吉林省长春市普通高中高三质量监测（二）数学（文）试题

长春市普通高中2018届高三质量监测（二）数学文科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，，则李国波录A. B. C. D.2.已知复数为纯虚数，则A. B. C. D. 3.命题“若，则”的逆否命题是A.若，则或B.若，则C.若或，则 D.若或，则4.已知椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则△的周长为A. B. C. D.5.已知平面向量，则A. B. C. D.6.已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则A.B.C.D.7.定义在上的奇函数，满足在上单调递增，且，则的解集为A. B.C. D.8.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A.B.C.D.9.若点满足线性条件，则的最大值为A.B.C.D.10.已知函数，且，则下列结论中正确的是A.B.是图象的一个对称中心C.D.是图象的一条对称轴11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是A. B.C. D.12.若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是A. B.C. D.13.曲线在点处的切线方程为___________.14.若向区域内投点，则该点到原点的距离小于的概率为__________.15.更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，则输出的值为_____.是是否否是开始输出结束输出16.在△中，内角的对边分别为，若其面积，角的平分线交于，，，则________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列的通项公式为.(1)求证：数列是等差数列；(2)令，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.19.（本小题满分12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.0.0080.0040.0080.0040.0030.0020.001频率/组距100150200250300350400质量（克）(1)经计算估计这组数据的中位数；(2)现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，求这个芒果中恰有个在内的概率.（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以元/千克收购；B：对质量低于克的芒果以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？20.（本小题满分12分）已知直线过抛物线：的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为.(1)求抛物线的方程;(2)若点，过点的直线与抛物线相交于,两点，设直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.21.（本小题满分12分）函数.（1）若函数恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，设在时取到极小值，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于,两点，与交于两点，求的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.已知函数.(1)求的解集；(2)若的最小值为,正数满足，求证：.长春市普通高中2018届高三质量监测（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A【命题意图】本题考查集合的运算.【试题解析】A.故选A.2.B【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】B.故选B.3.D【命题意图】【试题解析】D由逆否命题的知识.故选D.4.C【命题意图】【试题解析】C由题意知的周长为.故选C.5.A【命题意图】【试题解析】A由题意知，，所以.故选A.6.C【命题意图】本题主要考查等比数列知识.【试题解析】C由得，解得，从而. 故选C.7.D【命题意图】【试题解析】D由函数性质可知，的取值范围是 .故选D.8.B【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】B由图形可知体积为.故选B.9.D【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识.【试题解析】D 由可行域可知在点处取得最大值.故选D.10.A【命题意图】【试题解析】A由题意可知，正确.故选A.11.B【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】B由双曲线定义可知，从而，双曲线的离心率取值范围为.故选B.12.C【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识.【试题解析】C由题意知，令，的两根一正一负，由的图象可知，，解得.故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】，，，因此，即切线方程为.14.【命题意图】本题考查几何概型.【试题解析】由题意区域的面积为1，在区域内，到原点的距离小于1的区域面积为，即概率为.15.13【命题意图】本题考查程序框图的相关知识.【试题解析】由输入，代入程序框图计算可得输出的的值为13.16.1【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.【试题解析】，可知，即.由角分线定理可知，，，在中，，在中，，即，则.三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查等差数列及数列前n项和求法. 【试题解析】（1）由可知 （），因此数列为等差数列.（6分） （2）由（1）知. （12分）18.(本小题满分12分) 【命题意图】本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识.本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1） （6分）（2）. （12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及古典概型的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：（1）该样本的中位数为268.75 （4分）（2）抽取的6个芒果中，质量在和内的分别有4个和2个.设质量在内的4个芒果分别为，质量在内的2个芒果分别为.从这6个芒果中选出3个的情况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共计20种，其中恰有一个在内的情况有，，，，，，，，，，，共计12种，因此概率. （8分）（3）方案A：方案B：低于250克：元高于或等于250克元总计元由，故B方案获利更多，应选B方案. （12分）20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】（1）由题意可知，，抛物线的方程为. （4分）（2）已知，设直线的方程为：，，则，，联立抛物线与直线的方程消去得可得，，代入可得. 因此可以为定值，且该定值为. （12分）21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，利用导数比较大小等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】（1）解：将原不等式化为，设，而，故当时，单调递减，当时，单调递增所以，即为所求. （4分）（2）当时，，令，则，解得故在上单调递增，在上单调递减，而且，故在区间内解为，即，因此，令又，所以，即成立.（12分）22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ； （5分） （2）设直线