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专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一:构造法 2题型二:倒数法 3三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练 5一、必备秘籍1.构造法类型1:用“待定系数法”构造等比数列形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.标准模型:(为常数,)或(为常数,)类型2:用“同除法”构造等差数列(1)形如,可通过两边同除,将它转化为,从而构造数列为等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.(2)形如,可通过两边同除,将它转化为,换元令:,则原式化为:,先利用构造法类型1求出,再求出的通项公式.(3)形如的数列,可通过两边同除以,变形为的形式,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.2.倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1:形如(为常数,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,即:,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,即可求得.类型2:形如(为常数,,,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,可通过换元:,化简为:(此类型符构造法类型1:用“待定系数法”构造等比数列:形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.)二、典型题型题型一:构造法例题1.(2023秋·江西宜春·高三校考开学考试)已知正项数列中,,则数列的通项()A. B.C. D.例题2.(多选)(2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习)已知数列的前n项和为,且满足,,则(

)A. B. C.数列为等差数列 D.为等比数列例题3.(2023春·山东淄博·高二校考期中)已知数列满足,,则数列的通项公式为例题4.(2023·全国·高二专题练习)已知数列满足,则数列的前项和为.例题5.(2023·全国·高三专题练习)在数列中,,且,求.例题6.(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设数列的前n项和为,.(1)求证数列为等比数列,并求数列的通项公式.例题7.(2023秋·重庆·高三统考阶段练习)记数列的前项和为,且.(1)求证:数列是等比数列;例题8.(2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中)已知正项数列满足,且.(1)求数列的通项公式;题型二:倒数法例题1.(多选)(2023春·云南玉溪·高二统考期末)已知数列满足,则(

)A.为等比数列B.的通项公式为C.为单调递减数列D.的前n项和例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,则.例题3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的递推公式,且首项,求数列的通项公式.例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,求的通项公式.例题5.(2023春·辽宁锦州·高二校考期中)已知数列的首项,,.(1)设,求数列的通项公式;例题6.(2023·全国·高三专题练习)若,,.(1)求证:;例题7.(2023·全国·高二专题练习)已知数列的首项,且满足.(1)求证:数列为等比数列:三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练一、单选题1.(2023春·河南许昌·高二校考阶段练习)已知数列满足,则的通项公式(

)A. B. C. D.二、填空题2.(2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)已知数列满足,,则满足的最小正整数.3.(2023·全国·高三对口高考)数列中,,,则.4.(2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习)数列中,,,则此数列的通项公式.5.(2023·全国·高二专题练习)数列{an}满足,,则数列{an}的通项公式为.6.(2023·全国·高二专题练习)设为数列的前项和,已知,,则三、解答题7.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知数列满足:求通项.8.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知:,时,,求的通项公式.9.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,.若,求数列的通项公式.10.(2023·全国·高二专题练习)已知数列中,,求数列的通项公式;.四、双空题17.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,若,,则;若,,则.

专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一:构造法 2题型二:倒数法 5三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练 8一、必备秘籍1.构造法类型1:用“待定系数法”构造等比数列形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.标准模型:(为常数,)或(为常数,)类型2:用“同除法”构造等差数列(1)形如,可通过两边同除,将它转化为,从而构造数列为等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.(2)形如,可通过两边同除,将它转化为,换元令:,则原式化为:,先利用构造法类型1求出,再求出的通项公式.(3)形如的数列,可通过两边同除以,变形为的形式,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.2.倒数法用“倒数变换法”构造等差数列类型1:形如(为常数,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,即:,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,即可求得.类型2:形如(为常数,,,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,可通过换元:,化简为:(此类型符构造法类型1:用“待定系数法”构造等比数列:形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.)二、典型题型题型一:构造法例题1.(2023秋·江西宜春·高三校考开学考试)已知正项数列中,,则数列的通项()A. B.C. D.【答案】D【详解】解法一:在递推公式的两边同时除以,得①,令,则①式变为,即,所以数列是等比数列,其首项为,公比为,所以,即,所以,所以,解法二:设,则,与比较可得,所以,所以数列是首项为,公比为2的等比数列,所以,所以,故选:D例题2.(多选)(2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习)已知数列的前n项和为,且满足,,则(

)A. B. C.数列为等差数列 D.为等比数列【答案】ABC【详解】由得,两式相减得,,又当时,,则,故为首项是1,公差为的等差数列,即.显然A、C正确;,故B正确;由通项公式易得,,,三者不成等比数列,故D错误.故选:ABC.例题3.(2023春·山东淄博·高二校考期中)已知数列满足,,则数列的通项公式为【答案】【详解】由得,故为等差数列,公差为1,首项为1,所以所以.故答案为:例题4.(2023·全国·高二专题练习)已知数列满足,则数列的前项和为.【答案】【详解】解:因为,所以,即,即,所以是以为首项,为公差的等差数列,所以,所以,则,令数列的前项和为,则故答案为:例题5.(2023·全国·高三专题练习)在数列中,,且,求.【答案】【详解】由,得,所以数列是以首项为,公比为的等比数列.所以,即.当时,,此式也满足,故.例题6.(2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测)设数列的前n项和为,.(1)求证数列为等比数列,并求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析,【详解】(1)因为,所以当时,,解得.当时,,则,整理得,故,,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以.所以例题7.(2023秋·重庆·高三统考阶段练习)记数列的前项和为,且.(1)求证:数列是等比数列;【答案】(1)证明见解析【详解】(1)由于,故,,∴,∴,,∴,,,可得,所以数列是一个首项为1,公比为2的一个等比数列;例题8.(2023春·江苏盐城·高二盐城市第一中学校联考期中)已知正项数列满足,且.(1)求数列的通项公式;【答案】(1)【详解】(1)数列中,,由,可得又,则数列是首项为1公差为1的等差数列,则,则数列的通项公式为题型二:倒数法例题1.(多选)(2023春·云南玉溪·高二统考期末)已知数列满足,则(

)A.为等比数列B.的通项公式为C.为单调递减数列D.的前n项和【答案】BCD【详解】因为,所以是以1为首项,3为公差的等差数列,故选项A错误;,即,故选项B正确;根据函数在上单调递增,且,则函数在上单调递减,又因为,,则数列为单调递减数列,故选项C正确;的前项和,故选项D正确,故选:BCD.例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,则.【答案】【详解】设,令得:,解得:;,化简得,,所以,从而,故,又,所以是首项和公差均为的等差数列,从而,故.故答案为:例题3.(2023·全国·高三专题练习)已知数列的递推公式,且首项,求数列的通项公式.【答案】【详解】令.先求出数列的不动点,解得.将不动点代入递推公式,得,整理得,,∴.令,则,.∴数列是以为首项,以1为公差的等差数列.∴的通项公式为.将代入,得.∴.例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,求的通项公式.【答案】.【详解】由题意,,所以,则,而,故是以为首项,3为公比的等比数列.于是.例题5.(2023春·辽宁锦州·高二校考期中)已知数列的首项,,.(1)设,求数列的通项公式;【答案】(1)【详解】(1)因为,,所以,取倒得,所以,因为,所以,所以是,的等比数列,所以.例题6.(2023·全国·高三专题练习)若,,.(1)求证:;【答案】(1)证明见解析【详解】(1)证明:假设,因,,则,解得或,于是得或,与题设且矛盾,故假设不成立,所以成立.7.(2023·全国·高二专题练习)已知数列的首项,且满足.(1)求证:数列为等比数列:【答案】(1)证明见解析【详解】(1)证明:由,可得,又故数列为等比数列.三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练一、单选题1.(2023春·河南许昌·高二校考阶段练习)已知数列满足,则的通项公式(

)A. B. C. D.【答案】D【详解】由得,而,故是首项为2,公比为2的等比数列,所以,即.故选:D二、填空题2.(2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)已知数列满足,,则满足的最小正整数.【答案】5【详解】由,解得,又,所以.另一方面由,可得,所以是首项为,公比为3的等比数列,所以,易知是递增数列,又,,所以满足的最小正整数.故答案为:5.3.(2023·全国·高三对口高考)数列中,,,则.【答案】【详解】由,,可得,所以,即(定值),故数列以为首项,为公差的等差数列,所以,所以,所以.故答案为:.4.(2023春·江西南昌·高二南昌二中校考阶段练习)数列中,,,则此数列的通项公式.【答案】【详解】因为,所以,又,所以,所以是以为首项,为公比的等比数列,所以,则.故答案为:5.(2023·全国·高二专题练习)数列{an}满足,,则数列{an}的通项公式为.【答案】.【详解】∵,所以,即,∴是等差数列,而,所以,所以.故答案为:.6.(2023·全国·高二专题练习)设为数列的前项和,已知,,则【答案】【详解】,令,则,∴又,,∴;故答案为:;三、解答题7.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知数列满足:求通项.【答案】【详解】取倒数:,故是等差数列,首项为,公差为2,,∴.8.(2023秋·江苏·高二专题练习)已知:,时,,求的通项公式.【答案】【详解】设,所以,∴,解得:,又,∴是以3为首项,为公比的等比数列,∴,∴.9.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,,.若,求数列的通项公式.【答案】【详解】将代入已知可得.因为,所以,所以有,所以.又,所以,数列是以2为首项,1为公差的等差数列,所以,,所以,.10.(2023·全国·高二专题练习)已知数列中,,求数列的通项公式;【答案】.【详解】解:由,得:,∴,即数列是首项为1,公差为2的等差数列,∴,得.11.(2023秋·江苏·高二专题练习)设是数列的前n项和,且,.(1)求;【答案】(1)【详解】(1)因为,,所以,两边同除以得,因为,所以,因此数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.12.(2023·浙江·模拟预测)已知数列的前项和为(1)试求数列的通项公式;【答案】(1)【详解】(1)由题意,两边同时除以,将其变形为,即,15.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,.求数列

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