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长春市普通高中2018届高三质量监测(二)数学文科一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知,,则李国波录A. B. C. D.2.已知复数为纯虚数,则A. B. C. D. 3.命题“若,则”的逆否命题是A.若,则或B.若,则C.若或,则 D.若或,则4.已知椭圆的左右焦点分别为,过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点,则△的周长为A. B. C. D.5.已知平面向量,则A. B. C. D.6.已知等比数列的各项均为正数,前项和为,若,则A.B.C.D.7.定义在上的奇函数,满足在上单调递增,且,则的解集为A. B.C. D.8.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线条画出的是一个三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为A.B.C.D.9.若点满足线性条件,则的最大值为A.B.C.D.10.已知函数,且,则下列结论中正确的是A.B.是图象的一个对称中心C.D.是图象的一条对称轴11.已知双曲线的左、右焦点分别为,点在双曲线的右支上,且,则双曲线离心率的取值范围是A. B.C. D.12.若关于的方程存在三个不等实根,则实数的取值范围是A. B.C. D.13.曲线在点处的切线方程为___________.14.若向区域内投点,则该点到原点的距离小于的概率为__________.15.更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的,若输入,则输出的值为_____.是是否否是开始输出结束输出16.在△中,内角的对边分别为,若其面积,角的平分线交于,,,则________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分)已知数列的通项公式为.(1)求证:数列是等差数列;(2)令,求数列的前项和.18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱中,.(1)证明:平面;(2)求三棱锥的体积.19.(本小题满分12分)某种植园在芒果临近成熟时,随机从一些芒果树上摘下100个芒果,其质量分别在,,,,,(单位:克)中,经统计得频率分布直方图如图所示.0.0080.0040.0080.0040.0030.0020.001频率/组距100150200250300350400质量(克)(1)经计算估计这组数据的中位数;(2)现按分层抽样从质量为,的芒果中随机抽取个,再从这个中随机抽取个,求这个芒果中恰有个在内的概率.(3)某经销商来收购芒果,以各组数据的中间数代表这组数据的平均值,用样本估计总体,该种植园中还未摘下的芒果大约还有个,经销商提出如下两种收购方案:A:所以芒果以元/千克收购;B:对质量低于克的芒果以元/个收购,高于或等于克的以元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?20.(本小题满分12分)已知直线过抛物线:的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,与抛物线两交点间的距离为.(1)求抛物线的方程;(2)若点,过点的直线与抛物线相交于,两点,设直线与的斜率分别为和.求证:为定值,并求出此定值.21.(本小题满分12分)函数.(1)若函数恒成立,求实数的取值范围;(2)当时,设在时取到极小值,证明:.(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程选讲.已知曲线的参数方程为(为参数),以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程;(2)若过点的直线与交于,两点,与交于两点,求的取值范围.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲.已知函数.(1)求的解集;(2)若的最小值为,正数满足,求证:.长春市普通高中2018届高三质量监测(二)数学(文科)试题参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.A【命题意图】本题考查集合的运算.【试题解析】A.故选A.2.B【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】B.故选B.3.D【命题意图】【试题解析】D由逆否命题的知识.故选D.4.C【命题意图】【试题解析】C由题意知的周长为.故选C.5.A【命题意图】【试题解析】A由题意知,,所以.故选A.6.C【命题意图】本题主要考查等比数列知识.【试题解析】C由得,解得,从而. 故选C.7.D【命题意图】【试题解析】D由函数性质可知,的取值范围是 .故选D.8.B【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】B由图形可知体积为.故选B.9.D【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识.【试题解析】D 由可行域可知在点处取得最大值.故选D.10.A【命题意图】【试题解析】A由题意可知,正确.故选A.11.B【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】B由双曲线定义可知,从而,双曲线的离心率取值范围为.故选B.12.C【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识.【试题解析】C由题意知,令,的两根一正一负,由的图象可知,,解得.故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】,,,因此,即切线方程为.14.【命题意图】本题考查几何概型.【试题解析】由题意区域的面积为1,在区域内,到原点的距离小于1的区域面积为,即概率为.15.13【命题意图】本题考查程序框图的相关知识.【试题解析】由输入,代入程序框图计算可得输出的的值为13.16.1【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.【试题解析】,可知,即.由角分线定理可知,,,在中,,在中,,即,则.三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查等差数列及数列前n项和求法. 【试题解析】(1)由可知 (),因此数列为等差数列.(6分) (2)由(1)知. (12分)18.(本小题满分12分) 【命题意图】本小题以三棱柱为载体,考查立体几何的基础知识.本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解:(1) (6分)(2). (12分)19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解,以及古典概型的相关知识,同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解:(1)该样本的中位数为268.75 (4分)(2)抽取的6个芒果中,质量在和内的分别有4个和2个.设质量在内的4个芒果分别为,质量在内的2个芒果分别为.从这6个芒果中选出3个的情况共有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共计20种,其中恰有一个在内的情况有,,,,,,,,,,,共计12种,因此概率. (8分)(3)方案A:方案B:低于250克:元高于或等于250克元总计元由,故B方案获利更多,应选B方案. (12分)20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1)由题意可知,,抛物线的方程为. (4分)(2)已知,设直线的方程为:,,则,,联立抛物线与直线的方程消去得可得,,代入可得. 因此可以为定值,且该定值为. (12分)21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识,具体涉及到导数的运算,利用导数比较大小等,考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1)解:将原不等式化为,设,而,故当时,单调递减,当时,单调递增所以,即为所求. (4分)(2)当时,,令,则,解得故在上单调递增,在上单调递减,而且,故在区间内解为,即,因此,令又,所以,即成立.(12分)22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想,对运算求解能力有一定要求.【试题解析】(1)曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为 ; (5分) (2)设直线
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