高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

专题03数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：构造法 2题型二：倒数法 3三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 5一、必备秘籍1.构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.标准模型：（为常数，）或（为常数，）类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.2.倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）二、典型题型题型一：构造法例题1．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知正项数列中，，则数列的通项（）A． B．C． D．例题2．（多选）（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则（

）A． B． C．数列为等差数列 D．为等比数列例题3．（2023春·山东淄博·高二校考期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，则数列的前项和为．例题5．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且，求.例题6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列的前n项和为，．(1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式．例题7．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）记数列的前项和为，且.(1)求证：数列是等比数列；例题8．（2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列满足，且．(1)求数列的通项公式；题型二：倒数法例题1．（多选）（2023春·云南玉溪·高二统考期末）已知数列满足，则（

）A．为等比数列B．的通项公式为C．为单调递减数列D．的前n项和例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式．例题5．（2023春·辽宁锦州·高二校考期中）已知数列的首项，，.(1)设，求数列的通项公式；例题6．（2023·全国·高三专题练习）若，，.(1)求证：；例题7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的首项，且满足.(1)求证：数列为等比数列：三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练一、单选题1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列满足，，则满足的最小正整数．3．（2023·全国·高三对口高考）数列中，，，则．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列中，，，则此数列的通项公式.5．（2023·全国·高二专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为.6．（2023·全国·高二专题练习）设为数列的前项和，已知，，则三、解答题7．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列满足：求通项.8．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知：，时，，求的通项公式．9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式.10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式；．四、双空题17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，，则；若，，则.

专题03数列求通项（构造法、倒数法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：构造法 2题型二：倒数法 5三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练 8一、必备秘籍1.构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.标准模型：（为常数，）或（为常数，）类型2：用“同除法”构造等差数列（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.2.倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.）二、典型题型题型一：构造法例题1．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）已知正项数列中，，则数列的通项（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①，令，则①式变为，即，所以数列是等比数列，其首项为，公比为，所以，即，所以，所以，解法二：设，则，与比较可得，所以，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D例题2．（多选）（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则（

）A． B． C．数列为等差数列 D．为等比数列【答案】ABC【详解】由得，两式相减得，，又当时，，则，故为首项是1，公差为的等差数列，即.显然A、C正确；，故B正确；由通项公式易得，，，三者不成等比数列，故D错误．故选：ABC．例题3．（2023春·山东淄博·高二校考期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为【答案】【详解】由得，故为等差数列，公差为1，首项为1，所以所以.故答案为：例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，则数列的前项和为．【答案】【详解】解：因为，所以，即，即，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，则，令数列的前项和为，则故答案为：例题5．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，且，求.【答案】【详解】由，得，所以数列是以首项为，公比为的等比数列.所以，即.当时，，此式也满足，故.例题6．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设数列的前n项和为，．(1)求证数列为等比数列，并求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析，【详解】（1）因为，所以当时，，解得．当时，，则，整理得，故，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以．所以例题7．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）记数列的前项和为，且.(1)求证：数列是等比数列；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由于，故，，∴，∴，，∴，，，可得，所以数列是一个首项为1，公比为2的一个等比数列；例题8．（2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中）已知正项数列满足，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）数列中，，由，可得又，则数列是首项为1公差为1的等差数列，则，则数列的通项公式为题型二：倒数法例题1．（多选）（2023春·云南玉溪·高二统考期末）已知数列满足，则（

）A．为等比数列B．的通项公式为C．为单调递减数列D．的前n项和【答案】BCD【详解】因为，所以是以1为首项，3为公差的等差数列，故选项A错误；，即，故选项B正确；根据函数在上单调递增，且，则函数在上单调递减，又因为，，则数列为单调递减数列，故选项C正确；的前项和，故选项D正确,故选：BCD.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则．【答案】【详解】设，令得：，解得：；，化简得，，所以，从而，故，又，所以是首项和公差均为的等差数列，从而，故．故答案为：例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式．【答案】【详解】令．先求出数列的不动点，解得．将不动点代入递推公式，得，整理得，，∴．令，则，．∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列．∴的通项公式为．将代入，得．∴．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式．【答案】．【详解】由题意，，所以，则，而，故是以为首项，3为公比的等比数列．于是．例题5．（2023春·辽宁锦州·高二校考期中）已知数列的首项，，.(1)设，求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）因为，，所以，取倒得，所以，因为，所以，所以是，的等比数列，所以．例题6．（2023·全国·高三专题练习）若，，.(1)求证：；【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：假设，因，，则，解得或，于是得或，与题设且矛盾，故假设不成立，所以成立.7．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的首项，且满足.(1)求证：数列为等比数列：【答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：由，可得，又故数列为等比数列.三、数列求通项（构造法、倒数法）专项训练一、单选题1．（2023春·河南许昌·高二校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由得，而，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.故选：D二、填空题2．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知数列满足，，则满足的最小正整数．【答案】5【详解】由，解得，又，所以．另一方面由，可得，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以，易知是递增数列，又，，所以满足的最小正整数．故答案为：5．3．（2023·全国·高三对口高考）数列中，，，则．【答案】【详解】由，，可得，所以，即(定值)，故数列以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，所以．故答案为：．4．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习）数列中，，，则此数列的通项公式.【答案】【详解】因为，所以，又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则.故答案为：5．（2023·全国·高二专题练习）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为.【答案】．【详解】∵，所以，即，∴是等差数列，而，所以，所以．故答案为：．6．（2023·全国·高二专题练习）设为数列的前项和，已知，，则【答案】【详解】，令，则，∴又，，∴；故答案为：；三、解答题7．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知数列满足：求通项.【答案】【详解】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2，，∴.8．（2023秋·江苏·高二专题练习）已知：，时，，求的通项公式．【答案】【详解】设，所以，∴，解得：，又，∴是以3为首项，为公比的等比数列，∴，∴．9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式.【答案】【详解】将代入已知可得.因为，所以，所以有，所以.又，所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，，所以，.10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式；【答案】．【详解】解：由，得：，∴，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，∴，得．11．（2023秋·江苏·高二专题练习）设是数列的前n项和，且，．(1)求；【答案】(1)【详解】（1）因为，，所以，两边同除以得，因为，所以，因此数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.12．（2023·浙江·模拟预测）已知数列的前项和为(1)试求数列的通项公式；【答案】(1)【详解】（1）由题意，两边同时除以，将其变形为，即，15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，.求数列