举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题5.10 三角恒等变换（重难点题型检测）（含答案及解析）

专题5.10三角恒等变换（重难点题型检测）【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·贵州六盘水·高一期末）若θ∈0,π2，sin(πA．35 B．1225 C．252．（3分）（2022·广东肇庆·高三阶段练习）2sin2125°−2A．−12 B．12 3．（3分）（2022·黑龙江·高三期中）已知cosα−π3=1A．−79 B．−13 C．4．（3分）（2022·陕西·高一期末）下列各式中，值为12的是（

A．sin15°cos15°C．cos42°sin12°−5．（3分）（2022·山东·高三期中）已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sinA．34π B．π4 C．56．（3分）（2022·辽宁·高一阶段练习）若在△ABC中，sin(A+C)⋅sin(A+B)=cos2A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．（3分）（2023·云南·高三阶段练习）已知α,β,γ∈0,π2，且α+β+γ=A．若cosα+sinB．若tanα=2，则C．tanα、tanβD．tan8．（3分）（2022·福建漳州·三模）英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点Q'处，若△PMQ是正三角形．PQ=a，QA．tanα=3bC．tan2α=3b二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·河北·高三阶段练习）已知tanα−β=−17，tanα+βA．−13 B．13 C．10．（4分）（2022·广东湛江·高一期末）下列各式中，值为12的是（

A．1−2sin215°C．3−tan15°11．（4分）（2022·江西·高二开学考试）下列计算正确的是（

）A．tan15°+1tan15°−1C．sin15°sin45°12．（4分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数fx=2sinA．fx的图象关于直线x=5π8对称 B．fC．fx在−5π8,0上单调递减 D．对任意的m，三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·吉林·模拟预测）求值tan27.5°+1tan214．（4分）（2022·四川资阳·一模（理））已知a+β=7π4，则tan15．（4分）（2022·海南·高三阶段练习）已知α是第四象限角，且1−cos2αcosα=1616．（4分）（2022·湖北襄阳·高三期中）已知tanα=4，β满足①sinβ>0，且sinβ=1+cosβ，②tan(2α+β)=−10四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：(1)sin7°+(2)2sin(3)sinα+β18．（6分）求证：sinπ19．（8分）（2022·湖北·高三期中）已知tanπ(1)求tanα(2)求sin2a−20．（8分）（2022·山东·高三期中）已知0<α<π2，−π2<β<0，α和β角的终边与圆心在原点的单位圆分别相交于A,B两点，A,B(1)求tanα−β(2)求α−2β的值.21．（8分）（2022·江西·高三开学考试（理））（1）设α，β为锐角，且sinα=55，cos（2）已知sinα+π4=222．（8分）（2022·辽宁·高一期中）已知函数fx=(1)化简fx(2)若α∈−π4,0，专题5.10三角恒等变换（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·贵州六盘水·高一期末）若θ∈0,π2，sin(πA．35 B．1225 C．25【解题思路】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.【解答过程】sin(由于θ∈0,π2所以sin2θ=2故选：D.2．（3分）（2022·广东肇庆·高三阶段练习）2sin2125°−2A．−12 B．12 【解题思路】根据正弦的二倍角公式，结合诱导公式，以及余弦的和差角公式，化简即可求得结果.【解答过程】2===−故选：A.3．（3分）（2022·黑龙江·高三期中）已知cosα−π3=1A．−79 B．−13 C．【解题思路】利用二倍角的余弦公式求得cos2α−【解答过程】解：因为cosα−π3即cos2α−所以sin2α−故选：A.4．（3分）（2022·陕西·高一期末）下列各式中，值为12的是（

A．sin15°cos15°C．cos42°sin12°−【解题思路】根据三角函数的和差公式、倍角公式逐一算出每个选项对应式子的值，然后可选出答案.【解答过程】sin15°cos2cos42°tan22.5°故选：D.5．（3分）（2022·山东·高三期中）已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sinA．34π B．π4 C．5【解题思路】求出β−α的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出sinβ−α【解答过程】因为π4≤α≤π，则π2≤2α≤2π，因为因为π≤β≤3π2，则所以，cos2α=−1−sin所以，sin=−7所以，β−α=3故选：A.6．（3分）（2022·辽宁·高一阶段练习）若在△ABC中，sin(A+C)⋅sin(A+B)=cos2A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【解题思路】利用诱导公式及二倍角公式得到2sinB⋅sin【解答过程】解：因为sin(A+C)⋅即sin所以sinB⋅即2sinB⋅sin所以2sin所以cosBcosC+因为B,C∈0,π，所以B−C∈所以B−C=0，即B=C，所以△ABC为等腰三角形；故选：C.7．（3分）（2023·云南·高三阶段练习）已知α,β,γ∈0,π2，且α+β+γ=A．若cosα+sinB．若tanα=2，则C．tanα、tanβD．tan【解题思路】利用诱导公式、辅助角公式以及三角恒等变换即可判断.【解答过程】对于A,根据辅助角公式得2sin所以sinα因为α∈0,π2所以sinα对于B,tanβ+γ故B错误；对于C，因为tanα、tanβ所以tanα则有tanα因为α,β,γ∈0,π2所以α+β∈0,对于D,由B选项推导过程可知，tanβ+γ即tanβ+tanγ故D正确.故选:D.8．（3分）（2022·福建漳州·三模）英国化学家、物理学家享利·卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点Q'处，若△PMQ是正三角形．PQ=a，QA．tanα=3bC．tan2α=3b【解题思路】过点M作MD⊥PQ，则DQ'=12a+b，MD=3【解答过程】过点M作MD⊥PQ，因为△PMQ是正三角形．PQ=a，则DQ'=12所以tan∠M则tan60°−tan2α故选：C.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·河北·高三阶段练习）已知tanα−β=−17，tanα+βA．−13 B．13 C．【解题思路】由条件结合两角差的正切公式求tan2β，再由二倍角公式求tan【解答过程】因为tan2β=tanα+β−α−β=tan因为tan2β=2tanβ1−解得tanβ=−故选：AD.10．（4分）（2022·广东湛江·高一期末）下列各式中，值为12的是（

A．1−2sin215°C．3−tan15°【解题思路】根据二倍角的正弦公式、余弦公式，两角差的正切公式，逐一化简计算，即可得答案.【解答过程】对于A：1−2sin对于B：2sin对于C：3−对于D：2cos故选：BC.11．（4分）（2022·江西·高二开学考试）下列计算正确的是（

）A．tan15°+1tan15°−1C．sin15°sin45°【解题思路】根据两角和的正切公式、二倍角公式、诱导公式求得正确答案.【解答过程】因为tan15°+1cos4sin15°因为tan60°=所以tan37°+故选：ABC.12．（4分）（2022·辽宁·高一阶段练习）已知函数fx=2sinA．fx的图象关于直线x=5π8对称 B．fC．fx在−5π8,0上单调递减 D．对任意的m，【解题思路】根据三角恒等变换公式化简可得fx【解答过程】fx=2sin对A，令2x+π4=kπ+π2，k∈Z，解得x=kπ2对B，令2x+π4=kπ，k∈Z，解得x=kπ2−π对C，令2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2，k∈Z，解得对D，因为fx的最小正周期T=2π2=π，所以T2=π故选：AD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·吉林·模拟预测）求值tan27.5°+1tan2【解题思路】先用同角三角函数基本关系切化弦，同角正余弦平方和化为1，再利用倍角公式，化为可以求值的角的三角函数.【解答过程】tan2故答案为：2314．（4分）（2022·四川资阳·一模（理））已知a+β=7π4，则tan【解题思路】将β=7π【解答过程】∵a+β=7π4tanα−1tan故答案为：2.15．（4分）（2022·海南·高三阶段练习）已知α是第四象限角，且1−cos2αcosα=16【解题思路】利用二倍角公式化简1−cos2αcosα=163【解答过程】由1−cos2αcosα=所以6(1−cos2α)=16cosα,∴3因为α是第四象限角，故sinα=−所以cosα+故答案为：−216．（4分）（2022·湖北襄阳·高三期中）已知tanα=4，β满足①sinβ>0，且sinβ=1+cosβ，②tan(2α+β)=−10【解题思路】若β满足的条件①利用sinβ=1+cosβ及sinβ>0进行转化解出cosβ，sinβ，利用两角和的正切公式求解；若【解答过程】若β满足条件①，因为sinβ=1+cosβ解得cosβ=0或cos则sinβ=1或sinβ=0(舍去则β=π2+2kπ故tan若β满足条件②，则tan故答案为：−1四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：(1)sin7°+(2)2sin(3)sinα+β【解题思路】根据三角恒等变换公式或诱导公式化简即可.【解答过程】(1)原式=sin15°−8°+=tan15°=tan(2)原式===2=22(3)原式====sin18．（6分）求证：sinπ【解题思路】逆用两角和的正弦公式及诱导公式即可得证.【解答过程】左边=====2∴左边=右边，即等式成立.19．（8分）（2022·湖北·高三期中）已知tanπ(1)求tanα(2)求sin2a−【解题思路】（1）利用正切函数两角和公式直接计算即可；（2）利用正弦和余弦的二倍角公式结合同角三角函数关系求解即可.【解答过程】（1）由题意得tanπ解得tanα=−（2）由题意得sin2α−分子分母同除cos2α得故原式=−520．（8分）（2022·山东·高三期中）已知0<α<π2，−π2<β<0，α和β角的终边与圆心在原点的单位圆分别相交于A,B两点，A,B(1)求tanα−β(2)求α−2β的值.【解题思路】(1)根据正切两角差的公式求解;(2)先求出tan(α−2β)=−1，再确定0<α−2β<【解答过程】（1）因为0<α<π2，由三角函数定义得sinα=7210，sinβ=−55，cos∴tan(α−β)=（2）tan(α−2β)=∵−π2<β<0∴−π6<β<0∴0<α−2β<5π21．（8分）（2022·江西·高三开学考试（理））（1）设α，β为锐角，且sinα=55，cos（2）已知sinα+π4=2【解题思路】（1）根据三角恒等式求出cosα和sinβ，利用两角和的余弦公式求出（2）通过两角和的正弦公式以及三角恒等式求出sinα，cosα