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文档简介
PAGE7-§1从平面对量到空间向量授课提示:对应学生用书第12页一、空间向量定义在空间中,既有大小又有方向的量,叫作空间向量.表示方法①用a,b,c表示;②用有向线段表示,如:eq\o(AB,\s\up6(→)),其中A叫作向量的起点,B叫作向量的终点自由向量数学中所探讨的向量与向量的起点无关,称之为自由向量长度或模与平面对量一样,空间向量eq\o(AB,\s\up6(→))或a的大小也叫作向量的长度或模,用|eq\o(AB,\s\up6(→))|或|a|表示夹角定义如图,两非零向量a,b,在空间中任取一点O,作eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,则∠AOB叫作向量a,b的夹角,记作〈a,b〉范围规定0≤〈a,b〉≤π向量垂直当〈a,b〉=eq\f(π,2)时,向量a与b垂直,记作a⊥b向量平行当〈a,b〉=0或π时,向量a与b平行,记作a∥b二、向量、直线、平面1.直线的方向向量设l是空间始终线,A,B是直线l上随意两点,则称eq\o(AB,\s\up6(→))为直线l的方向向量.2.平面的法向量假如直线l垂直于平面α,那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量.平面α有多数个法向量,平面α的全部法向量都平行.[疑难提示]空间向量与平面对量的关系平面对量的集合是空间向量集合的子集,空间向量内容是平面对量内容的扩展.因此,平面对量的概念在空间向量中仍旧成立.如零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念在空间向量中仍旧成立.[想一想]1.当空间中两直线平行时,它们的方向向量有什么样的关系?其方向向量的夹角是多少?提示:由于直线与其方向向量平行,故当两直线平行时,它们的方向向量也平行,从而其夹角为0(同向时)或π(反向时).[练一练]2.在长方体ABCDA′B′C′D′的棱所在的向量中,与向量eq\o(AA′,\s\up6(→))的模相等的向量至少有()A.0个 B.3个C.7个 D.9个解析:与向量eq\o(AA′,\s\up6(→))的模肯定相等的向量有eq\o(A′A,\s\up6(→)),eq\o(BB′,\s\up6(→)),eq\o(B′B,\s\up6(→)),eq\o(CC′,\s\up6(→)),eq\o(C′C,\s\up6(→)),eq\o(DD′,\s\up6(→)),eq\o(D′D,\s\up6(→)),共7个.答案:C3.下列命题中正确的是()A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线B.若向量a,b平行,则a,b所在直线平行C.零向量没有确定的方向D.直线的全部方向向量方向相同解析:对于A,若b为零向量,则a与c不肯定共线,故A错;对于B,考虑到零向量与随意向量平行,可知B错;C正确;明显D错,故选C.答案:C4.若空间向量m,n,p满意m=n,n=p,则m________p.答案:=授课提示:对应学生用书第13页探究一空间向量的概念辨析[典例1]下列关于单位向量与零向量的叙述中,正确的是()A.零向量是没有方向的向量,两个单位向量的模相等B.零向量的方向是随意的,全部单位向量都相等C.零向量的长度为0,两个单位向量不肯定是相等向量D.零向量只有一个方向,模相等的单位向量的方向不肯定相同[解析]因为零向量的方向是随意的,且长度为0,两个单位向量的模相等,但方向不肯定相同,故选C.[答案]C对于概念辨析题,精确娴熟地驾驭有关概念的差别,特殊是微小之处的差别,是解决这类问题的关键.1.下列说法正确的有________.①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②0方向随意;③相等向量是指它们的起点与终点对应重合.解析:①中|a|=|b|仅说明模相等,方向没有限定;③中相等向量指大小相等、方向相同,但起点与终点不肯定重合的向量.答案:②2.如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1.则以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中:(1)单位向量是哪几个?(2)模为eq\r(5)的向量是哪些?(3)与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量是哪些?(4)eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量是哪些?解析:(1)由于长方体的高为1,所以长方体的四条高对应的向量eq\o(AA1,\s\up6(→)),eq\o(A1A,\s\up6(→)),eq\o(BB1,\s\up6(→)),eq\o(B1B,\s\up6(→)),eq\o(CC1,\s\up6(→)),eq\o(C1C,\s\up6(→)),eq\o(DD1,\s\up6(→)),eq\o(D1D,\s\up6(→))为单位向量.(2)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为eq\r(5),故模为eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→)),eq\o(D1A,\s\up6(→)),eq\o(A1D,\s\up6(→)),eq\o(DA1,\s\up6(→)),eq\o(BC1,\s\up6(→)),eq\o(C1B,\s\up6(→)),eq\o(B1C,\s\up6(→)),eq\o(CB1,\s\up6(→)).(3)与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(A1B1,\s\up6(→)),eq\o(DC,\s\up6(→)),eq\o(D1C1,\s\up6(→)).(4)eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up6(→)),eq\o(B1B,\s\up6(→)),eq\o(C1C,\s\up6(→)),eq\o(D1D,\s\up6(→)).探究二求向量之间的夹角[典例2]在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,求:(1)〈eq\o(EF,\s\up6(→)),eq\o(A1C1,\s\up6(→))〉,〈eq\o(A1C1,\s\up6(→)),eq\o(FE,\s\up6(→))〉;(2)〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(BC,\s\up6(→))〉,〈eq\o(A1B1,\s\up6(→)),eq\o(AD1,\s\up6(→))〉.[解析](1)如图所示,连接AC,∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC,∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(A1C1,\s\up6(→)),且方向相同,∴〈eq\o(EF,\s\up6(→)),eq\o(A1C1,\s\up6(→))〉=0°.∴eq\o(A1C1,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→)),且方向相反,∴〈eq\o(A1C1,\s\up6(→)),eq\o(FE,\s\up6(→))〉=180°.(2)∵在正方形ABCD中,AB⊥BC,∴〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(BC,\s\up6(→))〉=90°.∵A1B1⊥平面A1ADD1,又AD1平面A1ADD1,∴A1B1⊥AD1.∴〈eq\o(A1B1,\s\up6(→)),eq\o(AD1,\s\up6(→))〉=90°.1.在利用平面角求向量角时,要留意两种角的取值范围,线线角的范围是[0,eq\f(π,2)],而向量夹角的范围是[0,π],比如〈a,b〉与〈-a,b〉两个角互补,而它们对应的线线角却是相等的.2.对于非零向量a,b而言,常有以下结论:(1)当a,b同向时,夹角为0°;(2)当a,b反向时,夹角为180°;(3)当a,b垂直时,夹角为90°.3.如图,在正四面体ABCD中,〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(CD,\s\up6(→))〉的大小为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,6)解析:在正四面体ABCD中,易证AB⊥CD,所以〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(CD,\s\up6(→))〉的大小为eq\f(π,2).答案:C4.在长方体ABCDA′B′C′D′中,AB=eq\r(3),AA′=1,AD=eq\r(6),求〈eq\o(AC,\s\up6(→)),eq\o(A′B,\s\up6(→))〉.解析:如图,连接A′C′,BC′.∵eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(A′C′,\s\up6(→)),∴∠BA′C′的大小就等于〈eq\o(AC,\s\up6(→)),eq\o(A′B,\s\up6(→))〉.由长方体的性质和三角形勾股定理知,在△A′BC′中A′B=eq\r(AA′2+AB2)=2,A′C′=eq\r(AB2+AD2)=3,BC′=eq\r(AD2+AA′2)=eq\r(7).∴cos∠BA′C′=eq\f(A′C′2+A′B2-BC′2,2·A′C′·A′B)=eq\f(1,2).∴∠BA′C′=eq\f(π,3).即〈eq\o(AC,\s\up6(→)),eq\o(A′B,\s\up6(→))〉=eq\f(π,3).探究三直线的方向向量与平面的法向量eq\x(\a\al(直与,线平,的面,方的,向法,向向,量量))—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(求直线的方向向量),—\x(求平面的法向量),—\x(直线的方向向量与平面的法向量的证明)))5.如图所示,长方体ABCDA1B1C1D1中,AE=eq\f(1,3)AA1,AF=eq\f(1,3)A B.(1)eq\o(EF,\s\up6(→))可以作为哪些直线的方向向量?(2)与eq\o(AA1,\s\up6(→))平行的向量有哪些?解析:(1)eq\o(EF,\s\up6(→))可以作为直线EF,直线A1B,直线D1C的方向向量.(2)与eq\o(AA1,\s\up6(→))平行的向量有:eq\o(BB1,\s\up6(→)),eq\o(CC1,\s\up6(→)),eq\o(DD1,\s\up6(→)),eq\o(B1B,\s\up6(→)),eq\o(C1C,\s\up6(→)),eq\o(D1D,\s\up6(→)),eq\o(A1A,\s\up6(→)).6.已知正四面体ABCD.(1)过点A作出方向向量为eq\o(BC,\s\up6(→))的空间直线;(2)过点A作出平面BCD的一个法向量.解析:(1)如图,过点A作直线AE∥BC,由直线的方向向量的定义可知,直线AE即为过点A且方向向量为eq\o(BC,\s\up6(→))的空间直线.(2)如图,取△BCD的中心O,由正四面体的性质可知,AO垂直于平面BCD,故向量eq\o(AO,\s\up6(→))可作为平面BCD的一个法向量.对空间向量的概念理解不到位致误[典例]下列说法中,错误的个数为()①在正方体ABCDA1B1C1D1中,eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\o(A1C1,\s\up6(→));②若两个非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))满意eq\o(AB,\s\up6(→))=-eq\o(CD,\s\up6(→)),则eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(CD,\s\up6(→))为相反向量.③eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→))的充要条件是A与C重合,B与D重合.A.1 B.2C.3 D.0[解析]①正确.②正确.eq\o(AB,\s\up6(→))=-eq\o(CD,\s\up6(→)),且eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(CD,\s\up6(→))为非零向量,所以eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(CD,\s\up6(→))为相反
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