高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题04解三角形(中线问题)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

专题04解三角形（中线问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2方法一：向量化(三角形中线向量化） 2方法二：角互补 3三、专项训练 4一、必备秘籍1、向量化(三角形中线问题）如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）2、角互补二、典型题型方法一：向量化(三角形中线向量化）1．（2023·四川泸州·校考三模）在中，角所对的边分别为，，．(1)求的值；(2)若，求边上中线的长．2．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）的内角所对边分别为，，，已知，.(1)若，求的周长；(2)若边的中点为，求中线的最大值.3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)记分别为内角的对边，且，的中线，求面积的最大值．方法二：角互补1．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，求的中线长度的最小值.2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）三、专项训练1．（2023·全国·高三专题练习）在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（

）A．6 B．12 C．18 D．242．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求边中线的取值范围．3．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，．(1)若BC边上的高等于，求；(2)若，求AB边上的中线CD长度的最小值．4．（2023·浙江杭州·统考一模）已知中角、、所对的边分别为、、，且满足，．(1)求角A；(2)若，边上中线，求的面积．5．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(1)求角A的大小；(2)若，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．6．（2023·四川内江·校考模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，，，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍．(1)求△ACD的面积；(2)求△ABC的边BC上的中线AE的长．7．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若边上的中线，求面积的最大值．8．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若，求的中线的最小值.9．（2023·安徽淮南·统考一模）已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：(1)求角的大小；(2)求边中线长的最小值.条件①：;条件②：.10．（2023·全国·高三专题练习）如图,已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求B；(2)若AC边上的中线，且，求的周长．(1)求角A的大小(2)若BC边上的中线，且，求的周长15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，分别是角的对边，，，若为上一点，满足为的中线，且，求的周长．

专题04解三角形（中线问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 1方法一：向量化(三角形中线向量化） 1方法二：角互补 4三、专项训练 7一、必备秘籍1、向量化(三角形中线问题）如图在中，为的中点，(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）2、角互补二、典型题型方法一：向量化(三角形中线向量化）1．（2023·四川泸州·校考三模）在中，角所对的边分别为，，．(1)求的值；(2)若，求边上中线的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得：，，，，，又，，解得：.（2），，由余弦定理得：，，，，即边上中线的长为.2．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）的内角所对边分别为，，，已知，.(1)若，求的周长；(2)若边的中点为，求中线的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，由正弦定理可得：，则，若，则，解得，故的周长.（2）∵，∴，由（1）可得：，即，∵，当且仅当时，等号成立，∴，则，故，则，所以的最大值为.3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)记分别为内角的对边，且，的中线，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，解得，的单调递增区间为；（2）因为，可得，因为，所以即，由及可得，，所以所以即，当且仅当时取到等号，所以，故面积的最大值为.方法二：角互补1．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若，求的中线长度的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）选择条件①：由及正弦定理，得：，即，由余弦定理，得,因为，所以；选择条件②：由及正弦定理，得：，即.即.在中，，所以，即，因为，所以，所以,因为，所以；选择条件③：由及正弦定理，得：，因为,，所以.在中，，则，故.因为，所以，则，故；（2）因为，所以，整理得，在三角形中，由余弦定理得.因为，当且仅当时取等号，所以，即，所以，即，即长度的最小值为.2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，∴，∴,∴，∵，∴，又∵,∴,（2）由已知得，，在△中，由余弦定理得，在△中，由余弦定理得，又∵,∴，在△中，由余弦定理得，以上两式消去得,解得或（舍去），则.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)，(2)答案见解析【详解】（1），由，得，，∴函数的单调递增区间为，；（2）由，得，又中，，可知；若选①：由，可知，可化为，又，则，又中，故，所以，则，故；若选②：为的中线，且在中，，，则有，在中，，在中，，又，则则，又知，故；故；若选③：为的角平分线，且.由题意知，，即，整理得又在中，，，则有，故解之得，，故.三、专项训练1．（2023·全国·高三专题练习）在等腰中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则的面积的最大值是（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【详解】设，，由于，在和中应用余弦定理可得：，整理可得：，结合勾股定理可得的面积：，当且仅当时等号成立．则面积的最大值为6．故选：A.2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求边中线的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知可得，由余弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又，所以．（2）因为M为的中点，所以，则，即．因为，所以．所以，所以．3．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知在中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，．(1)若BC边上的高等于，求；(2)若，求AB边上的中线CD长度的最小值．【答案】(1)(2)【详解】（1）过作，垂足为，则，，，在三角形中，由余弦定理得.（2），，两边平方得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.4．（2023·浙江杭州·统考一模）已知中角、、所对的边分别为、、，且满足，．(1)求角A；(2)若，边上中线，求的面积．【答案】(1)(2)【详解】（1），所以由正弦定理得，，，即，，，，；（2），则，即，而，边上中线，故，解得，．5．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若(1)求角A的大小；(2)若，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理可得：,即，,因为，所以，所以，因为,所以.（2）由（1）得，则，所以，即，当且仅当时等号成立，因为点D是边BC中点，所以,两边平方可得：,则，所以，中线AD长的最大值为.6．（2023·四川内江·校考模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，，，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍．(1)求△ACD的面积；(2)求△ABC的边BC上的中线AE的长．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，化简得：．又因为：，所以，所以，所以△ACD的面积为．（2）由（1）可知，因为AE是△ABC的边BC上的中线，所以，所以，所以△ABC的边BC上的中线AE的长为．7．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若边上的中线，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意有，又，，又，解得，，；（2）因为所以，当且仅当时成立，故面积的最大值为.8．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若，求的中线的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为所以，由正弦定理可得，所以，因为，则；（2）由题意，则，则，即的中线的最小值为（当且仅当取最小值）；综上，的最小值为.9．（2023·安徽淮南·统考一模）已知内角所对的边分别为，面积为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：(1)求角的大小；(2)求边中线长的最小值.条件①：;条件②：.【答案】(1)(2)【详解】（1）选条件①：,因为中，所以，由正弦定理可得，即，，又,所以.选条件②：由余弦定理可得即，由正弦定理可得，因为，所以，所以，即，又,所以.（2）由（1）知，的面积为，所以，解得，由平面向量可知，所以，当且仅当时取等号，故边中线的最小值为.10．（2023·全国·高三专题练习）如图,已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求B；(2)若AC边上的中线，且，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，由余弦定理可得，∴，∴，由，∴.（2）如图，由（1）得，，①由余弦定理知，即，②

在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因为，所以③

由①②③，得，所以，

所以的周长．11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在中，角，，对边分别为，，，且，.(1)求；(2)若，边上中线，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理有，因为，有，因为，故，；（2）法一：在和中，，因为，，则，因为，所以，所以；法二：因为，所以，有，因为，所以，所以；法三：如图，作交于，则是的中点，所以，，，即，解得，所以.12．（2023·全国·高三专题练习）在中，.(1)求；(2)求边上的中线.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，故，所以，解得，故，故.（2）如图所示，是中点，连接，，，，故，解得，即边上的中线为.13．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）锐角的内角，，的对边分别为，，，的面积