举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题5.9 三角恒等变换（重难点题型精讲）（含答案及解析）

专题5.9三角恒等变换（重难点题型精讲）1．两角差的余弦公式对于任意角，有.

此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.

公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.2．两角和的余弦公式(1)公式的结构特征(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧

两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.

①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.3．两角和与差的正弦公式(1)两角和与差的正弦公式的结构特征(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧

两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.

①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.4．两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式的结构特征符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(1)角的代换代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.

常用的角的代换形式：①=(+)-；

②=-(-)；

③=[(+)+(-)]；

④=[(+)-(-)]；

⑤=(-)-(-)；

⑥-=(-)+(-).(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.(3)辅助角公式通过应用公式[或将形如(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数[或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.6．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式7．二倍角公式的变形应用(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方变形

.

(3)因式分解变形

.

(4)升幂公式

；.

【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】【方法点拨】公式运用之妙，存乎一心.使用时强调一个“活”字，而“活”的基础来源于对公式结构本身的深刻理解.【例1】（2022·四川省模拟预测（理））已知α，β都为锐角，cosα=17，cosα+β=−A．12 B．−7198 C．−【变式1-1】（2022·江苏南京·高二期中）已知α,β均为锐角，且sinα+β=2sinα−β，则A．13 B．12 C．2【变式1-2】（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知cosα+π12=35，A．3−4310 B．45 C．−【变式1-3】（2022·天津市高一阶段练习）若0<α<π2，−π2<β<0，cosπ4A．33 B．−33 C．5【题型2利用和（差）角公式求三角函数式的值】【方法点拨】解决三角函数求值的四个切入点：(1)观察角的特点.充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角.(2)观察函数特点.向同名函数转化，弦切互化，通常是切化弦.(3)利用辅助角公式求解.(4)观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些公式.【例2】（2022·湖南·高三阶段练习）2cos10∘A．1 B．2 C．3 D．2【变式2-1】（2022·宁夏·高三期末（文））sin10°cos50°+A．12 B．22 C．32【变式2-2】（2022·河南高三阶段练习（文））已知tanα=−3，则cosα+πA．225 B．−22 C．−【变式2-3】（2022·山东·高一阶段练习）若cosα=35，则cosA．43100 B．11100 C．−43【题型3利用和（差）角公式化简三角函数式】【方法点拨】(1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不合三角函数式和根式.(2)化简三角函数式的常用方法:①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次.【例3】（2022·湖南·高一课时练习）化简：(1)sinα+β(2)sin10°+【变式3-1】设3π4<θ<【变式3-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））化简下列各式：(1)sin67°+(2)2sin(3)sinα+β【变式3-3】（2022·全国·高一课前预习）化简：(1)(tan10°－3)·cos10(2)sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ【题型4利用和（差）角公式证明三角恒等式】【方法点拨】证明条件恒等式要充分关注已知条件与待证恒等式的关系，正确运用条件并合理切入，然后用证明恒等式的一般方法处理.【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知sinβ=msin2α+β，且α+β≠π2+kπ【变式4-1】（2021·全国·高一课时练习）已知sinα+β=a，(1)sinα(2)cosα【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）求证：（1）sin(α−β)（2）1cos【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）求证：（1）cosα（2）cosα（3）sinα【题型5利用二倍角公式化简】【方法点拨】解决三角函数式的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形.可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决.一般采用切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，在化简时，要注意角的取值范围.【例5】（2021·全国·高一专题练习）化简：(1)cosπ12cos5π(2)cos4α2－sin4α(3)tan22.5【变式5-1】（2022·上海·高三专题练习）化简：1+sinα+【变式5-2】（2022·江苏·高一课时练习）化简：(1)sinα+(2)2tan(3)cos40°(4)sin4(5)11+(6)3−sin【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）化简下列各式：（1）11−（2）2cos【题型6利用二倍角公式求值】【方法点拨】对于给角求值问题，需观察题中角之同的关系，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用、变形用二倍角公式求值，注意利用诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化.【例6】（2022·全国·高一单元测试）已知tanα(1)求sinα(2)求tan(β−2α)【变式6-1】（2022·湖北黄石·高一期中）已知tan(1)求tanα(2)求1+cos【变式6-2】（2022·浙江·高一期末）已知sinα=35(1)求tanα(2)求sin2【变式6-3】（2022·北京高一期中）已知2sin(1)tanθ(2)3cos专题5.9三角恒等变换（重难点题型精讲）1．两角差的余弦公式对于任意角，有.

此公式给出了任意角,的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.

公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和.2．两角和的余弦公式(1)公式的结构特征(2)两角和与差的余弦公式的记忆技巧

两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”.

①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”.3．两角和与差的正弦公式(1)两角和与差的正弦公式的结构特征(2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧

两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”.

①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”,两角差时用“-”.4．两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式的结构特征符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.5．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(1)角的代换代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.

常用的角的代换形式：①=(+)-；

②=-(-)；

③=[(+)+(-)]；

④=[(+)-(-)]；

⑤=(-)-(-)；

⑥-=(-)+(-).(2)常值代换

用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.(3)辅助角公式通过应用公式[或将形如(a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数[或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.6．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式7．二倍角公式的变形应用(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方变形

.

(3)因式分解变形

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(4)升幂公式

；.

【题型1两角和与差的三角函数公式的应用】【方法点拨】公式运用之妙，存乎一心.使用时强调一个“活”字，而“活”的基础来源于对公式结构本身的深刻理解.【例1】（2022·四川省模拟预测（理））已知α，β都为锐角，cosα=17，cosα+β=−A．12 B．−7198 C．−【解题思路】由同角三角函数的基本关系可得sinα和sin(α+β)，代入【解答过程】解：∵α，β都是锐角，cosα=17∴sinα=1−co∴=−11故选：A．【变式1-1】（2022·江苏南京·高二期中）已知α,β均为锐角，且sinα+β=2sinα−β，则A．13 B．12 C．2【解题思路】根据两角和差的正弦公式，结合商数关系化简即可得解.【解答过程】解：因为sinα+β所以sinα即3cos又α,β均为锐角，所以sinαcosβ故选：D.【变式1-2】（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知cosα+π12=35，A．3−4310 B．45 C．−【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出sinα+π12【解答过程】解：因为α∈0,π2，所以α+所以sinα+所以sin==3故选：D.【变式1-3】（2022·天津市高一阶段练习）若0<α<π2，−π2<β<0，cosπ4A．33 B．−33 C．5【解题思路】根据题意求得sinπ4+α【解答过程】由题意，可得π4<π因为cosπ4+α=13，则cos=1故选：C.【题型2利用和（差）角公式求三角函数式的值】【方法点拨】解决三角函数求值的四个切入点：(1)观察角的特点.充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角.(2)观察函数特点.向同名函数转化，弦切互化，通常是切化弦.(3)利用辅助角公式求解.(4)观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些公式.【例2】（2022·湖南·高三阶段练习）2cos10∘A．1 B．2 C．3 D．2【解题思路】把分子中的cos10°化为cos【解答过程】原式=2cos3=3cos20故选：C.【变式2-1】（2022·宁夏·高三期末（文））sin10°cos50°+A．12 B．22 C．32【解题思路】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确答案.【解答过程】sin=cos故选：C.【变式2-2】（2022·河南高三阶段练习（文））已知tanα=−3，则cosα+πA．225 B．−22 C．−【解题思路】利用两角和的余弦公式和三角函数的基本关系式，化简的原式=2【解答过程】由cosα+故选：B.【变式2-3】（2022·山东·高一阶段练习）若cosα=35，则cosA．43100 B．11100 C．−43【解题思路】化简得cosπ6+α【解答过程】解：因为cosπ6=(32cosα−=cos2α−故选：B.【题型3利用和（差）角公式化简三角函数式】【方法点拨】(1)化简三角函数式的标准和要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少；③使三角函数式的次数尽可能低；④使分母中尽量不合三角函数式和根式.(2)化简三角函数式的常用方法:①切化弦；②异名化同名；③异角化同角；④高次降低次.【例3】（2022·湖南·高一课时练习）化简：(1)sinα+β(2)sin10°+【解题思路】（1）由sin(α+2β)=（2）由sin10【解答过程】(1)∵∴=1(2)sin===−=−=−sin【变式3-1】设3π4<θ<【解题思路】利用诱导公式及两角和与差的正弦公式化简计算即可.【解答过程】cos==2∵3π4∴cos∴cos【变式3-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））化简下列各式：(1)sin67°+(2)2sin(3)sinα+β【解题思路】（1）将67°写成67o（2）切化弦，结合辅助角公式，两角和的正弦公式运算即可求解；．（3）将2α+β改成α+β+α，β改成α+β−α的形式，结合两角和的正弦公式即可求解．【解答过程】(1)解：原式=sin75°−8°+=tan75°=tan(2)解：原式===2=22(3)解：原式==sinα+βcosα−1【变式3-3】（2022·全国·高一课前预习）化简：(1)(tan10°－3)·cos10(2)sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ【解题思路】（1）结合同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式计算出正确答案.（2）结合两角和与差的正弦公式计算出正确答案.【解答过程】(1)原式＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50＝sin10°＝－sin(60°−10(2)原式＝sin(α＋β)cosα－12[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α＝sin(α＋β)cosα－12[sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)－sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－12×2sinαcos(α＋β＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β－α)＝sinβ.【题型4利用和（差）角公式证明三角恒等式】【方法点拨】证明条件恒等式要充分关注已知条件与待证恒等式的关系，正确运用条件并合理切入，然后用证明恒等式的一般方法处理.【例4】（2022·全国·高一课时练习）已知sinβ=msin2α+β，且α+β≠π2+kπ【解题思路】转化sinβ=sin[(α+β)−α]【解答过程】由题意，sinβ=m故sinβ=m又sinβ=∴sin∴(1−m)sin由于α+β≠π2+kπk∈Z故cos(α+β)≠0,cosα≠0两边同除以：(1−m)cos可得tanα+β【变式4-1】（2021·全国·高一课时练习）已知sinα+β=a，(1)sinα(2)cosα【解题思路】（1）根据两角和与差的正弦公式展开，然后两式相加即可得证；（2）根据两角和与差的正弦公式展开，然后两式相减即可得证；【解答过程】(1)证明：因为sinα+β=asin所以两式相加可得2sin所以得证sinα(2)证明：因为sinα+β=asin所以两式相减可得2cos所以得证cosα【变式4-2】（2021·全国·高一课时练习）求证：（1）sin(α−β)（2）1cos【解题思路】（1）直接根据差角的正弦公式与同角三角函数的商关系证明即可；（2）由（1）得sin1°【解答过程】证明：（1）sin(α−β)（2）由（1）得sin1°∴1cos0°cos∴1cos【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）求证：（1）cosα（2）cosα（3）sinα【解题思路】直接利用两角和与差的三角函数化简等式的左侧，证明即可．【解答过程】证明：（1）12（2）12（3）−1【题型5利用二倍角公式化简】【方法点拨】解决三角函数式的化简问题就是根据题目特点，利用相应的公式，对所给三角函数式进行适当变形.可从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决.一般采用切化弦、异角化同角、异次化同次、异名化同名、通分、使被开方数化为完全平方式等进行变形，同时注意公式的逆用以及“1”的恒等代换，在化简时，要注意角的取值范围.【例5】（2021·全国·高一专题练习）化简：(1)cosπ12cos5π(2)cos4α2－sin4α(3)tan22.5【解题思路】（1）利用诱导公式及二倍角正弦公式计算可得；（2）利用平方关系及二倍角余弦公式计算可得；（3）利用二倍角的正切公式计算可得；【解答过程】（1）解：cosπ（2）解：cos4（3）解：tan22.5【变式5-1】（2022·上海·高三专题练习）化简：1+sinα+【解题思路】根据二倍角正弦公式与二倍角余弦公式对根式进行配方，再根据角的范围去绝对值，即得结果.【解答过程】1+==cos∵α为锐角，∴α∴1+sinα+【变式5-2】（2022·江苏·高一课时练习）化简：(1)sinα+(2)2tan(3)cos40°(4)sin4(5)11+(6)3−sin【解题思路】（1）根据同角的三角函数关系式，结合正弦二倍角公式进行求解即可；（2）逆用正切二倍角公式，结合特殊角的正切值进行求解即可；（3）运用切化弦法，结合辅助角公式、二倍角公式、诱导公式进行求解即可；（4）运用平方差公式，结合同角的三角函数关系式、余弦的二倍角公式进行求解即可；（5）运用切化弦法，结合正弦和余弦的二倍角公式进行求解即可；（6）根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可.【解答过程】(1)sinα+(2)2tan(3)cos(4)sin4(5)1(6)3−sin【变式5-3】（2022·全国·高一专