当时，，画出函数的图象，如图所示，又由直线恒过定点，当直线位于如图所示的两条直线和之间，其中包含，不包含时，满足恰有两个整数解，则，所以实数的取值范围为.故答案为：.5．（2024·陕西渭南·一模）已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是.【答案】或【优尖升-分析】利用导数研究函数的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由，令，得或，然后分类和讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围．【详解】因为，令，得到，解得或，又当时，，则，当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，又时，，时，，时，，其图像如图，所以，当时，有2上解，有2个解，又因为方程有7个不同的实数解，所以当时，有3个实数解，又时，，则，所以时，，时，，即当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，又当时，，当时，，又当时，有3个实数解，所以或，解得或，故答案为：或.【点睛】方法点睛：解决函数零点问题经常用到的方法就是数形结合，用导数研究函数的性质.6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在上有两个不同的零点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；（2）由题可得是的零点，再分及，结合导数讨论函数的单调性，借助零点存在性定理判断零点个数即可得.【详解】（1）当时，，，，，故其切线方程为，即；（2），故是的零点，，当时，恒成立，故在上单调递增，则，即此时只有唯一零点，不符合要求，当时，令，可得，即在上单调递增，令，即，即在上单调递减，故，由在上有两个不同的零点，故，即，令，，故在上单调递减，故，即恒成立，又放时，，故在上必有一零点，故当时，在上有两个不同的零点.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对及的情况分类讨论，当可得函数在上单调递增，不可能有两个不同的零点，当时借助导数求得最值后，构造新函数得到其小于零恒成立.7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)讨论的最值；(2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)最大值，无最小值(2)【优尖升-分析】（1）由题意，利用导数求解函数的最值即可；（2）根据转化的思想将问题转化为函数的图象与直线恰有2个交点，利用导数讨论函数的性质，作出图形，结合图形即可求解.【详解】（1）由题知的定义域为，，∴当时，，当时，，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0，∴当时，取得最大值，无最小值．（2）解法一由题知有2个零点，∴方程，即有2个解．设，，则函数与的图象恰有2个交点．∵，∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，∵，∴当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，当x趋近于0时，趋近于a，当x趋近于时，趋近于．作出函数与的大致图象，如图所示．

结合函数图象知，要使函数与的图象恰有2个交点，则，∴，即实数a的取值范围为．解法二由题知有2个零点，∴方程，即恰有2个解．设，则函数的图象与直线恰有2个交点．，设，则，∴函数即单调递增，∵，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于．如图，作出直线与的大致图象，

结合函数图象知，要使直线与的图象恰有2个交点，则，故实数a的取值范围为．8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．(1)求函数的最小值；(2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【优尖升-分析】（1）求导，令，得到函数的单调性，即可求出函数的最小值；（2）将原问题转化为有两个不同的解，构造函数，分和两种情况讨论，利用函数的单调性及零点存在定理求解实数a的取值范围．【详解】（1）由题意可得，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为；（2）有两个不同的解可化为有两个不同的解，令，则，（ⅰ）若，则，由得．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．①当时，，即，故没有零点，不满足题意．②当时，，只有一个零点，不满足题意．③当时，，即，当时，，，又，故，所以，又，故在上有一个零点．又，因此在上有一个零点，所以当时，有两个不同的零点，满足题意．（ⅱ）若，由得，．①当时，，当时，；当时，；当时，．所以在和上单调递减，在上单调递增．又，所以至多有一个零点，不满足题意．②当时，，则，所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意．③当时，，当时，；当时，；当时，．所以在和上单调递减，在上单调递增，又，所以至多有一个零点，不满足题意．综上，实数a的取值范围为．三、已知零点（根）的个数求代数式的值1．（2023·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【优尖升-分析】根据解析式得，由，得，设，则，从而可得，求解导函数，分类讨论与两种情况下函数的单调性，从而可得答案.【详解】定义域为，显然，若是零点，则，，所以也是零点，函数有三个零点，不妨设，则，所以，，当时，结合定义域和判别式易知恒成立，即函数在上单调递增，不符合题意；当时，设的两根分别为，易知，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，当时，，，，当，，所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意.综上，的取值范围是.【点睛】求解本题的关键是根据函数解析式得若是零点，也是零点，令，则则必有二根，且则则有一解，有二解且故故答案为：44．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e的零点，则．【答案】1【优尖升-分析】由题意，根据零点的定义，构造新函数，利用函数的单调