专题110线段垂直平分线（分层练习）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.10线段垂直平分线（分层练习）单选题1．（宁夏回族自治区吴忠市20232024学年八年级上学期期末数学试题）如图，，的垂直平分线交于，连接，若，则（

）A． B． C． D．2．（2023上·贵州遵义·八年级统考期中）如图，，，则正确的结论是（

）A．垂直平分 B．垂直平分C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确3．（2023上·广西贵港·八年级统考期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（

）A．28 B．22 C．19 D．154．（2023上·河南驻马店·八年级统考阶段练习）河南周口市城乡一体化示范区不断完善基础服务设施，着力打造“分钟便民服务圈”现在有三个小区位置呈三角形，若在该三角形区域内建立一个便民服务中心，使其到三个小区的距离相等，则应建在（

）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点5．（2023上·全国·八年级期末）如图，在中，垂直平分，分别交、于D、E，连接，平分，交于F，若，，则的度数为（）A． B． C． D．6．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考阶段练习）如图，已知，给出下面结论：①；②；③平分；④，其中正确的结论有（

）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④7．（2024上·吉林长春·九年级长春市实验中学校考期末）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，则的大小是（

）A．10 B．15 C．20 D．258．（2023上·江苏无锡·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，延长交的延长线于点F．若，则的长为（

）

A．0 B．6 C．7 D．99．（2024上·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，且cm，则的长是（

）A．12cm B．6cm C．4cm D．10．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（

）A．3 B． C． D．211．（2022上·河南南阳·八年级期末）定义：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫做三角形的外心．如图，直线，，分别是边AB，AC的垂直平分线，直线和相交于点O，点O是△ABC的外心，交BC于点M，交BC于点N，分别连结AM，AN，OA，OB，OC．若OA=6cm，△OBC的周长为22cm，则△AMN的周长等于（）cmA．8 B．10 C．12 D．1412．（2023·辽宁·模拟预测）如图，线段，点P在线段上，且，分别以点A和点B为圆心，的长为半径作孤，两弧相交于点C和点D，连接，，，，则点C到边的距离是（

）

A． B． C．4 D．3填空题13．（2023上·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在中，垂直平分．若，，则的长为．14．（2023上·北京海淀·八年级校考期中）如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：

①；②；③；④.其中正确结论的序号是.15．（2021下·山东青岛·七年级青岛大学附属中学校考期末）如图，在中，，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交边于点，连接，则的周长为．16．（2018上·广东潮州·八年级统考期中）在△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD﹣∠DAC=22.5°，则∠B的度数是17．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在等腰中，，平分，点C在的垂直平分线上.若的周长为，则的长为.18．（2021下·广东深圳·七年级校考期中）如图所示，点、点分别在等边的内部与外部，，，，则．

19．（2023上·江苏·八年级姜堰区实验初中校考周测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，则的长为．20．（2023上·河南信阳·八年级统考期中）如图，中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，若，则的周长为cm．21．（2024上·上海黄浦·八年级统考期末）已知等腰中，边的垂直平分线交直线于点，若，则的度数为．22．（2023上·全国·八年级期末）如图，是等边边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，若，则的长为．23．（2023上·江苏南通·八年级南通市通州区育才中学校联考期中）如图，四边形中，，．若点关于的对称点恰好落在上（不与点重合），则度．

24．（2023上·四川成都·八年级成都市树德实验中学校考阶段练习）如图，在中，，以C为圆心，为半径画弧，交于点D，再分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，作直线交于点E．若,则的面积是．解答题25．（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，已知是线段的垂直平分线，求证：．26．（2023下·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考阶段练习）如图，AD与BC相交于点O，．求证：垂直平分．27．（2023上·宁夏石嘴山·八年级校考期中）如图，在中，是边的垂直平分线，交于，交于，连接．（1）若，求的度数．（2）若，且的周长为，的周长为，求的长．28．（2023上·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）如图，已知四边形中，为边上一点，连接，，．（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作的垂线交于（保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若，，为的角平分线．求证：．完成下列填空．证明：∵，，①____________，，为的角平分线，，②____________，，，即：③____________，∴④____________，．29．（2023上·福建厦门·八年级厦门市第十中学校考期中）直线垂直平分线段，点A是直线上的动点，连接，，以为边作等边三角形，使其与点在直线的两侧，与直线相交于点（点与点A不重合），连接．（1）如图，当时，①求证：；②在点A运动的过程中，的度数是否会发生改变？如果会请说明理由，如果不会请求出的度数；在点A运动的过程中，试探究线段，，之间的数量关系．30．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知：是的高，且．（1）如图1，求证：；（2）如图2，点为边上一点，线段的垂直平分线交线段于点，点在线段上，连接，且，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，作交线段于点，于点，连接，若的面积为6，且，求线段的长．参考答案：1．B【分析】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据角的和差关系即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．解：∵，，∴，∵为的垂直平分线，∴，∴，∴，故选：．2．A【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．解：∵，，，∴垂直平分，根据现有条件，无法证明垂直平分，故选A．3．B【分析】本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案．解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，，的周长为．故选：B．4．A【分析】本题考查了线段垂直平分线的实际应用．根据线段垂直平分线的性质即可确定选项，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，∴便民服务中心应建在三条边的垂直平分线的交点处．故选：．5．C【分析】此题考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着利用三角形外角性质计算出，所以，然后利用三角形外角性质计算的度数．解：∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，故选：．6．D【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理与性质定理，等腰三角形的性质；由已知及线段垂直平分线的判定定理与性质定理，可判定①②；由等腰三角形的性质可判定③④，最后可确定答案．解：∵，∴点A、P在线段的垂直平分线上，∴是线段的垂直平分线，∴，，故①②正确；∵，，∴平分，故③正确；∵，∴，故④正确；∴四个全部正确，故选：D．7．C【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和，先根据尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，即，再根据“等边对等角”得，可求，然后根据三角形内角和定理得出答案．解：根据题意可知直线是线段的垂直平分线，∴．∵，∴，∴．在中，．故选：C．8．C【分析】由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得．解：∵E为的中点，∴，∵，∴，在与中，，∴∴，∴，∵，∴，故选：C．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明是本题的关键．9．B【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得到，再利用外角的性质得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得的值．掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．解：∵边的垂直平分线交于E，交于点D，∴（线段垂直平分线的性质），∴（等腰三角形的性质），∴（外角的性质），∵，∴．故选：B．10．C【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、等腰三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理，连接，可证明，，当时，最小，利用等腰三角形的判定和勾股定理求解即可．得到点P的运动路线是解答的关键．解：连接，由题意，，，∴垂直平分，即，∵，∴，∴点P在与成的射线上，故当时，最小，如图，则，∴，由勾股定理得，∴，则，即的最小值是，故选：C．11．B【分析】由线段AB的的垂直平分线的性质得到：AM=MB，OA=OB．同理AN=CN，OA=OC．所以OB=OC=OA=6cm，所以将△AMN的周长转化为求得线段BC的长度的问题，根据△OBC的周长的计算方法求得BC的长度即可．解：∵直线l1是AB的的垂直平分线，∴AM=MB，OA=OB．∵直线l2是AC的的垂直平分线，∴AN=CN，OA=OC．∴OB=OC=OA=6cm，△AMN的周长=AM+MN+AN=BC，∵△OBC的周长为22cm，∴BC=22（OB+OC）=2212=10（cm），∴△AMN的周长为10cm．故选：B【点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握数形结合和分类讨论数学思想的应用．12．A【分析】连接交于E，求出，可得的长，然后根据面积的不同求法列式求解即可．解：连接交于E，

由作图可得垂直平分，，∴，∴，∵，，∴，设点C到边的距离为h，∴，∴，故选：A．【点拨】本题考查了作线段垂直平分线，勾股定理，熟练掌握等面积法的应用是解题的关键．13．6【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线短两个端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．解：∵垂直平分，∴，又∵，∴，故答案为：6．14．①②③【分析】先通过“”判定两三角形全等，再利用线段垂直平分线的判定和性质即可得到正确结论．解：在和中，，∴，故①正确；∵，∴垂直平分，∴，，故②③正确；由已知和图形无法判断，故④错误；故答案为：①②③．【点拨】该题考查了全等三角形的判定和线段的垂直平分线的判定与性质，解决本题的关键是牢记相关概念，该题较基础，考查了学生对教材基础知识的理解与应用，以及学生的推理分析的能力．15．18【分析】由题意可得MN为AB的垂直平分线，所以AD=BD，进一步可以求出△ACD的周长.解：∵在△ABC中，分别以A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，交BC边于D，连接AD；∴MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴△ACD的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=11+7=18.故答案为：18.【点拨】本题主要考查的是垂直平分线的运用，掌握垂直平分线的定义和性质是解题的关键.16．37.5°或67.5°．【分析】求出AD=BD,推出∠B=∠DAB，∠B+∠BAC=90°，分为两种情况并画出图形后，根据三角形内角和定理求出即可.解：∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠B=∠DAB,∵∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°,分为两种情况:①如图1,∵∠B+∠BAC=90,∠BAD∠DAC=22.5°，∴∠B=∠DAB=∠DAC+22.5°∴∠DAC+22.5°+∠DAC+22.5°+∠DAC=90°,∠DAC=15°∴∠B=15°+22.5°=37.5°②如图2，∵∠B+∠BAC=90°,∠BAD∠DAC=22.5°∴∠B=∠DAB=∠DAC+22.5°，∴∠DAC+22.5°+∠DAC+22.5°∠DAC=90°，∴∠DAC=45°,∴∠B=45°+22.5°=67.5°【点拨】本题考查中垂线性质和三角形内角和定理，中等难度，分类讨论是解题关键.17．8【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形的周长得出，求出即可．解：∵，平分，∴，，在AE的垂直平分线上，，的周长是，，，．故答案为：8．18．/度【分析】作的垂直平分线，再根据等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质解答即可．解：作的垂直平分线，

，为等腰三角形，为等边三角形，的垂直平分线必过、两点，，，，，，．故答案为：．【点拨】本题考查了垂直平分线的性质与判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．19．4【分析】本题考查了基本作图作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质即可得到，求得的长，进而可得到的长．解：由作图知，是线段的垂直平分线，∴，∵，∴，∴，故答案为：4．20．12【分析】根据垂直平分线的性质得边相等，由结合三角形的周长公式即可得求得．解题的关键是利用垂直平分线的性质．解：∵边的垂直平分线交边于点D，边的垂直平分线交边于点E，∴，，∵，∴的周长＝12，故答案为：12．21．或或【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，三种情况画出对应的图形，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角得到，再根据角度之间的关系进行求解即可．解：如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段上，∵点D在线段的垂直平分线上，∴，∴，∵，∴；如图所示，当是锐角三角形时，且点D在线段的延长线上，∵点D在线段的垂直平分线上，∴，∴，∵，∴；如图所示，当是钝角三角形时，点D在线段的延长线上，∵点D在线段的垂直平分线上，∴，∴，∴；综上所述，的度数为或或．故答案为；或或．22．3【分析】根据等边三角形的三线合一得出，，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，根据含角的直角三角形的性质，得出，进而即可求解．解：∵是等边边上的中线，∴是上的高，是的平分线，，∴，，如图，连接，∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，故答案为：3．【点拨】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键．23．35【分析】连接，，过作于，依据，，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到．解：如图，连接，，过作于，如图所示：

点关于的对称点恰好落在上，垂直平分，，，，，又，，，又，，故答案为：35．【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，三线合一，直角三角形两锐角互余，解决问题的关键是作出正确的辅助线．24．4【分析】利用基本作图得到是的垂直平分线，得到，然后利用勾股定理求得，即可求出的面积．本题考查了勾股定理，作图−基本作图，熟练掌握垂直平分线的作法是解题关键．解：由作法得是的垂直平分线，∴，∵，，∴，在中，,∴的面积是,故答案为：4．25．见分析【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，先根据是线段的垂直平分线，推出，，再证即可．解：证明：是线段的垂直平分线，，，在和中，，，．26．见分析【分析】先证明，由三角形全等的性质得，再根据，可得结论．解：证明：在和中，，，，点在线段的垂直平分线上．又，点在线段的垂直平分线上两点确定一条直线，垂直平分．【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，证明是解题的关键．27．（1）15°；（2）【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质．（1）根据三角形的内角和定理，求出的度数，中垂线的性质，得到，得到，再利用，即可得解；（2）根据中垂线的性质，得到的周长为，根据的周长为，求出的长，即可得到的长．掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．（1）解：∵，∴，∵是边的垂直平分线，∴，∴，∴；（2）∵，∴的周长为，∵的周长为，∴，∴．28．（1）见分析；（2）①②③④【分析】本题考查了“过直线外一点作已知直线的垂线”及全等三角形判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．（1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”的基本做法作图，注意垂线是一条直线．（2）根据三角形的全等的判定定理（ASA）即可补充证明过程．解：（1）如图所示：点E即为所求：作法：以点A为圆心，大于A到的距离长为半径画弧，交于M、N两点，分别以这两交点