举一反三系列高考高中数学同步及复习资料人教A版必修1专题5.2 任意角和弧度制-重难点题型检测（含答案及解析）

专题5.2任意角和弧度制-重难点题型检测【人教A版2019】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（

）A．60° B．−60° C．30° D．−30°2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将−885∘化为α+k⋅360A．−165°+C．195°+−23．（3分）（2021·全国·高一单元测试）在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是（

）.A．α=−β B．α+β=C．α=β D．α−β=4．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知α∈α45°+k⋅360°≤α≤90°+k⋅360°，则角α的终边落在的阴影部分是（A． B．C． D．5．（3分）（2022·江西省高一阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．−150°是第二象限的角 D．−252°166．（3分）（2022·辽宁高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（

）A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则n180C．长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2πD．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5π7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知OA=0.2m,AD=0.3m,∠AOB=100°，则该扇环形砖雕的面积为（A．π6 B．π12 C．π128．（3分）（2022·全国·高三专题练习）如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（

）A．56π3 B．14π C．24π 二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（

）A．1 B．2 C．3 D．410．（4分）（2022·山东·高二阶段练习）下列命题正确的是（

）A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为αB．终边落在y轴上的角的集合为α∣α=90°+kπ,k∈ZC．第三象限角的集合为α∣π+2kπ≤α≤D．在−720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为−675°和−315°11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列结论中不正确的是（

）A．终边经过点(a,−a)(a≠0)的角的集合是{α|α=−B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是πC．若α是第一象限角，则α2是第一象限角，2αD．M={x|x=45°+k⋅90°,k∈Z}，N={y|y=90°+k⋅45°,k∈Z}，则M⊆N12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（

）A．经过1s后，∠BOA的弧度数为π3B．经过π12s后，扇形AOB的弧长为C．经过π6s后，扇形AOB的面积为πD．经过5π9s后，A，B三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·上海·高一阶段练习）已知角α与角β的终边关于直线y=x对称，则α与β的关系为.14．（4分）（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第象限角．15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合是．16．（4分）（2022·浙江·高一期中）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧AB的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·河南南阳·高一期中）时间经过2小时20分钟，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？18．（6分）（2022·上海·高一课时练习）写出下列角α与β的关系.（1）角α与β的终边互相垂直；（2）角α与β的终边互为反向延长线；（3）角α与β的终边关于y轴对称19．（8分）（2022·全国·高一课时练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出−2π,2π内与它终边相同的角．(1)−5(2)215(3)34(4)1620．（8分）（2022·江西·高一阶段练习）已知α=π(1)写出与角α终边相同的角的集合，并求出在(−4π,−π)内与角α终边相同的角；(2)若角β与角α终边相同，判断角β221．（8分）（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.(1)若α=100°,r=2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．22．（8分）（2022·全国·高一）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的)．已知OA=2米，OB=x米0<x<2，线段BA、线段CD与弧BC、弧AD的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y，试问x取何值时，y的值最大?并求出最大值．专题5.2任意角和弧度制-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将分针拨慢5分钟，则分针转过的角是（

）A．60° B．−60° C．30° D．−30°【解题思路】根据任意角的概念计算可得.【解答过程】解：将分针拨慢是逆时针旋转，所以分针拨慢5分钟，转过的角为560故选：C.2．（3分）（2022·全国·高三专题练习）将−885∘化为α+k⋅360A．−165°+C．195°+−2【解题思路】直接由终边相同的角的概念求解即可.【解答过程】由α∈0°,故选：B.3．（3分）（2021·全国·高一单元测试）在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是（

）.A．α=−β B．α+β=C．α=β D．α−β=【解题思路】本题可通过角α与角β的终边关于x轴对称得出角β=2kπ−α，然后通过计算并与题目中的四个选项对比即可得出结果.【解答过程】因为角−α与角α的终边关于x轴对称，所以角β与角−α的终边相同，即β=2kπ−αk∈Z所以α+β=α+2kπ−α=2kπk∈Z故选：B.4．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知α∈α45°+k⋅360°≤α≤90°+k⋅360°，则角α的终边落在的阴影部分是（A． B．C． D．【解题思路】令k=0即可判断出正确选项.【解答过程】令k=0，得45°≤α≤90°，则B选项中的阴影部分区域符合题意.故选：B．5．（3分）（2022·江西省高一阶段练习）下列说法中，正确的是（

）A．第二象限的角是钝角 B．第二象限的角必大于第一象限的角C．−150°是第二象限的角 D．−252°16【解题思路】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解【解答过程】对于A：当角为510°是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A错误；对于B：分别取第一象限的角为730°，第二象限角510°，此时第一象限的角大于第二象限的角，故B错误；对于C：−150°是第三象限的角，故C错误；对于D：因为467°44所以−252°16故选：D.6．（3分）（2022·辽宁高二开学考试）下面关于弧度的说法，错误的是（

）A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则n180C．长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角的弧度数为2πD．航海罗盘半径为10cm，将圆周32等分，每一份的弧长为5π【解题思路】根据弧度制与角度制的定义，以及转化关系，即可判断选项.【解答过程】A.根据弧度数定义可知A正确；B.根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；C.根据三角形关系可知，长度等于半径的3倍的弦所对的圆心角为120∘，即弧度数为2πD.圆周长为2πr=20πcm，32等分后，每一份弧长为5π故选：D.7．（3分）（2022·全国·高三专题练习）砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知OA=0.2m,AD=0.3m,∠AOB=100°，则该扇环形砖雕的面积为（A．π6 B．π12 C．π12【解题思路】根据扇形的面积公式公式即可求解.【解答过程】由100∘=5π故选：D.8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）如图为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”图案，画法如下：在水平直线l上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”图案的总长度为（

）A．56π3 B．14π C．24π 【解题思路】根据弧长公式l=α×r可求得AD，同理可求得其他弧的长度.【解答过程】扇形ABD的半径为1，圆心角为2π3，所以AD的长l同理可得之后的各段弧长分别为l2=2π3×2l5=2π所以“螺旋蚊香”图案的总长度l=2π3×(1+2+3+4+5+6)=故选：B．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高一课时练习）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】设出扇形所在圆的半径及其弧长，再由条件列出方程求解即可作答.【解答过程】设扇形的半径为r，弧长为l，则2r+l=6,12lr=2,解得r=1,又圆心角α=lr，所以α=4或故选：AD.10．（4分）（2022·山东·高二阶段练习）下列命题正确的是（

）A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为αB．终边落在y轴上的角的集合为α∣α=90°+kπ,k∈ZC．第三象限角的集合为α∣π+2kπ≤α≤D．在−720°~0°范围内所有与45°角终边相同的角为−675°和−315°【解题思路】根据任意角的定义判断即可.【解答过程】终边落在x轴的非负半轴的角的集合为α∣α=2kπ,k∈Z故A正确.终边落在y轴上的角的集合为α∣α=90°+kπ,k∈Z属于角度制和弧度制的混用，故B错误.第三象限角的集合为α∣π+2kπ<α<3π−720°~0°范围内所有与45°角可以表示为αα=45∘+360故选：AD.11．（4分）（2022·全国·高一课时练习）下列结论中不正确的是（

）A．终边经过点(a,−a)(a≠0)的角的集合是{α|α=−B．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数是πC．若α是第一象限角，则α2是第一象限角，2αD．M={x|x=45°+k⋅90°,k∈Z}，N={y|y=90°+k⋅45°,k∈Z}，则M⊆N【解题思路】根据角的终边位置判断A，根据角的定义判断B，利用特殊值判断C，根据集合间的包含关系判断D．【解答过程】对于选项A：终边经过点a,−aa≠0的角在第二和第四象限的角平分线上，故角的集合是α对于选项B：将表的分针拨快10分钟，按顺时针方向旋转圆周角的六分之一，则分针转过的角的弧度数是−π对于选项C：若α=400∘⇒对于选项D：M=xx=45°+k⋅90°,k∈Z={x|x=2k+1×45N={y|y=90°+k×45°，k∈Z}={y|y=k+2×45∘，k∈Z}，故选：BC.12．（4分）（2023·全国·高三专题练习）如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（

）A．经过1s后，∠BOA的弧度数为π3B．经过π12s后，扇形AOB的弧长为C．经过π6s后，扇形AOB的面积为πD．经过5π9s后，A，B【解题思路】结合条件根据扇形面积，弧长公式逐项分析即得.【解答过程】经过1s后，质点A运动1rad，质点B运动2rad，此时∠BOA的弧度数为π3经过π12s后，∠AOB=π12+π3经过π6s后，∠AOB=π6+π设经过ts后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1+2)+π3=2π故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·上海·高一阶段练习）已知角α与角β的终边关于直线y=x对称，则α与β的关系为β=π2【解题思路】先在0∼2π得出α与β的关系，然后由终边相同的角的关系得出答案.【解答过程】若α与β均在0∼2π内时，如图1：则β−α=2π4−α=如图2：则β−α=25π4−α=由终边相同的角的关系可得：β=π所以α与β的关系为：β=π故答案为：β=π14．（4分）（2022·全国·高一课时练习）若α是第二象限角，则180°－α是第一象限角．【解题思路】利用象限角的定义进行求解.【解答过程】若α是第二象限角，则k⋅360∘+所以−k⋅360∘−即−k⋅360∘<所以180°－α是第一象限角．故答案为：一.15．（4分）（2022·全国·高一课时练习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合是[2kπ−π6【解题思路】确定以边界为终边的角，即可得角θ的集合.【解答过程】由题图，终边OB对应角为2kπ−π6且k∈Z，终边OA对应角为2kπ+所以阴影部分角θ的集合是[2kπ−π故答案为：[2kπ−π16．（4分）（2022·浙江·高一期中）鲁洛克斯三角形是一种特殊的三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.它的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来.如图，已知某鲁洛克斯三角形的一段弧AB的长度为2π，则该鲁洛克斯三角形的面积为18π【解题思路】由弧长公式可求得等边△ABC的边长，再根据该鲁洛克斯三角形的面积等于三个扇形的面积减去2个△ABC的面积，结合扇形和三角形的面积公式即可得解.【解答过程】解：由题意可知∠ABC=∠ACB=∠BAC=π设AB=r，则弧AB的长度为π3r=2π设弧AB所对的扇形的面积为S，S△ABC则该鲁洛克斯三角形的面积为3S−2S故答案为：18π四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·河南南阳·高一期中）时间经过2小时20分钟，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？【解题思路】根据时钟的转动规律，先求出每分钟时针和分针转动的角度，进而求出经过2小时20分钟，时针、分针转动的角度即可，结合角度制和弧度制的换算即可.【解答过程】每经过1分钟，时针转了−360°12×60=−0.5°时间经过2小时20分钟，则时针转了−0.5°×140=−70°，等于−70°×π则分针转了−6°×140=−840°，等于−840°×π18．（6分）（2022·上海·高一课时练习）写出下列角α与β的关系.（1）角α与β的终边互相垂直；（2）角α与β的终边互为反向延长线；（3）角α与β的终边关于y轴对称【解题思路】（1）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得α−β=90∘+k⋅（2）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得α−β=180∘+k⋅（3）由题意结合任意角、终边相同的角的概念可得α+β2=90【解答过程】（1）若角α与β的终边互相垂直，则α−β=90∘+k⋅所以β=α+k⋅360（2）若角α与β的终边互为反向延长线，则α−β=180∘+k⋅所以β=α+180（3）若角α与β的终边关于y轴对称，则α+β2=90所以α+β=180∘+2k⋅所以α+β=180所以β=−α+18019．（8分）（2022·全国·高一课时练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并指出−2π,2π内与它终边相同的角．(1)−5(2)215(3)34(4)16【解题思路】根据终边相同的角的概念及给定区间即可得到答案.【解答过程】（1）由题意，与−53π令−2π≤2kπ−53π<2π,k∈Z∴k=0,1，∴在−2π,2π内与−53π终边相同的角为−（2）由题意，与215π终边相同的角的集合为令−2π≤2kπ+215π<2π,k∈Z∴k=−3,−2，∴在−2π,2π内与215π终边相同的角为−9π（3）由题意，与34π终边相同的角的集合为令−2π≤2kπ+34π<2π,k∈Z∴k=−1,0，∴在−2π,2π内与34π终边相同的角为−5（4）由题意，与16π终边相同的角的集合为令−2π≤2kπ+16π<2π,k∈Z∴k=−1,0，∴在−2π,2π内与16π终边相同的角为−1120．（8分）（2022·江西·高一阶段练习）已知α=π(1)写出与角α终边相同的角的集合，并