第2章第1节拉普拉斯变换

一.拉氏变换1.定义：设函数f(t)满足：

1f(t)实函数； 2当t<0时，f(t)=0；

3当t0时，f(t)的积分在s的某一域内收敛则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。2-1 拉普拉斯变换高等函数

初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数2.常用函数的拉氏变换指数函数的拉氏变换（欧拉公式）三角函数的拉氏变换幂函数的拉氏变换阶跃函数的拉氏变换斜坡函数单位速度函数的拉氏变换洛必达法则单位脉冲函数拉氏变换抛物线函数单位加速度函数拉氏变换几个重要的拉氏变换f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinwt1(t)1/scoswtt1/(s+a)3.拉氏变换的基本性质

(1)线性性质原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。

(2)微分性质若，则有

f(0)为原函数f(t)在t=0时的初始值。

证：根据拉氏变换的定义有

原函数二阶导数的拉氏变换依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏变换原函数的高阶导数

像函数中s的高次代数式(3)积分性质若则式中为积分当t=0时的值。证：设则有由上述微分定理，有即：同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0则有即原函数f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象函数除以。（4）.终值定理原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。证：由微分定理，有等式两边对s趋向于0取极限注：若时f(t)极限不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。(5)初值定理：证明方法同上。只是要将取极限。(6)位移定理：a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟，则其象函数应乘以b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘以即：(7)时间比例尺定理原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即：证：(8)卷积定理两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。即

证明：

课程回顾(1)2拉氏变换的定义

（2）单位阶跃3常见函数L变换（5）指数函数（1）单位脉冲（3）单位斜坡（4）单位加速度（6）正弦函数（7）余弦函数课程回顾(2)（2）微分定理4L变换重要定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理二.拉氏反变换

1.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。

若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。例1：例2：求的逆变换。解：例3.2.拉式反变换——部分分式展开式的求法（1）情况一:F(s)有不同极点,这时,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和式中是D(s)=0的根，称为F(s)的极点。（2）情况2:F(s)有共轭极点例5：求解微分方程（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点,而其余极点均不相同。那么如果不记公式,可用以下方法求解也可得解。将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；解代数方程，得到有关变量s的拉氏变换表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。三.拉氏变换求解线性微分方程作业1.1-22-62-82.求下列各拉氏变换式的原函数。3.求解下列微分方程。

复习拉普拉斯变换有关内容（12）5拉氏反变换（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）试凑法系数比较法留数法例1已知，求解.

复习拉普拉斯变换有关内容（13）用L变换方法解线性常微分方程0初条件n>m:特征根（极点）:相对于的模态

复习拉普拉斯变换有关内容（14）用留数法分解部分分式一般有其中：设I.当无重根时

复习拉普拉斯变换有关内容（15）例2已知，求解.例3已知，求解.

复习拉普拉斯变换有关内容（16）例4已知，求解一.解二：

复习拉普拉斯变换有关内容（17）II.当有重根时(设为m重根，其余为单根)

复习拉普拉斯变换有