《基本计数原理》

北师大版同步教材精品课件《基本计数原理》教学设计一、创新情景,导入新课某省高考状元,顺利考取清华大学.(课件展示:清华大学校园有关图片)问题1:开学了,她要从家到北京,一天中直达火车有3班,直达飞机有2班,那么她一天中乘坐这些交通工具从家到北京共有多少种不同的走法？问题2:去北京途中,她想先乘火车从家到另一地方拜访一位亲戚,第二天再从该地乘飞机去北京.假设她乘火车从家到亲戚家,每天火车有3班,一天后乘飞机从亲戚家到北京,每天飞机有2班,那么她从家到北京共有多少种不同的走法？设计意图:通过某省高考状元的形象激发学生的学习热情,也为本节课的问题设计提供了一条主线索.问题1是分类加法计数原理的例子,问题2是分步乘法计数原理的例子,这两个实例通俗易懂,便于学生对比分析理解两个计数原理.二、精读教材,概念类比1.分类加法计数原理问题1:从甲地到乙地,可以乘飞机,可以乘火车,也可以乘轮船,还可以乘汽车.每天有2个班次的飞机,有4个班次的火车,有2个班次的轮船,有1个班次的汽车,那么,乘坐以上交通工具中的一种从甲地到乙地,在一天中共有多少种选择呢？设计意图:从贴近学生实际生活的实例出发,让学生明白本节课的教学内容,激发学生的学习兴趣.师生互动:教师提问,学生回答.师:要完成的事情是什么？能一步到位吗？师:完成这件事情采用什么方案？检查一下有遗漏吗？(分类要不重不漏)教学设计教学设计师:每类方案能独立完成这件事情吗？关键词是什么？(分类要类类独立)师:每类方案中各自不同的方法数是多少？师:完成这件事情的所有方法数是多少？(结果用加法)学生最后得出问题的答案:如图,该问题需要完成的是从甲地到乙地共有多少种方法.所有方法可以分成乘飞机、火车、轮船、汽车4类办法,每类办法中分别又有2,4,2,1种方法.于是,乘坐以上交通工具从甲地到乙地,共有2+4+2+1=9种方法.教师引导学生总结,解决以上问题的步骤如下:(1)求完成一件事的所有方法数,这些方法可以分为n类,且类与类之间两两不交;(2)求每一类中的方法数:(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.抽象概括:分类加法计数原理:完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类种方法…在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有种方法.(也称“加法原理”)师:你能举出生活中的一些分类加法计数问题吗？学生举例,教师适当评价.设计意图:运用归纳、从特殊到一般的思想方法,培养学生的数学抽象能力；通过问题、办法中有教学设计m1教学设计归纳、操作确认、解释说明等环节,得出分类加法计数原理,最后通过学生举例,使学生进一步理解加法原理.练习:(1)某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有7名同学只会用综合法证明,有2名同学只会用分析法证明,现从这些同学中任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数为(

)A.9B.14C.12D.21答案

A解析共有7+2=9种不同的选法.(2)已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为(

)A.40B.16C.13D.10答案

C解析根据直线与直线外一点可以确定一个平面,得a上任一点与直线b确定一平面,共5个;b上任一点与直线a确定一平面,共8个.由分类加法计数原理,得共有5+8=13个.2.分步乘法计数原理问题2:春节到了,某同学要与父母一起参加家庭聚会.(1)她有3件不同的上衣,4条不同的裤子,如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法,教学设计问题探究4那么共有多少种搭配方法？(2)她还有5双不同的鞋子,如果把1件上衣、1条裤子和1双鞋子看作一种搭配方法,那么共有多少种搭配方法？师:你能说说该问题的特征吗？分析:(1)我们先看裤子的选择方法数,有4条不同的裤子,则有4种选择方法;每一条裤子对应3件不同的上衣,如图所示因此,根据分类加法计数原理,共有N=3+3+3+3=3×4=12种搭配方法.(2)由题意知还有5双不同的鞋子,且每一双鞋子对应的裤子和上衣的搭配方法有12种,如图所示.教学设计因此,根据分类加法计数原理,共有V=12+12+12+12+12=12×5=3×4×5=60种搭配方法.若再考虑围巾、帽子等因素,则可以按照类似的思路继续进行,实际上,我们可以发现,问题(1)是分两步完成,第1步确定裤子有4种选择方法,第2步确定每一条裤子对应3件上衣;问题(2)是在问题(1)的基础上确定每一双鞋子对应12种裤子和上衣的搭配方法,即需要分三步完成.师生互动:由教师提问学生回答的方式进行.学生已经有了学习加法原理的基础,本知识点可以让学生回答,如果回答不全面,那么由教师引导完成师:你能举出生活中的一些分类乘法计数问题吗？学生举例,教师适当评价.设计意图:借助具体问题,使学生理解分步乘法计数原理;通过设问、学生举例,加深教学设计学生对乘法原理的理解教师引导学生共同分析以上问题的特点:教学设计完成一件事需要经过n个步骤;完成每一步有若干种方法,且每一步对其他步没有影响;把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.抽象概括:分步乘法计数原理:完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方种不同的方法…做第n步有mn法,做第2步有m2种不同的方法,那么,完成这件事共有

种方法.(也称“乘法原理”)注:各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的所有方法数,又称乘法原理.教学设计设计意图:由特例到定义的设计思路让学生理解乘法原理的概念.练习:(1)甲,乙两人从4门课程中各选修1门,则甲、乙所选的课程不相同的选法共有(

)A.6种B.12种C.30种D.36种答案

B解析因为甲、乙两人从4门课程中各选修1门,所以由乘法原理可得甲、乙所选的课程不相同的选法共有4×3=12种;(2)给一些书编号,准备用3个字符,其中首字符用A,B,后两个字符用a,b,c(允许重复),则不同编号的书共有(

)教学设计A.8本B.9本C.12本D.18本答案

D解析完成这件事可以分为三步.第一步确定首字符,共有2种方法;第二步确定第二个字符,共有3种方法;第三步确定第三个字符,共有3种方法.所以不同编号的书共有2×3×3=18本.三、典例探究例1在1,2,3,…,200中,能够被5整除的数共有多少个？解能够被5整除的数,末位数字是0或5,因此,我们把1,2,3,…,200中能够被5整除的数分成2类来计数:教学设计第1类,末位数字是0的数,共有20个:第2类,末位数字是5的数,共有20个,根据分类加法计数原理,在1,2,3,…,200中,能够被5整除的数共有N=20+20=40个.例2如图,从A村到B村的道路有3条,从B村到C村的道路有2条,从C村到D村的道路有3条,李明要从A村先到B村,再经过C村,最后到D村,共有多少条线路可以选择？解先考虑李明从A村经过B村到C村:从A村到B村的道路有3条,从B村到C村的道路有2条,因此李明从A村经过B村到C村可以分成3类,每一类都有2种不同的方法,共有2+2+2=2×3=6条线路可以选择.教学设计因此,整个行程可以理解为共有N=2×3×3=18条线路可以选择.教师指出:分步乘法计数原理的本质实际上是分类加法计数,事实上,可以把第一步的m1种不同的方法看成有m1类,只不过每一类的方法数是相同的,因此可以运用乘法表示加法.例3有一项活动,需在3名教师、8名男学生和5名女学生中选人参加(1)若只需1名参加,共有多少种选法？(2)若需教师、男学生、女学生各1名参加,共有多少种选法？解

(1)只要选出1名就可以完成这件事,而选出的1名有3种不同类型,即教师、男学生或女学生,因此要分3类相加:第1类,选出的是教师,有3种选法;第2类,选出的是男学生,有8种选法;教学设计第3类,选出的是女学生,有5种选法,根据分类加法计数原理,共有N=3+8+5=16种选法.(2)完成这件事,需要分别选出1名教师、1名男学生和1名女学生,可以先选教师,再选男学生,最后选女学生,因此要分3步相乘:第1步,选1名教师,有3种选法;第2步,选1名男学生,有8种选法;第3步,选1中女学生,有5种选法.根据分步乘法计数原理,共有N=3×8×5=120种选法.设计意图:学以致用,通过例题巩固对两个计数原理的理解,通过对比两个计数原理以及不同的解题思路,让学生体会两个计数原理在实际生活中的应用.教学设计四、课堂小结师:分类加法计数原理与分步乘法计数原理有何区别与联系？由学生小组总结如下:分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系:分类加法计数原理分步乘法计数原理联系目的相同:都要“做一件事并完成它”所问相同:即问“共有多少种不同的方法”区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共分n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法都能独立完成这件事,每一种办法都是独立的且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有每个步骤完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复教学设计设计意图:小结提升,培养学生逐步养成善于总结的良好学习习惯:突破重点,掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系.五、布置作业教材第158页习题5-1A组第1~6题.板书设计1.分类加法计数原理:完成一件事,可以有n类办法,在第1类办法中有m1种方法,在第2类种方法…在第n类办法中有mn种方法,那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+mn(也称“加法原理”)2.分步乘法计数原理:完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法…做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有种方法(也称“乘法原理”)3.例题例1例2例3m2种方法板书设计4.小结分类加法计数原理分步乘法计数原理联系目的相同:都要“做一件事开完成它所问相同:即问“共有多少种不同的方法”区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共分n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法都能独立完成这件事,每一种办法都是独立的且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事每一步得到