举一反三系列高二高考数学同步及复习资料人教A版选择性必修2专题4.1 数列的概念（重难点题型精讲）（含答案及解析）

专题4.1数列的概念（重难点题型精讲）1．数列的概念数列的定义一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.2．数列的分类3．数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4．数列的递推公式(1)递推公式的概念如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.(2)对数列递推公式的理解①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：基础——数列{}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.5．数列表示方法及其比较6．数列的前n项和数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.

如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.

=.7．数列的性质(1)单调性如果对所有的，都有>，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有<，那么称数列{}为递减数列.(2)周期性如果对所有的，都有=(k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列.

(3)有界性

如果对所有的，都有，那么称{}为有界数列，否则称{}为无界数列.【题型1根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】【方法点拨】根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律.【例1】（2022·甘肃·高二期中）数列32,−5A．2n−12n C．(−1)n+12n+12【变式1-1】（2022·重庆高二阶段练习）数列−1,13,−A．an=−1C．an=−1【变式1-2】（2022·浙江·高二开学考试）已知数列an的前4项为：1，−12，14，−1A．an=12n B．an=【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是an=（A．1910nC．131−1【题型2判断数列的项】【方法点拨】根据题目条件，结合数列的通项公式，判断所给的数是否满足数列的通项公式，求出该数所对应的项数n，即可得解.【例2】（2022·福建·高二阶段练习）若一数列为1，37，314，321，…，则3A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项【变式2-1】（2022·广东佛山·高二期末）已知数列an的通项公式为an=A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））已知数列an的通项公式为an=3n−1A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项【变式2-3】（2021·河北保定·高二期中）已知数列an的通项公式为an=2n+1A．2 B．4 C．8 D．16【题型3根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.【例3】（2022·陕西·高一期末（理））已知数列an满足an+1an=n+1nA．an=3n C．an=2n+1 【变式3-1】（2022·甘肃·二模（文））数列an满足nan+1=n+1anA．4043 B．4044 C．2021 D．2022【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知数列an满足a1+a2A．1−12n B．22n−3 【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足a2=0,a2n+1A．20212022 B．20232022 C．10101011【题型4数列的单调性的判断】【方法点拨】判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，从而判断出数列{}的单调性.【例4】（2022·浙江·高二期中）在数列an中，a1=3，A．数列an单调递减 B．数列aC．数列an先递减后递增 D．数列a【变式4-1】（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）下列数列中，为递减数列的是（

）A．1+5n B．−n2+6n 【变式4-2】（2022·天津·高三期中）数列an的通项公式为an=n2+kn，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【变式4-3】（2022·浙江·高二期中）已知数列an满足：an=(3−a)n−8,n≤6an−6,n>6A．(2,3) B．(1,107) C．(【题型5数列的周期性】【方法点拨】结合具体条件，分析数列的前几项，得出数列的周期，进行转化求解即可.【例5】（2022·福建·高二期中）在数列an中，a1=−2，an+1=A．−2 B．−13 C．−【变式5-1】（2022·江苏·高二期中）若数列an满足a1=2，a2=3，aA．-3 B．-2 C．-1 D．2【变式5-2】（2022·河南·高二阶段练习）已知数列an满足a1=2，an+1A．2−1 B．2 C．2+1 【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知数列{an}满足a1=−3，aA．14 B．43 C．−1 【题型6求数列的最大项、最小项】【方法点拨】利用数列的单调性或构造函数，利用函数的单调性，进行转化求解即可.【例6】（2022·山西·高三期中）已知数列an满足a1a2a3⋯A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列an的通项公式为an=5051A．第6项 B．第12项 C．第24项 D．第36项【变式6-2】（2022·福建省高二阶段练习）已知数列an满足an=2nn+110A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知an=n−2018n−A．a1，a50 B．a1，a44 C．a45，a专题4.1数列的概念（重难点题型精讲）1．数列的概念数列的定义一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用表示.其中第1项也叫做首项.2．数列的分类3．数列的通项公式如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4．数列的递推公式(1)递推公式的概念如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.(2)对数列递推公式的理解①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式.

②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项.

③用递推公式求出一个数列，必须给出：基础——数列{}的第1项(或前几项)；

递推关系——数列{}的任意一项与它的前一项()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示.5．数列表示方法及其比较6．数列的前n项和数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即=+++.

如果数列{}的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.

=.7．数列的性质(1)单调性如果对所有的，都有>，那么称数列{}为递增数列；如果对所有的，都有<，那么称数列{}为递减数列.(2)周期性如果对所有的，都有=(k为正整数)，那么称{}是以k为周期的周期数列.

(3)有界性

如果对所有的，都有，那么称{}为有界数列，否则称{}为无界数列.【题型1根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】【方法点拨】根据数列的前几项写出其一个通项公式的方法：首先从下面4个角度观察数列的前几项：(1)各项的符号特征；(2)各项能否分拆；(3)分式的分子、分母的特征；(4)相邻项的变化规律.其次寻找各项与对应的项的序号之间的规律.【例1】（2022·甘肃·高二期中）数列32,−5A．2n−12n C．(−1)n+12n+12【解题思路】根据分子、分母和正负号的变化即可得出通项公式.【解答过程】解：由题意，在数列32分母是以2为首项，2为公比的等比数列分子是以3为首项，2为公差的等差数列，∵数列的奇数项为正数，偶数项为负数，∴比例系数为(−1)∴数列的一个通项公式为：an故选：C.【变式1-1】（2022·重庆高二阶段练习）数列−1,13,−A．an=−1C．an=−1【解题思路】令n=1，代入各选项直接得出答案.【解答过程】由题意得，令n=1，A选项：a1B选项：a1C选项：a1D选项：a1故选：D.【变式1-2】（2022·浙江·高二开学考试）已知数列an的前4项为：1，−12，14，−1A．an=12n B．an=【解题思路】分母与项数n关系是是2n−1【解答过程】正负相间用(−1)n−1表示，∴a故选：D.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是an=（A．1910nC．131−1【解题思路】根据0.3，0.33，0.333，0.3333，…与9，99，999，9999，…的关系，结合9，99，999，9999，…的通项公式求解即可.【解答过程】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是bn=10n−1故选：C．【题型2判断数列的项】【方法点拨】根据题目条件，结合数列的通项公式，判断所给的数是否满足数列的通项公式，求出该数所对应的项数n，即可得解.【例2】（2022·福建·高二阶段练习）若一数列为1，37，314，321，…，则3A．不在此数列中 B．第13项 C．第14项 D．第15项【解题思路】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.【解答过程】因1=37×0,由37(n−1)=3所以398故选：D.【变式2-1】（2022·广东佛山·高二期末）已知数列an的通项公式为an=A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】利用通项公式直接求解.【解答过程】令an=n2+n=12故选：B.【变式2-2】（2022·四川省高一阶段练习（理））已知数列an的通项公式为an=3n−1A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项【解题思路】由已知条件，根据通项公式求出n即可得答案.【解答过程】因为数列{an}令3n−1=9，解得所以9是数列{a故选：C.【变式2-3】（2021·河北保定·高二期中）已知数列an的通项公式为an=2n+1A．2 B．4 C．8 D．16【解题思路】根据数列的通项公式，判断是否存在n∈N∗使得【解答过程】由于数列an的通项公式为a故令an=2n+1=2，则n=0令2n+1=4,n=1，令2n+1即4，8，16是数列an故选:A.【题型3根据数列的递推公式求数列的项、通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.【例3】（2022·陕西·高一期末（理））已知数列an满足an+1an=n+1nA．an=3n C．an=2n+1 【解题思路】由题意可得数列an【解答过程】由题意得an+1n+1所以数列ann是以则ann=3故选：A.【变式3-1】（2022·甘肃·二模（文））数列an满足nan+1=n+1anA．4043 B．4044 C．2021 D．2022【解题思路】由nan+1=n+1an+1【解答过程】解：因为nan+1=所以an+1n+1+1n+1所以an所以a20222022+故选：A.【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知数列an满足a1+a2A．1−12n B．22n−3 【解题思路】利用an与S【解答过程】a1+当n≥2时，a1+则①－②得，an故an当n=1时，a1=1故选：D．【变式3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列an满足a2=0,a2n+1A．20212022 B．20232022 C．10101011【解题思路】由题中条件可得到偶数项得关系a2n+2【解答过程】a2n+2所以a2022a2020⋯a4累加得a2022故选：C.【题型4数列的单调性的判断】【方法点拨】判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，从而判断出数列{}的单调性.【例4】（2022·浙江·高二期中）在数列an中，a1=3，A．数列an单调递减 B．数列aC．数列an先递减后递增 D．数列a【解题思路】由数列递推式求出a2=5，可判断an>0，将an=an−1+2两边平方得【解答过程】由a1=3，an=an−1+2再由an=an−1+2则an+12=②﹣①得：an+12−a∵an>0，∴an由a2−a1<0，可知，可知数列an故选：A．【变式4-1】（2022·辽宁葫芦岛·高二阶段练习）下列数列中，为递减数列的是（

）A．1+5n B．−n2+6n 【解题思路】利用第n+1项与第n项的差来确定数列的单调性即可得到结果.【解答过程】对于A，∵1+5n+1−1+对于B，∵−∴当n≤2时，数列−n2+6n递增；当n≥3对于C，∵3n+1+6−3n+6=3，对于D，∵1−log2n+1−1−故选：D.【变式4-2】（2022·天津·高三期中）数列an的通项公式为an=n2+kn，则“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件【解题思路】根据an+1【解答过程】由题意得数列an为递增数列等价于对任意n∈即k>−2n−1对任意n∈N∗恒成立，故所以“k≥−2”是“an故选：A.【变式4-3】（2022·浙江·高二期中）已知数列an满足：an=(3−a)n−8,n≤6an−6,n>6A．(2,3) B．(1,107) C．(【解题思路】仿照分段函数的单调性求解，同时注意a6【解答过程】由题意3−a>0a>1解得107故选：C．【题型5数列的周期性】【方法点拨】结合具体条件，分析数列的前几项，得出数列的周期，进行转化求解即可.【例5】（2022·福建·高二期中）在数列an中，a1=−2，an+1=A．−2 B．−13 C．−【解题思路】根据数列的递推式，计算数列的项，可推得数列为周期性数列，利用其周期即可求得答案.【解答过程】由题意可得a1=−2，an+1=1+aa4=1+∴该数列an是周期数列，周期T=4又2022=505×4+2，∴a2022故选：B．【变式5-1】（2022·江苏·高二期中）若数列an满足a1=2，a2=3，aA．-3 B．-2 C．-1 D．2【解题思路】由an+an+2=an+1【解答过程】由an+aa1=2，a3a4a5a6a7a8故数列an是以6为最小正周期的数列，由20226=337故选：C.【变式5-2】（2022·河南·高二阶段练习）已知数列an满足a1=2，an+1A．2−1 B．2 C．2+1 【解题思路】根据递推公式可验证知数列an是周期为3的周期数列，则由a【解答过程】∵a1=2>1∴a4=以此类推，可知数列an是周期为3∴a故选：A.【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知数列{an}满足a1=−3，aA．14 B．43 C．−1 【解题思路】根据已知条件及递推关