2024-2025学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量学案含解析北师大版选修2-1

PAGE7-§1从平面对量到空间向量授课提示：对应学生用书第12页一、空间向量定义在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量．表示方法①用a，b，c表示；②用有向线段表示，如：eq\o(AB,\s\up6(→))，其中A叫作向量的起点，B叫作向量的终点自由向量数学中所探讨的向量与向量的起点无关，称之为自由向量长度或模与平面对量一样，空间向量eq\o(AB,\s\up6(→))或a的大小也叫作向量的长度或模，用|eq\o(AB,\s\up6(→))|或|a|表示夹角定义如图，两非零向量a，b，在空间中任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉范围规定0≤〈a，b〉≤π向量垂直当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，向量a与b垂直，记作a⊥b向量平行当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b二、向量、直线、平面1．直线的方向向量设l是空间始终线，A，B是直线l上随意两点，则称eq\o(AB,\s\up6(→))为直线l的方向向量．2．平面的法向量假如直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．平面α有多数个法向量，平面α的全部法向量都平行．[疑难提示]空间向量与平面对量的关系平面对量的集合是空间向量集合的子集，空间向量内容是平面对量内容的扩展．因此，平面对量的概念在空间向量中仍旧成立．如零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念在空间向量中仍旧成立．[想一想]1．当空间中两直线平行时，它们的方向向量有什么样的关系？其方向向量的夹角是多少？提示：由于直线与其方向向量平行，故当两直线平行时，它们的方向向量也平行，从而其夹角为0(同向时)或π(反向时)．[练一练]2．在长方体ABCDA′B′C′D′的棱所在的向量中，与向量eq\o(AA′,\s\up6(→))的模相等的向量至少有()A．0个 B．3个C．7个 D．9个解析：与向量eq\o(AA′,\s\up6(→))的模肯定相等的向量有eq\o(A′A,\s\up6(→))，eq\o(BB′,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6(→))，eq\o(CC′,\s\up6(→))，eq\o(C′C,\s\up6(→))，eq\o(DD′,\s\up6(→))，eq\o(D′D,\s\up6(→))，共7个．答案：C3．下列命题中正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行C．零向量没有确定的方向D．直线的全部方向向量方向相同解析：对于A，若b为零向量，则a与c不肯定共线，故A错；对于B，考虑到零向量与随意向量平行，可知B错；C正确；明显D错，故选C.答案：C4．若空间向量m，n，p满意m＝n，n＝p，则m________p.答案：＝授课提示：对应学生用书第13页探究一空间向量的概念辨析[典例1]下列关于单位向量与零向量的叙述中，正确的是()A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等B．零向量的方向是随意的，全部单位向量都相等C．零向量的长度为0，两个单位向量不肯定是相等向量D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不肯定相同[解析]因为零向量的方向是随意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不肯定相同，故选C.[答案]C对于概念辨析题，精确娴熟地驾驭有关概念的差别，特殊是微小之处的差别，是解决这类问题的关键．1．下列说法正确的有________．①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；②0方向随意；③相等向量是指它们的起点与终点对应重合．解析：①中|a|＝|b|仅说明模相等，方向没有限定；③中相等向量指大小相等、方向相同，但起点与终点不肯定重合的向量．答案：②2．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1.则以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中：(1)单位向量是哪几个？(2)模为eq\r(5)的向量是哪些？(3)与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量是哪些？(4)eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量是哪些？解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高对应的向量eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))为单位向量．(2)由于长方体左、右两侧的面的对角线长均为eq\r(5)，故模为eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))，eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))，eq\o(C1B,\s\up6(→))，eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(CB1,\s\up6(→)).(3)与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→)).(4)eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量为eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→)).探究二求向量之间的夹角[典例2]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，求：(1)〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))〉，〈eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))〉；(2)〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉，〈eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(AD1,\s\up6(→))〉．[解析](1)如图所示，连接AC，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(A1C1,\s\up6(→))，且方向相同，∴〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))〉＝0°.∴eq\o(A1C1,\s\up6(→))∥eq\o(FE,\s\up6(→))，且方向相反，∴〈eq\o(A1C1,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))〉＝180°.(2)∵在正方形ABCD中，AB⊥BC，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝90°.∵A1B1⊥平面A1ADD1，又AD1平面A1ADD1，∴A1B1⊥AD1.∴〈eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(AD1,\s\up6(→))〉＝90°.1．在利用平面角求向量角时，要留意两种角的取值范围，线线角的范围是[0，eq\f(π,2)]，而向量夹角的范围是[0，π]，比如〈a，b〉与〈－a，b〉两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的．2．对于非零向量a，b而言，常有以下结论：(1)当a，b同向时，夹角为0°；(2)当a，b反向时，夹角为180°；(3)当a，b垂直时，夹角为90°.3.如图，在正四面体ABCD中，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉的大小为()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,6)解析：在正四面体ABCD中，易证AB⊥CD，所以〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉的大小为eq\f(π,2).答案：C4．在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝eq\r(3)，AA′＝1，AD＝eq\r(6)，求〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A′B,\s\up6(→))〉．解析：如图，连接A′C′，BC′.∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→))，∴∠BA′C′的大小就等于〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A′B,\s\up6(→))〉．由长方体的性质和三角形勾股定理知，在△A′BC′中A′B＝eq\r(AA′2＋AB2)＝2，A′C′＝eq\r(AB2＋AD2)＝3，BC′＝eq\r(AD2＋AA′2)＝eq\r(7).∴cos∠BA′C′＝eq\f(A′C′2＋A′B2－BC′2,2·A′C′·A′B)＝eq\f(1,2).∴∠BA′C′＝eq\f(π,3).即〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A′B,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).探究三直线的方向向量与平面的法向量eq\x(\a\al(直与,线平,的面,方的,向法,向向,量量))—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(求直线的方向向量),—\x(求平面的法向量),—\x(直线的方向向量与平面的法向量的证明)))5．如图所示，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AE＝eq\f(1,3)AA1，AF＝eq\f(1,3)A B.(1)eq\o(EF,\s\up6(→))可以作为哪些直线的方向向量？(2)与eq\o(AA1,\s\up6(→))平行的向量有哪些？解析：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))可以作为直线EF，直线A1B，直线D1C的方向向量．(2)与eq\o(AA1,\s\up6(→))平行的向量有：eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(CC1,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))，eq\o(D1D,\s\up6(→))，eq\o(A1A,\s\up6(→)).6．已知正四面体ABCD.(1)过点A作出方向向量为eq\o(BC,\s\up6(→))的空间直线；(2)过点A作出平面BCD的一个法向量．解析：(1)如图，过点A作直线AE∥BC，由直线的方向向量的定义可知，直线AE即为过点A且方向向量为eq\o(BC,\s\up6(→))的空间直线．(2)如图，取△BCD的中心O，由正四面体的性质可知，AO垂直于平面BCD，故向量eq\o(AO,\s\up6(→))可作为平面BCD的一个法向量．对空间向量的概念理解不到位致误[典例]下列说法中，错误的个数为()①在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；②若两个非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))满意eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))为相反向量．③eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．1 B．2C．3 D．0[解析]①正确．②正确.eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→))，且eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))为非零向量，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))为相反