2023-2024学年重庆市九年级（上）月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年重庆市九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．（4分）﹣3的相反数是（）A．﹣ B．3 C．﹣3 D．2．（4分）下列运动图标中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）我国年水资源总量约为27500亿立方米，27500用科学记数法表示为（）A．0.275×105 B．2.75×104 C．2.75×105 D．27.5×1034．（4分）抛物线y＝3（x﹣7）2+6的顶点坐标为（）A．（﹣7，6） B．（7，6） C．（3，﹣7） D．（3，6）5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，则△DEF与△ABC的面积之比是（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：16．（4分）如图，已知AE∥BC，∠BAC＝100°，则∠C＝（）​A．10° B．20° C．30° D．40°7．（4分）估计（2）×的值应在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间8．（4分）下列图案都是由若干个棋子按一定规律摆放而成，第1个图案中有8颗棋子，第2个图案中有14颗棋子，…，依此规律，第7个图中棋子的个数为（）A．44 B．50 C．56 D．579．（4分）如图，正方形ABCD中，点M、N、P分别在AB、CD、BD上，MN经过对角线BD的中点O，若∠PMN＝α（）A．2α B．45°+α C．90﹣ D．135°﹣α10．（4分）在多项式a﹣b﹣c﹣d﹣e﹣f中，对相邻的两个字母间任意添加小括号，添加小括号后仍只有减法运算，称此为“有效操作”，例如：a﹣（b﹣c），（a﹣b）﹣c﹣（d﹣e）﹣f＝a﹣b﹣c﹣d+e﹣f，…①存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“有效操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“有效操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上.11．（4分）计算：20230+（﹣）﹣1＝．12．（4分）若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是．13．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，则sinA的值为．14．（4分）已知抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣（m+3）的对称轴是y轴．15．（4分）某种商品原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为128元，根据题意，可列方程为．16．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AH⊥BD于点H，若．17．（4分）若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组，则符合条件的所有整数a的和为．18．（4分）对于一个四位自然数N，若它的千位数字比个位数字多2，百位数字与十位数字的和为9，∵7﹣5＝2，3+6＝9；四位数8476，4+≠9，则最小的“长久数”为；一个“长久数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，记F（N）＝3（a﹣c+7）+（b+d），K（N），G（N）＝，若G（N）能被6整除（N）取最大值时，“长久数”N为．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（8分）计算：（1）（m+n）2﹣m（m﹣2n）；（2）（）．20．（10分）如图，四边形ABCD为矩形．（1）用尺规完成以下基本作图：在BC边上取点E，使得AE＝AD，连接AE，垂足为点F；（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）（2）小林判断DF＝CD．他的证明思路是：利用矩形的性质，先证明平行线和角相等，从而可证全等，得到DF＝CD．请根据小林的思路完成下面的填空：已知：如图，四边形ABCD为矩形，AE＝AD求证：DF＝CD．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°，AD∥BC．∴，又∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，∴，∵，由①、②、③，∴△ABE≌△DFA．∴AB＝DF．∵，∴DF＝CD．21．（10分）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某校组织了“国家安全法”知识问答活动，问答活动共10道题．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的答题正确数（道）进行整理、描述和分析如下：七年级：1，2，3，5，5，5，7，7，9，10．八年级的10名学生答题正确数在“5～6道”中的数据是：5，6，6，6．七、八年级抽取学生答题正确数统计表班级平均数中位数众数方差七年级5.45a7.64八年级5.4b65.04根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a、b、c的值：a＝，b＝，c＝；（2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中，哪个年级的学生掌握“国家安全法”知识较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七年级有900名学生参加了此次知识问答活动，八年级有800名学生参加了此次知识问答活动，估计七、八两个年级答题正确数不少于7道的学生一共有多少人？22．（10分）成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．（1）网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；（2）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价20%销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，求A款纪念品降价以前的售价．23．（10分）如图1，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4．动点E以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B运动．到达点B后，又以每秒2个单位长度的速度返回点C．点E回到点C时停止运动．连接AE，△ACE的面积为y．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的如图2平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出△ACE的面积为3时t的值．24．（10分）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，A在C的北偏西60°方向，B在A的南偏东45°方向1800米处．（1）求湖岸A与码头C的距离（结果可含根号）；（2）救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为420米/分，在接到通知后（接送游客上下船的时间忽略不计）（参考数据：，≈1.73，25．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（4，0），B（0，4），点P是直线AB上的动点，过点P作y轴的垂线交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限，连接AQ、BQ．当线段PQ最长时，求△ABQ的面积；（3）已知点R（3，r）在直线AB上，点M在抛物线上，在满足（2）的条件下，使以点Q、R、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，△AEF中，∠EAF＝90°，连接BE．（1）如图1，当AE平分∠BAC时，EF与AB交于点D，若；（2）如图2，当AE⊥BE时，连接CF，并证明你的猜想；（3）如图3，AN⊥BC于点N，取BE的中点M，在旋转过程中，当线段CM最大时

参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．【分析】根据相反数的概念解答求解．【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝4．故选：B．【点评】本题考查了相反数的意义，理解相反数的意义是解题的关键．2．【分析】轴对称：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、不是轴对称图形；C、不是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：D．【点评】此题考查了轴对称的概念，掌握其概念是解决此题的关键．3．【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．【解答】解：27500＝2.75×104．故选：B．【点评】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：a×10n，1≤|a|＜10，n为整数是解题的关键．4．【分析】根据顶点式解析式即可解答．【解答】解：抛物线y＝3（x﹣7）5+6的顶点坐标是（7，6）．故选：B．【点评】此题考查了二次函数的性质，关键掌握顶点式解析式的组成特点：y＝a（x﹣h）2+k中顶点坐标为（h，k）．5．【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，得出△OBC∽△OEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算得到答案．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴＝＝1：2，∴△DEF与△ABC的面积之比是4：1，故选：D．【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．6．【分析】根据邻补角定义得出∠DAC＝80°，根据角的和差求出∠CAE＝30°，根据平行线的性质即可得解．【解答】解：∵∠DAC+∠BAC＝180°，∠BAC＝100°，∴∠DAC＝80°，∵∠DAC＝∠DAE+∠CAE，∠DAE＝50°，∴∠CAE＝30°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝30°，故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．7．【分析】先将原式计算后再进行估算即可．【解答】解：原式＝2+，∵5＜7＜9，∴4＜＜3，∴6＜2+＜2，即原式的值在4和5之间，故选：A．【点评】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式进行正确的运算是解题的关键．8．【分析】观察发现：每增加一个图案增加7颗棋子，用这一规律写出答案即可．【解答】解：观察发现：第1个图形有1+8×1＝8颗棋子；第6个图形有1+7×7＝15颗棋子；第3个图形有1+3×3＝22颗棋子；第4个图形有8+7×4＝29颗棋子；••••••，第7个图形有1+7×3＝50颗棋子；故选：B．【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律，难度不大．9．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：OM＝OP，从而得出∠MPO＝α，利用三角形的外角即可求得．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝45°，在Rt△PMN中，∠MPN＝90°，∵O为MN的中点，∴OP＝MN＝OM，∵∠PMN＝α，∴∠MPO＝α，∴∠AMP＝∠MPO+∠MBP＝α+45°，故选：B．【点评】本题以正方形为背景，考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再进行导角转化，发现OP＝OM是解题的关键．10．【分析】根据题意，理解新概念的意思，逐一分析判断即可解答．【解答】解：根据题意，有（a﹣b）﹣c﹣d﹣e﹣f＝a﹣b﹣c﹣d﹣e﹣f，使其运算果与原多项式相等；根据题意，无法通过有效操作得到﹣a和b与原式中的a和﹣b抵消；第一种：结果与原式相同；第二种：a﹣（b﹣c）﹣d﹣e﹣f＝a﹣b+c﹣d﹣e﹣f；第三种：a﹣（b﹣c）﹣（d﹣e）﹣f＝a﹣b+c﹣d+e﹣f：第四种：a﹣b﹣（c﹣d）﹣e﹣f＝a﹣b﹣c+d﹣e﹣f；第五种：a﹣b﹣（c﹣d）﹣（e﹣f）＝a﹣b﹣c+d﹣e+f；第六种：a﹣b﹣c﹣（d﹣e）﹣f＝a﹣b﹣c﹣d+e﹣f；第七种：a﹣b﹣c﹣d﹣（e﹣f）＝a﹣b﹣c﹣d﹣e+f；第八种：a﹣（b﹣c）﹣d﹣（e﹣f）＝a﹣b+c﹣d﹣e+f；第九种：（a﹣b）﹣（c﹣d）﹣e﹣f＝a﹣b﹣c+d﹣e﹣f；第十种：（a﹣b）﹣c﹣d﹣（e﹣f）＝a﹣b﹣c﹣d﹣e+f．超过8种，故③错误．故选：C．【点评】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是读懂题意，理解新概念的定义．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上.11．【分析】先化简各式，然后再进行计算，即可解答．【解答】解：20230+（﹣）﹣1＝1+（﹣2）＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．12．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得＝40，解得n＝9．故答案为9．【点评】本题主要考查了正多边形外角和的知识，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，比较简单．13．【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝13，∴BC＝＝＝2，∴sinA＝＝．故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及勾股定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．14．【分析】抛物线的对称轴是y轴，即对称轴是直线x＝0，由对称轴公式列出方程即可求出m．【解答】解：∵抛物线y＝x2+（m﹣2）x﹣（m+6）的对称轴为y轴，∴﹣＝5，解得：m＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴公式及及对称轴特点是解题的关键．15．【分析】先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）＝100，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为200×（1﹣x）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为200（1﹣x）×（8﹣x）元，所以可列方程为200（1﹣x）2＝128．故答案为：200（5﹣x）2＝128．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．【分析】设AB＝x，则BC＝3x，利用勾股定理可求出AC和OB的长，又AH⊥OB，利用锐角三角函数即可解决问题．【解答】解：如图，∵AB⊥AC，＝，设AB＝x，则BC＝5x，∴AC＝＝8x，在▱ABCD中，OA＝OC，∴OA＝OC＝x，在Rt△OAB中，根据勾股定理得：OB＝＝＝x，∵AH⊥BD，∴∠OAH＝90°﹣∠BAH＝∠ABH，∴tan∠CAH＝tan∠ABO＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题关键．17．【分析】分别解方程和不等式，根据题意确定a的取值范围，列出所有符合条件的a的值，求它们的和即可．【解答】解：方程的解为x＝，根据题意，得，解得a＜1．∵不等式的解集为﹣5≤x＜，∴﹣8＜≤﹣2．综上：﹣2＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，∴a＝﹣4，﹣1．∵﹣3﹣3＝﹣4，∴符合条件的所有整数a的和为﹣4故答案为：﹣3．【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的解，正确求出它们的解是本题的关键．18．【分析】根据题中“长久数”可求得最小的“长久数”；根据题意得出a﹣2＝d，b+c＝9，2≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤7，F（N）＝4（a﹣c+7），K（N）＝a﹣5，得出＝4+，当a＝6，c＝1时，G（N）能被6整除，且最大，求出N值即可．【解答】解：根据题意可得：最小的“长久数”为2180，∵一个“长久数”N的千位数字为a，百位数字为b，个位数字为d，∴a﹣2＝d，b+c＝9，2≤h≤9，0≤d≤6．∵F（N）＝3（a﹣c+7）+（b+d）＝2a﹣3c+21+9﹣c+a﹣6＝4a﹣4c+28＝2（a﹣c+7），K（N）＝d﹣3＝a﹣5﹣3＝a﹣5，∴G（N）＝＝＝＝4+，∵2≤a≤9，2≤c≤9，∴当a＝6，c＝2时，能被6整除，此时长久数N为6814故答案为：2180；6814．【点评】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．【分析】（1）利用乘法法则和乘法公式先算乘法和乘方，再合并同类项；（2）先计算括号里面，再把除法转化为乘法，最后按分式的乘法法则计算．【解答】解：（1）（m+n）2﹣m（m﹣2n）＝m5+2mn+n2﹣m7+2mn＝4mn+n7；（2）（）＝÷＝•＝．【点评】本题考查了整式、分式的运算，掌握整式的乘法法则和乘法公式、分式的加减法、乘除法法则是解决本题的关键．20．【分析】（1）根据要求作出图形；（2）证明△ABE≌△DFA（AAS），可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，∠B＝90°．∴①∠DAF＝∠AEB，又∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，∴②∠B＝∠AFD＝90°，∵③AE＝AD，由①、②、③，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AB＝DF．∵AB＝CD，∴DF＝CD．故答案为：∠DAF＝∠AEB，∠B＝∠AFD＝90°，AB＝CD．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21．【分析】（1）根据众数，中位数，百分比的定义判断即可；（2）利用方差比较即可；（3）分别求出七年级，八年级不少于7道的学生的人数，可得结论．【解答】解：（1）七年级的众数是5，故a＝5，八年级的中位数＝＝3.5，c＝100﹣10﹣30﹣40﹣10＝10．故答案为：5，5.5；（2）八年级的学生掌握“国家安全法”知识较好．理由是：八年级的方差比较小．（3）900×＝360（人）．360+160＝520（人）．答：估计七、八两个年级答题正确数不少于3道的学生一共有520人．【点评】本题考查方差，中位数，众数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22．【分析】（1）设网店第一次购进x个A款纪念品，则购进（50﹣x）个B款纪念品，利用总价＝单价×数量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论；（2）设A款纪念品降价以前的售价为y元，则降价后的售价为（1﹣20%）y元，利用数量＝总价÷单价，结合“降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额”，可列出关于y的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：（1）设网店第一次购进x个A款纪念品，则购进（50﹣x）个B款纪念品，根据题意得：30x+25（50﹣x）＝1400，解得：x＝30．答：网店第一次购进30个A款纪念品；（2）设A款纪念品降价以前的售价为y元，则降价后的售价为（1﹣20%）y元，根据题意得：﹣＝8，解得：y＝50，经检验，y＝50是所列方程的解．答：A款纪念品降价以前的售价为50元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．23．【分析】（1）分两种情况进行分类讨论即可解决问题．（2）由（1）中所得函数表达式，画出图象并写出一条性质即可．（2）令y＝3即可得出答案．【解答】解：（1）当0＜t≤4时，CE＝t，∴y＝S△ACE＝CE•AC＝，当4＜t＜6时，CE＝8﹣（2t﹣8）＝12﹣2t，∴y＝S△ACE＝CE•AC＝，综上所述，y关于t的函数表达式为y＝；（2）函数的图象如图，当t＝4时，函数有最大值为4．（3）将y＝8代入y＝t得，t＝3，且符合要求．将y＝3代入y＝﹣6t+12得，t＝，且符合要求．观察图象也可得出t的值为3或．【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，一次函数的图象及性质，能根据点E的运动进行分类讨论是解题的关键．24．【分析】（1）过点A作AD⊥CB，垂足为D，根据题意可得：∠ACE＝60°，∠ECD＝90°，从而可得∠ACD＝30°，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AC的长，即可解答；（2）先在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，再在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DC的长，从而求出BC的长，然后设将该游客送上救援船需要x分钟，根据题意可得：180x+420x﹣（900﹣900）＝1800，从而进行计算，即可解答．【解答】解：（1）如图：过点A作AD⊥CB，垂足为D，由题意得：∠ACE＝60°，∠ECD＝90°，∴∠ACD＝∠ECD﹣∠ACE＝30°，在Rt△ABD中，∠DAB＝45°，∴AD＝AB•cos45°＝1800×＝900，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝1800（米），∴湖岸A与码头C的距离为1800米；（2）在接到通知后，快艇能在6分钟内将该游客送上救援船，理由：在Rt△ABD中，∠DAB＝45°，∴BD＝AB•sin45°＝1800×＝900，在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴CD＝AD＝900，∴BC＝CD﹣BD＝（900﹣900，设将该游客送上救援船需要x分钟，由题意得：180x+420x﹣（900﹣900，解得：x＝≈5.79，∵7.79分钟＜6分钟，∴在接到通知后，快艇能在6分钟内将该游客送上救援船．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．25．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由△ABQ的面积＝S△PQB+S△PQA＝PQ×OA，即可求解；（3）当RQ是对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当RN或RM为对角线时，同理可解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x8+3x+4；（2）由点A、B的坐标得，设点Q（x，﹣x2+3x+4），则点P（x，则PQ＝（﹣x2+3x+4）﹣（﹣x+3）＝﹣（x﹣2）2+2≤4，即PQ的最大值为4，此时，则点Q（5，则△ABQ的面积＝S△PQB+S△PQA＝PQ×OA＝；（3）存在，理由：当x＝3时，y＝﹣x8+3x+4＝6，即点R（3，设点N（0，y），﹣m7+3m+4），当RQ是对角线时，由中点坐标公式得：4+2＝m，解得：m＝5，则点M（3，﹣6）；当RN或RM为对角线时，同理可得：3＝6+m或3+m＝2