浙江省温州市十校联合体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

2023学年第二学期温州十校联合体期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由作出判断方程有一个根是1，且2一定不是它的根，从而代入，解得，再解得，满足，从而可以计算出结果.【详解】因为，，所以方程有一个根是1，且2一定不是它的根，则，解得，当时，方程的根是1和，所以，满足，即.故选：A.2.若函数是指数函数,则的值为A.2 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的定义可得a﹣3＝1，a＞0，a≠1，先求出函数解析式，将x代入可得答案．【详解】解：∵函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2，故选D．【点睛】本题主要考查了指数函数的定义：形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函数叫指数函数，属于考查基本概念．3.设复数，则复数的共轭复数的虚部是（）A. B. C.1 D.－1【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数，再确定其虚部.【详解】因为，所以，则复数的共轭复数的虚部是.故选：C4.已知非负实数满足，则的最小值为（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意可得且，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】因为非负实数满足，显然，则，所以，则，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故选：B5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式求解值.【详解】.故选:B6.已知正方形ABCD的边长为2，若将正方形ABCD沿对角线BD折叠成三棱锥则在折叠过程中，不可能出现（）A. B.C.三棱锥的体积为 D.平面平面BCD【答案】A【解析】【分析】根据题意，由线面垂直的性质定理即可判断AB，由三棱锥的体积公式即可判断C，由二面角的定义即可判断D.【详解】对于A，若，因为，面ABC，所以，而，即直角边长与斜边长相等，显然不对，故A错；对于B，取BD中点O，因为，AO所以面AOC，所以，故B对；对于C，当折叠所成的二面角时，顶点A到底面BCD的距离为，此时，故C对；对于D，当沿对角线折叠成直二面角时，有平面平面，故D对；故选:A7.一个袋子中装有大小相同的5个小球，其中有3个白球，2个黑球，从中无放回地取出3个小球，摸到一个白球记2分，摸到一个黑球记1分，则总得分的数学期望等于（）A.5分 B.4.8分 C.4.6分 D.4.4分【答案】B【解析】【分析】按白球的个数分类，然后换算成得分可能性，计算相应的概率，再用公式求出期望即可.【详解】设三个白球编号，黑球编号为，表示取到个白球，则，所有取法为种，则，，，的可能取值为，所以，总得分的数学期望等于分，故选：B.8.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断出，，然后根据作差法结合基本不等式比较.【详解】由题意，，，，由换底公式，，，由于，根据基本不等式，，故，即，于是.故选：A二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，则下列命题正确的是（）A. B.向量在向量上的投影向量为C. D.【答案】AB【解析】【分析】对于A：求得，结合模长公式分析判断；对于B：先求，结合投影向量的定义运算求解；对于C：根据向量平行的坐标表示分析判断；对于C：根据向量垂直的坐标表示分析判断.【详解】因为，对于选项A：因为，所以，故A正确；对于选项B：因为，所以向量在向量上的投影向量为，故B正确；对于选项C：因为，所以不平行，故C错误；对于选项D：因为，所以不垂直，故D错误；故选：AB.10.下列命题中正确的是（）A.已知随机变量，则B.已知随机变量，若函数为偶函数，则C.数据第80百分位数是8D.样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成总体样本的方差为【答案】ABC【解析】【分析】利用二项分布的方差公式及方差性质可判断A，利用正态曲线的对称性可判断B，根据百分位数的求法可判断C，利用两组数据方差的特征可判断D.【详解】对于A，因为，所以，，A正确；对于B，因为函数为偶函数，所以，，所以区间和区间是关于的对称区间，所以，B正确；对于C，因为，所以数据第80百分位数是8，C正确；对于D，记样本甲，乙的平均数分别为，由甲乙组成的总体样本的平均数为，由甲乙组成总体样本的方差为，D不正确.故选：ABC11.定义在上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的可以是（）A.1 B.2 C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，一步步转化到时，，则，作函数的图象，结合图象可求出的最大值.【详解】由题意可知，如图所示当时，，即；当时，，故；当时，，故；令，解得或，所以或，所以的最大值为.即.故选：ABC.非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12._______【答案】152【解析】【分析】利用二项式定理得到的展开式，求出相加得到答案.【详解】，，故.故答案为：15213.一位射击运动员向一个目标射击二次，记事件“第次命中目标”，，则______．【答案】##0.3125【解析】【分析】根据条件概率公式及对立事件概率公式，全概率公式求解即可.【详解】由题意，，所以.又，所以，所以.故答案为：14.已知在三棱锥中，，点为三棱锥外接球上一点，则三棱锥的体积最大为______．【答案】【解析】【分析】取的中点，得到，得出点为三棱锥的外接球的球心，求得外接球的半径为，结合点到平面的距离为时，此时的体积最大，利用体积公式，即可求解.【详解】在三棱锥中，由且，可得，取的中点，连接，因为，，可得，所以点为三棱锥的外接球的球心，其中为外接球的直径，设外接球的半径为，可得，当点到平面的距离为时，此时三棱锥的体积最大，体积的最大值为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角，，的对边分别为，，，且（1）若，求的值；（2）若，且的面积为，求和的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理计算可得；（2）利用正弦定理将角化边得到，从而得到，再由面积公式求出，解得即可【小问1详解】因，，所以，所以；【小问2详解】由，由正弦定理得，又，所以，又，因为，所以，所以，解得（负值已舍去）.16.已知四棱锥，⊥面，底面为正方形，，为的中点．（1）求证：面；（2）求直线与面所成的角．【答案】（1）证明见解析（2）30°【解析】【分析】（1）由线面垂直得到⊥，结合⊥，得到线面垂直，⊥，结合三线合一得到的，证明出线面垂直；（2）方法1：证明线面平行，得到点B到面的距离就是点到面距离，且结合（1）得点A到面距离为．从而求出直线与面所成角的正弦值，得到答案；方法2：利用等体积法求出点B到面的距离，进而得到直线与面所成角的正弦值，得到答案；方法3：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量夹角的余弦值得到线面角的正弦值，得到答案：方法4：作出辅助线，并得到面，故为直线与面所成的角，记为，根据边长关系得到，求出答案.【小问1详解】因为面，平面，所以⊥，因为四边形为正方形，所以⊥，又，平面，故⊥平面，因为平面，所以⊥，又，故，因为为的中点，所以，因为，平面，故平面；【小问2详解】方法1：因为，平面，平面，所以平面，点B到面的距离就是点到面距离，由勾股定理得，又，由（1）得点A到面距离为．记直线与面所成角为，故，故；方法2：设，则，，故，且，因为，所以，，记直线与面所成角为，，；方法3：设，以为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，，故，，设平面的法向量为，则，解得，令，则，故，记直线与面所成角为，，．方法4：将四棱锥还原为立方体，取的中点，连接，因为且，故四边形为平行四边形，故，由（1）知，平面，故面，为直线与面所成的角，记为，且，故，.17.已知的最小正周期为，（1）求的值；（2）若在上恰有个极值点和个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再结合周期求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得；（2）首先得到解析式，再根据的范围求出的范围，最后根据正弦函数的性质得到，解得即可.【小问1详解】因为，由函数的最小正周期为且，即，解得，所以，所以．【小问2详解】由（1）可得，因为，所以，要使在上恰有个极值点和个零点，则需，解得，即实数的取值范围.18.为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（y分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．编号12345学习时间3040506070数学成绩65788599108（1）求数学成绩与学习时间的相关系数（精确到0.001）；（2）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩（参考数据：，的方差为200（3）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．

没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160220附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）0.996（2），140.5分（3）可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关【解析】【分析】（1）根据公式计算即可；（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令即可得解；（3）根据公式求出，再对照临界值表即可得解.【小问1详解】，，又的方差为，；【小问2详解】由（1）知接近1，故与之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归直线方程模型进行拟合，，，故，当时，，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分；【小问3详解】零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．根据数据，计算得到：因为，所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．19.已知（1）当时，解关于的不等式；（2）若有两个零点，求的值；（3）当时，的最大值，最小值为，若，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）将代入，然后取消绝对值解不等式即可；（2）先根据题意取消绝对值，然后判断的单调性，由，有两个零点可得，进而求的值，从而利用求即可.（3）先取消绝对值写出单调性，易得，，然后对进行分类，分别求最大值和最小值为的值，从而由解不等式可得实数的取值范围.【小问1详解】当时，或，所以或于是不等式的解集为.【小问2详解】，当时，的