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专题5.5诱导公式-重难点题型精讲1.诱导公式(1)诱导公式(2)诱导公式的作用
2.一组重要公式(1)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时,由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时,由诱导公式有(k∈Z).
(2)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时,由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时,由诱导公式有(k∈Z).
类似地,有:
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).【题型1利用诱导公式求值】【方法点拨】利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,口诀:负化正,大化小,化到锐角再查表.【例1】(2022·山东·高二阶段练习)已知cosπ6-α=A.±35 B.35 C.-【变式1-1】(2022·四川省高三阶段练习(理))已知sin(α+π12)=A.13 B.223 C.-【变式1-2】(2022·北京朝阳·高三阶段练习)若tan(π−x)=12A.±15 B.±25 C.【变式1-3】(2023·全国·高三专题练习)已知cosπ3−α=3A.±45 B.45 C.−【题型2利用诱导公式化简】【方法点拨】在对给定的式子进行化简时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,勿将符号及三角函数名称搞错.【例2】(2022·全国·高一课时练习)化简sinπ2−αA.tanα B.−tanα C.1【变式2-1】(2022·全国·高一课时练习)cos(π−x)+sinx+A.−2cosx B.0 C.−2sin【变式2-2】(2022·北京高一期中)化简cos(2π−α)sin(−α)A.tanα B.cosα C.sinα【变式2-3】(2022·天津市高一期末)若f(α)=sin(π2−α)A.cosα B.sinα C.−sin【题型3利用互余(互补)关系求值】【方法点拨】诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一,也是高考考查的重点、热点,一般解题步骤如下:(1)定关系:确定已知角与所求角之间的关系.(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.(3)得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到结果.【例3】(2022·全国·高一单元测试)已知cos(α−π6)=223A.−13 B.13 C.−【变式3-1】(2022·广西梧州·高二期末(理))已知sinπ4+α=1A.13 B.223 C.−【变式3-2】(2022·北京市高一期中)已知cosπ6−α=2A.−23 B.−12 C.【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)已知sinθ−π6=1A.−32 B.−12 C.【题型4诱导公式在三角形中的应用】【方法点拨】利用诱导公式解决三角形中有关问题时,既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式,还要注意三角形的隐含条件——三角形内角和等于的灵活运用.【例4】(2022·全国·高一课时练习)在△ABC中,sinπ2+A+sinA.−125 B.125 C.−【变式4-1】(2022·全国·高一专题练习)在△ABC中,下列等式一定成立的是(
)A.sinA+B=−sinC.cosB+C2=【变式4-2】(2022·上海高一阶段练习)已知A、B、C是△ABC的内角,对于①sin(A+B)=sinC;②cos(A+B)=−cosC;③tanA.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式4-3】(2021·全国·高一专题练习)设A,B,C为△ABC的三个内角,则不管三角形的形状如何变化,表达式:①sin(A+B)+sinC;②cos(A+B)+cosC;A.1 B.2 C.3 D.4专题5.5诱导公式-重难点题型精讲1.诱导公式(1)诱导公式(2)诱导公式的作用
2.一组重要公式(1)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时,由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时,由诱导公式有(k∈Z).
(2)(n∈Z).
①当n=2k(k∈Z)时,由诱导公式有(k∈Z).
②当n=2k+1(k∈Z)时,由诱导公式有(k∈Z).
类似地,有:
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).【题型1利用诱导公式求值】【方法点拨】利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,口诀:负化正,大化小,化到锐角再查表.【例1】(2022·山东·高二阶段练习)已知cosπ6-α=A.±35 B.35 C.-【解题思路】结合π6【解答过程】解:因为π6-α所以sin故选:D.【变式1-1】(2022·四川省高三阶段练习(理))已知sin(α+π12)=A.13 B.223 C.-【解题思路】由三角函数的诱导公式,化简得cos(α【解答过程】由三角函数的诱导公式,可得cos(α又sin(α+π故选:C.【变式1-2】(2022·北京朝阳·高三阶段练习)若tan(π−x)=12A.±15 B.±25 C.【解题思路】根据给定条件,利用诱导公式、同角公式计算作答.【解答过程】因tan(π−x)=12,则tanx=−1所以cos(故选:A.【变式1-3】(2023·全国·高三专题练习)已知cosπ3−α=3A.±45 B.45 C.−【解题思路】根据α+π【解答过程】∵cosπ∴sinα+故选:D.【题型2利用诱导公式化简】【方法点拨】在对给定的式子进行化简时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,勿将符号及三角函数名称搞错.【例2】(2022·全国·高一课时练习)化简sinπ2−αA.tanα B.−tanα C.1【解题思路】利用诱导公式化简可得结果.【解答过程】sinπ故选:C.【变式2-1】(2022·全国·高一课时练习)cos(π−x)+sinx+A.−2cosx B.0 C.−2sin【解题思路】由诱导公式直接化简可得.【解答过程】cos故选:A.【变式2-2】(2022·北京高一期中)化简cos(2π−α)sin(−α)A.tanα B.cosα C.sinα【解题思路】应用诱导公式化简即可得结果.【解答过程】cos(2π−α)故选:D.【变式2-3】(2022·天津市高一期末)若f(α)=sin(π2−α)A.cosα B.sinα C.−sin【解题思路】根据诱导公式化简即可得答案.【解答过程】解:f(α)==−故选:D.【题型3利用互余(互补)关系求值】【方法点拨】诱导公式的应用中,利用互余(互补)关系求值问题是最重要的问题之一,也是高考考查的重点、热点,一般解题步骤如下:(1)定关系:确定已知角与所求角之间的关系.(2)定公式:依据确定的关系,选择要使用的诱导公式.(3)得结论:根据选择的诱导公式,得到已知值和所求值之间的关系,从而得到结果.【例3】(2022·全国·高一单元测试)已知cos(α−π6)=223A.−13 B.13 C.−【解题思路】根据同角三角函数基本关系及诱导公式求解即可.【解答过程】∵cos(α−π∴0<α−π6<∴cos故选:A.【变式3-1】(2022·广西梧州·高二期末(理))已知sinπ4+α=1A.13 B.223 C.−【解题思路】整体代换法用诱导公式进行计算【解答过程】cosα−故选:A.【变式3-2】(2022·北京市高一期中)已知cosπ6−α=2A.−23 B.−12 C.【解题思路】找出α+π3与【解答过程】sinα+故选:C.【变式3-3】(2023·全国·高三专题练习)已知sinθ−π6=1A.−32 B.−12 C.【解题思路】利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.【解答过程】cos故选:B.【题型4诱导公式在三角形中的应用】【方法点拨】利用诱导公式解决三角形中有关问题时,既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式,还要注意三角形的隐含条件——三角形内角和等于的灵活运用.【例4】(2022·全国·高一课时练习)在△ABC中,sinπ2+A+sinA.−125 B.125 C.−【解题思路】利用三角函数诱导公式对原式进行化简可得sinA+cosA的值,利用平方关系得到sinAcosA的值,再结合三角形的内角,求解【解答过程】解:在△ABC中,sinπ平方得1+2sinAcos因为A为三角形的一个内角,所以sinA>0,cos所以sinA−cosA>0所以sinA−cosA=1713,结合sin所以tanA=故选:A.【变式4-1】(2022·全国·高一专题练习)在△ABC中,下列等式一定成立的是(
)A.sinA+B=−sinC.cosB+C2=【解题思路】由已知可得A+B+C=π,结合三角函数的诱导公式逐一核对四个选项即可得出答案.【解答过程】在△ABC中,有A+B+C=π,∴sinA+B=cosB+CsinB+C∴等式一定成立的是C.故选:C.【变式4-2】(2022·上海高一阶段练习)已知A、B、C是△ABC的内角,对于①sin(A+B)=sinC;②cos(A+B)=−cosC;③tanA.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解题思路】直接利用诱导公式判断每一个命题即得解.【解答过程】解:①sin(A+B)=②cos(A+B)=③tan(A+B)=④sinB+C故选:D.【变式4-3】(2021·全国·高一专题练习)设A,B,C为
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