2024-2025学年新教材高中数学第六章计数原理单元素养评价含解析新人教A版选择性必修第三册

PAGE单元素养评价(一)(第六章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装参与歌舞演出,则不同的选择方式有()A.24种 B.14种 C.10种 D.9种【解析】选B.由题意可得李芳不同的选择方式有4×3+2=14(种).2.自2024年起,山东夏季高考成果由“3+3”组成,其中第一个“3”指语文、数学、英语3科,其次个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目.某同学支配从物理、化学、生物3科中任选两科,从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目,则该同学3科选考科目的不同选法的种数为()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选D.某同学支配从物理、化学、生物3科中任选两科,从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目,则该同学3科选考科目的不同选法的种数为QUOTE=9种.3.(2024·南京高二检测)某班联欢会原定的3个节目已排成节目单,开演前又增加了2个新节目,假如将这2个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为()A.12 B.20 C.36 D.120【解析】选B.利用分步乘法计数原理,第一步先插入第一个节目,有4种方法,其次步插入其次个节目,此时有5个空,故有5种方法.因此不同的插法共有20种.4.如图所示,花坛内有五个花池,有五种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则最多的栽种方案有()A.180种 B.240种 C.360种 D.420种【解析】选D.由题意知,最少用三种颜色的花卉,依据花卉选种的颜色可分为三类方案,即用三种颜色,四种颜色,五种颜色.①当用三种颜色时,花池2,4同色和花池3,5同色,此时共有QUOTE种方案.②当用四种颜色时,花池2,4同色或花池3,5同色,故共有2QUOTE种方案.③当用五种颜色时有QUOTE种方案.因此全部栽种方案为QUOTE+2QUOTE+QUOTE=420(种).5.在其次届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了便利接待,现将其中的五个参会国的人员支配酒店住宿,这五个参会国要在a,b,c三家酒店选择一家,且每家酒店至少有一个参会国入住,则这样的支配方法共有()A.96种 B.124种 C.130种 D.150种【解题指南】依据题意,分2步进行分析:①把5个参会国的人员分成三组,一种是依据1,1,3;另一种是1,2,2;由组合数公式可得分组的方法数目,②将分好的三组对应三家酒店,由分步乘法计数原理计算可得答案.【解析】选D.依据题意,分2步进行分析:①五个参会国要在a,b,c三家酒店选择一家,且这三家至少有一个参会国入住,所以可以把5个国家人分成三组,一种是依据1,1,3;另一种是1,2,2,当依据1,1,3来分时共有QUOTE=10种分组方法;当依据1,2,2来分时共有QUOTE=15种分组方法;则一共有10+15=25种分组方法.②将分好的三组对应三家酒店,有QUOTE=6种对应方法;则支配方法共有25×6=150种.【加练·固】甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行投篮竞赛,决出了第1至第5名的不同名次,甲、乙两人向裁判询问成果,裁判对甲说:“很缺憾,你和乙都未拿到冠军.”对乙说:“你当然不是最差的.”依据裁判的回答,5人的名次排列共有________种不同的状况.()

A.54B.108C.210D.96【解题指南】甲、乙不是第一名且乙不是最终一名.乙的限制最多,故先排乙,有3种状况;再排甲,也有3种状况;余下的问题是三个元素在三个位置全排列,依据分步乘法计数原理得到结果.【解析】选A.第一名不是甲和乙,则只能是丙、丁、戊三人中某一个,有QUOTE种选法,而乙不是最差的,则乙只可能是其次、三、四名,有QUOTE种可能,再将剩下的三人排成一列,依次插入即可,由分步乘法计数原理可知,共有QUOTE=54种不同的状况.6.若二项式(2+x)10按(2+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10的方式绽开,则绽开式中a8的值为()A.90 B.180 C.360 D.405【解析】选D.由题意得,(2+x)10=(-2-x)10=[-3+(1-x)]10,所以绽开式的第9项为T9=QUOTE(-3)2(1-x)8=405(1-x)8,即a8=405.【加练·固】设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么QUOTE的值为()A.-QUOTEB.-QUOTEC.-QUOTED.-1【解析】选B.令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令x=-1可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35.两式相加除以2求得a0+a2+a4=122,两式相减除以2可得a1+a3+a5=-121.结合a5=-1,故QUOTE=-QUOTE.7.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是()A.210 B.336 C.84 D.343【解析】选B.由题意知本题须要分组解决,因为对于7个台阶上每一个只站一人有QUOTE种;若有一个台阶有2人另一个是1人,则共有QUOTE种,所以依据分类加法计数原理知共有不同的站法种数是QUOTE+QUOTE=336种.8.已知某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x,y正半轴上的整点),其运动规律为(m,n)→(m+1,n+1)或(m,n)→(m+1,n-1).若该动点从原点动身,经过6步运动到点(6,2),则不同的运动轨迹有()A.15种 B.14种 C.9种 D.103种【解析】选C.由运动规律可知,每一步的横坐标都增加1,只需考虑纵坐标的改变,而纵坐标每一步增加1(或削减1),经过6步改变后,结果由0变到2,因此这6步中有2步是依据(m,n)→(m+1,n-1)运动的,有4步是依据(m,n)→(m+1,n+1)运动的,因此,共有QUOTE=15种,而此动点只能在第一象限的整点上运动(含x,y正半轴上的整点),当第一步(m,n)→(m+1,n-1)时不符合要求,有QUOTE种;当第一步(m,n)→(m+1,n+1),但其次、三两步为(m,n)→(m+1,n-1)时也不符合要求,有1种,故要减去不符合条件的QUOTE+1=6种,故共有15-6=9种.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.有四名男生,三名女生排队照相,七个人排成一排,则下列说法正确的有()A.假如四名男生必需连排在一起,那么有720种不同排法B.假如三名女生必需连排在一起,那么有576种不同排法C.假如女生不能站在两端,那么有1440种不同排法D.假如三个女生中任何两个均不能排在一起,那么有1440种不同排法【解析】选CD.A中QUOTE=576,B中QUOTE=720,C中QUOTE=1440,D中QUOTE=1440.综上可得:CD正确.10.若QUOTE>3QUOTE,则m的取值可能是()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选BC.依据题意,对于QUOTE和3QUOTE,有0≤m-1≤8且0≤m≤8,则有1≤m≤8,若QUOTE>3QUOTE,则有QUOTE>3×QUOTE,变形可得:m>27-3m,解得:m>QUOTE,综合可得:QUOTE<m≤8,则m=7或8.11.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中,不允许有空盒子的放法有多少种?下列结论正确的有()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.18【解析】选BC.依据题意,四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中,且没有空盒,则有1个盒子中放2个球,剩下的2个盒子中各放1个球,有2种解法:(1)分2步进行分析:①先将四个不同的小球分成3组,有QUOTE种分组方法;②将分好的3组全排列,对应放到3个盒子中,有QUOTE种放法;则没有空盒的放法有QUOTE种;(2)分2步进行分析:①在4个小球中任选2个,在3个盒子中任选1个,将选出的2个小球放入选出的小盒中,有QUOTE种状况;②将剩下的2个小球全排列,放入剩下的2个小盒中,有QUOTE种放法;则没有空盒的放法有QUOTE种.12.(2024·烟台高二检测)已知QUOTE(a>0)的绽开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且绽开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是()A.绽开式中奇数项的二项式系数和为256B.绽开式中第6项的系数最大C.绽开式中存在常数项D.绽开式中含x15项的系数为45【解析】选BCD.因为QUOTE(a>0)的绽开式中第5项与第7项的二项式系数相等;所以QUOTE=QUOTE⇒n=10;因为绽开式的各项系数之和为1024,所以(a+1)10=1024;因为a>0;所以a=1.原二项式为QUOTE;其绽开式的通项公式为:Tk+1=QUOTE·(x2)10-k·QUOTE=QUOTE;绽开式中奇数项的二项式系数和为:QUOTE×1024=512;故A错;因为本题中二项式系数和项的系数一样,且绽开式有11项,故绽开式中第6项的系数最大,B对;令20-QUOTEk=0⇒k=8,即绽开式中存在常数项,C对;令20-QUOTEk=15⇒k=2,QUOTE=45,D对.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.(2024·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少支配1名同学,则不同的支配方法共有__________种.

【解析】因为4名同学到3个小区参与垃圾分类宣扬活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少支配1名同学,所以先取2名同学看作一组,选法有QUOTE=6(种),现在可看成是3组同学安排到3个小区,分法有:QUOTE=6(种),依据分步乘法计数原理,可得不同的支配方法有6×6=36(种).答案:36【加练·固】甲、乙、丙、丁4人进行篮球训练,相互传球,要求每人接球后马上传给别人,起先由甲发球,并作为第一次传球,第四次传球后,球又回到甲手中的传球方式共有________种.

【解析】可以分两类:其一是第一次甲传球给乙、丙、丁,有QUOTE种;其次次是传球给甲,有1种;第三次是甲传球给乙、丙、丁,有QUOTE种;第四次是传给甲,有1种;由分步乘法计数原理可得QUOTE×1×QUOTE×1=9种;其次类是第一次甲先传给乙、丙、丁,有QUOTE种;其次次分别传给其他两人,有QUOTE种;第三次再分别传给另外两人,有QUOTE种;第四次传给甲,只有1种;由分步乘法计数原理可知QUOTE×QUOTE×QUOTE×1=12种,由分类加法计数原理可得全部传球方式共有9+12=21(种).答案:2114.(2024·浙江高考)已知多项式QUOTE=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5,则a4=________,a5=________.

【解析】因为多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5,a4为x1项的系数,所以依据二项式定理得a4=QUOTE12×22+13×QUOTE×2=16,a5是常数项,所以a5=13×22=4.答案:16415.在QUOTE的二项绽开式中,若常数项为60,则n等于________.

【解题指南】利用二项绽开式的通项公式列出通项,化简后令未知数x的指数等于0,从而确定通项公式中r与n的等式,再依据常数项等于60,得到另一个r与n的等式,解方程组即可得.【解析】Tr+1=QUOTE=2r·QUOTE,n,r∈N*,得QUOTE解得n=6.答案:616.某公园划船收费标准如表:船型两人船(限乘2人)四人船(限乘4人)六人船(限乘6人)每船租金(元/小时)90100130某班16名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时,每只租船必需坐满,则租船最低总费用为________元,租船的总费用共有________种可能.

【解析】当租两人船时,租金为:QUOTE×90=720元,当租四人船时,租金为:QUOTE×100=400元,当租1条四人船6条两人船时,租金为:100+6×90=640元,当租2条四人船4条两人船时,租金为:2×100+4×90=560元,当租3条四人船2条两人船时,租金为:3×100+2×90=480元,当租1条六人船5条2人船时,租金为:130+5×90=580元,当租2条六人船2条2人船时,租金为:2×130+2×90=440元,当租1条六人船1条四人船3条2人船时,租金为:130+100+3×90=500元,当租1条六人船2条四人船1条2人船时,租金为:130+2×100+90=420元,当租2条六人船1条四人船时,租金为:2×130+100=360元,综上,租船最低总费用为360元,租船的总费用共有10种可能.答案:36010四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)有9名学生,其中2名会下象棋但不会下围棋,3名会下围棋但不会下象棋,4名既会下围棋又会下象棋.现在要从这9名学生中选出2名学生,一名参与象棋竞赛,另一名参与围棋竞赛,共有多少种不同的选派方法?【解析】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C,则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类:第一类:A中选1人参与象棋竞赛,B中选1人参与围棋竞赛,方法数为QUOTE·QUOTE=6(种);其次类:C中选1人参与象棋竞赛,B中选1人参与围棋竞赛,方法数为QUOTE·QUOTE=12(种);第三类:C中选1人参与围棋竞赛,A中选1人参与象棋竞赛,方法数为QUOTE·QUOTE=8(种);第四类:C中选2人分别参与两项竞赛,方法数为QUOTE=12(种);由分类加法计数原理,选派方法数共有:6+12+8+12=38(种).18.(12分)(2024·南通高二检测)在QUOTE(n≥3,n∈N*)的绽开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列.(1)求n的值;(2)求绽开式中含x2的项.【解析】(1)因为在QUOTE(n≥3,n∈N*)的绽开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列,所以2QUOTE=QUOTE+QUOTE,求得n=7,或n=2(舍去).(2)二项绽开式的通项公式为Tk+1=QUOTE·QUOTE·QUOTE,令QUOTE=2,求得k=2,可得绽开式中含x2的项为T3=QUOTE·QUOTE·x2=QUOTEx2.19.(12分)高二某班级有5名男生,4名女生排成一排.(以下结果用数字作答)(1)从中选出3人排成一排,有多少种排法?(2)若4名女生互不相邻,9名同学排成一排,有多少种不同的排法?【解析】(1)从9人中选出3人排成一排有QUOTE=504种排法.(2)5名男生排成一排的排法有QUOTE种,4名女生插空有QUOTE种状况,则由分步乘法计数原理得4名女生互不相邻有QUOTE=43200种排法.20.(12分)(2024·武汉高二检测)某医院有内科医生8名,外科医生6名,现选派4名参与抗击新冠肺炎疫情医疗队,其中:(1)甲、乙两人至少有一人参与,有多少种选法?(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法?【解析】(1)依据题意,某医院有内科医生8名,外科医生6名,共14人,从中选取4人,有QUOTE=1001种选法,其中甲、乙都没有参与的状况有QUOTE=495种,则甲、乙两人至少有一人参与的选法有1001-495=506种.(2)依据题意,从14人中任选4人,有QUOTE=1001种选法,其中只有内科医生的选法有QUOTE=70种,只有外科医生的选法有QUOTE=15种,则队中至少有一名内科医生和一名外科医生的选法有1001-70-15=916种.21.(12分)在(2x-3y)10的绽开式中,求:(1)各项的二项式系数的和.(2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和.(3)各项系数之和.(4)奇数项系数的和与偶数项系数的和.【解题指南】(1)依据二项式系数的性质求解.(2)可采纳赋值法,依据二项式定理,求得奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和,也可干脆应用二项式系数的这部分性质,写出答案.(3)采纳赋值法,令x=y=1,求得各项系数之和.(4)采纳赋值法,令x=1,y=-1,结合(3),可分别求得奇数项系数的和与偶数项系数的和.【解析】(1)各项的二项式系数的和为QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=210=1024.(2)奇数项的二项式系数的和为QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=29=512;偶数项的二项式系数的和为QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=29=512.(3)设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a1