举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题5.5 诱导公式-重难点题型精讲（含答案及解析）

专题5.5诱导公式-重难点题型精讲1．诱导公式(1)诱导公式(2)诱导公式的作用

2．一组重要公式(1)(n∈Z).

①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).

②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).

(2)(n∈Z).

①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).

②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).

类似地，有：

(3)(n∈Z).

(4)(n∈Z).【题型1利用诱导公式求值】【方法点拨】利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表.【例1】（2022·山东·高二阶段练习）已知cosπ6-α=A．±35 B．35 C．-【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））已知sin(α+π12)=A．13 B．223 C．-【变式1-2】（2022·北京朝阳·高三阶段练习）若tan(π−x)=12A．±15 B．±25 C．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知cosπ3−α=3A．±45 B．45 C．−【题型2利用诱导公式化简】【方法点拨】在对给定的式子进行化简时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称搞错.【例2】（2022·全国·高一课时练习）化简sinπ2−αA．tanα B．−tanα C．1【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）cos(π−x)+sinx+A．−2cosx B．0 C．−2sin【变式2-2】（2022·北京高一期中）化简cos(2π−α)sin(−α)A．tanα B．cosα C．sinα【变式2-3】（2022·天津市高一期末）若f(α)=sin(π2−α)A．cosα B．sinα C．−sin【题型3利用互余（互补）关系求值】【方法点拨】诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查的重点、热点，一般解题步骤如下：(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系.(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式.(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果.【例3】（2022·全国·高一单元测试）已知cos(α−π6)=223A．−13 B．13 C．−【变式3-1】（2022·广西梧州·高二期末（理））已知sinπ4+α=1A．13 B．223 C．−【变式3-2】（2022·北京市高一期中）已知cosπ6−α=2A．−23 B．−12 C．【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知sinθ−π6=1A．−32 B．−12 C．【题型4诱导公式在三角形中的应用】【方法点拨】利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，还要注意三角形的隐含条件——三角形内角和等于的灵活运用.【例4】（2022·全国·高一课时练习）在△ABC中，sinπ2+A+sinA．−125 B．125 C．−【变式4-1】（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，下列等式一定成立的是（

）A．sinA+B=−sinC．cosB+C2=【变式4-2】（2022·上海高一阶段练习）已知A、B、C是△ABC的内角，对于①sin(A+B)=sinC；②cos(A+B)=−cosC；③tanA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）设A，B，C为△ABC的三个内角，则不管三角形的形状如何变化，表达式：①sin(A+B)+sinC；②cos(A+B)+cosC；A．1 B．2 C．3 D．4专题5.5诱导公式-重难点题型精讲1．诱导公式(1)诱导公式(2)诱导公式的作用

2．一组重要公式(1)(n∈Z).

①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).

②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).

(2)(n∈Z).

①当n=2k(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).

②当n=2k+1(k∈Z)时，由诱导公式有(k∈Z).

类似地，有：

(3)(n∈Z).

(4)(n∈Z).【题型1利用诱导公式求值】【方法点拨】利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，口诀：负化正，大化小，化到锐角再查表.【例1】（2022·山东·高二阶段练习）已知cosπ6-α=A．±35 B．35 C．-【解题思路】结合π6【解答过程】解：因为π6-α所以sin故选：D.【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））已知sin(α+π12)=A．13 B．223 C．-【解题思路】由三角函数的诱导公式，化简得cos(α【解答过程】由三角函数的诱导公式，可得cos(α又sin(α+π故选：C.【变式1-2】（2022·北京朝阳·高三阶段练习）若tan(π−x)=12A．±15 B．±25 C．【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.【解答过程】因tan(π−x)=12，则tanx=−1所以cos(故选：A.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知cosπ3−α=3A．±45 B．45 C．−【解题思路】根据α+π【解答过程】∵cosπ∴sinα+故选:D．【题型2利用诱导公式化简】【方法点拨】在对给定的式子进行化简时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称搞错.【例2】（2022·全国·高一课时练习）化简sinπ2−αA．tanα B．−tanα C．1【解题思路】利用诱导公式化简可得结果.【解答过程】sinπ故选：C.【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）cos(π−x)+sinx+A．−2cosx B．0 C．−2sin【解题思路】由诱导公式直接化简可得.【解答过程】cos故选：A.【变式2-2】（2022·北京高一期中）化简cos(2π−α)sin(−α)A．tanα B．cosα C．sinα【解题思路】应用诱导公式化简即可得结果.【解答过程】cos(2π−α)故选：D.【变式2-3】（2022·天津市高一期末）若f(α)=sin(π2−α)A．cosα B．sinα C．−sin【解题思路】根据诱导公式化简即可得答案.【解答过程】解：f(α)==−故选：D.【题型3利用互余（互补）关系求值】【方法点拨】诱导公式的应用中，利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一，也是高考考查的重点、热点，一般解题步骤如下：(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系.(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式.(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到结果.【例3】（2022·全国·高一单元测试）已知cos(α−π6)=223A．−13 B．13 C．−【解题思路】根据同角三角函数基本关系及诱导公式求解即可.【解答过程】∵cos(α−π∴0<α−π6<∴cos故选：A.【变式3-1】（2022·广西梧州·高二期末（理））已知sinπ4+α=1A．13 B．223 C．−【解题思路】整体代换法用诱导公式进行计算【解答过程】cosα−故选：A.【变式3-2】（2022·北京市高一期中）已知cosπ6−α=2A．−23 B．−12 C．【解题思路】找出α+π3与【解答过程】sinα+故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知sinθ−π6=1A．−32 B．−12 C．【解题思路】利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.【解答过程】cos故选：B.【题型4诱导公式在三角形中的应用】【方法点拨】利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，还要注意三角形的隐含条件——三角形内角和等于的灵活运用.【例4】（2022·全国·高一课时练习）在△ABC中，sinπ2+A+sinA．−125 B．125 C．−【解题思路】利用三角函数诱导公式对原式进行化简可得sinA+cosA的值，利用平方关系得到sinAcosA的值，再结合三角形的内角，求解【解答过程】解：在△ABC中，sinπ平方得1+2sinAcos因为A为三角形的一个内角，所以sinA>0，cos所以sinA−cosA>0所以sinA−cosA=1713，结合sin所以tanA=故选：A.【变式4-1】（2022·全国·高一专题练习）在△ABC中，下列等式一定成立的是（

）A．sinA+B=−sinC．cosB+C2=【解题思路】由已知可得A+B+C=π，结合三角函数的诱导公式逐一核对四个选项即可得出答案.【解答过程】在△ABC中，有A+B+C=π，∴sinA+B=cosB+CsinB+C∴等式一定成立的是C．故选：C．【变式4-2】（2022·上海高一阶段练习）已知A、B、C是△ABC的内角，对于①sin(A+B)=sinC；②cos(A+B)=−cosC；③tanA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】直接利用诱导公式判断每一个命题即得解.【解答过程】解：①sin(A+B)=②cos(A+B)=③tan(A+B)=④sinB+C故选：D.【变式4-3】（2021·全国·高一专题练习）设A，B，C为