2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价四十六第六章概率4.2超几何分布含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE四十六超几何分布1．(2024·黄冈高二检测)如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为()A．eq\f(5,7)B．eq\f(4,7)C．eq\f(2,7)D．eq\f(1,7)【解析】选A.由题意得P＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝1－eq\f(2,7)＝eq\f(5,7).2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于()A．eq\f(7,15)B．eq\f(8,15)C．eq\f(13,15)D．eq\f(14,15)【解析】选D.P(X<2)＝P(X＝1)＋P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(14,15).3．某班50名学生期中考试数学成果的频率分布直方图如图所示，其中成果分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].从样本成果不低于80分的学生中随机选取2人，记这2人成果在90分以上(含90分)的人数为ξ，则ξ的数学期望为()A.eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)【解析】选B.由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，所以成果不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成果在90分以上(含90分)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(6,11)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(9,22)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(1,22)，所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)所以Eξ＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2).4．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为()A．10%B．20%C．30%D．40%【解析】选B.设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为ξ，由P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)得eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10－n)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(16,45)，化简得n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8；又该产品的次品率不超过40%，所以n≤4；应取n＝2，所以这10件产品的次品率为eq\f(2,10)＝20%.5．为了抗击新冠肺炎疫情，某市医护人员主动响应号召，现拟从A医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人参与支援队伍，已知男医生2名，女医生3人，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是________．【解析】由题意，选出的2名医生中至少有1名男医生分为恰有1名男医生和全部都是男医生两种状况，则所求概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(6＋1,10)＝eq\f(7,10).答案：eq\f(7,10)一、单选题(每小题5分，共20分)1．(2024·宿迁高二检测)在10个排球中有6个正品，4个次品．从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为()A．eq\f(5,42)B．eq\f(4,35)C．eq\f(19,42)D．eq\f(8,21)【解析】选A.正品数比次品数少，有两种状况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时，P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(1,210)，当1个正品3个次品时，P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(24,210)＝eq\f(4,35)，所以正品数比次品数少的概率为eq\f(1,210)＋eq\f(4,35)＝eq\f(5,42).2．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财宝．小楠从小就对纹样艺术有深厚的爱好．他收集了4枚凤纹徽章，5枚龙纹徽章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为()A．eq\f(3,4)B．eq\f(37,42)C．eq\f(21,37)D．eq\f(5,42)【解析】选B.从9枚纹样徽章中选择3枚，全部可能事务的数目为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))，满意“一枚凤纹徽章也没有”的全部可能事务的数目为Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))，因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事务为“一枚凤纹徽章也没有”，所以P＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝1－eq\f(5×4×3,9×8×7)＝eq\f(37,42).3．(2024·大连高二检测)有8名学生，其中有5名男生．从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X，则其数学期望为EX＝()A．2B．2.5C．3D．3.5【解析】选B.随机变量X的全部可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(4－k),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)))(k＝1，2，3，4).所以，随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)随机变量X的数学期望EX＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2).4．(2024·南京高二检测)某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中随意选3个村，下列事务中概率等于eq\f(6,7)的是()A．至少有1个深度贫困村B．有1个或2个深度贫困村C．有2个或3个深度贫困村D．恰有2个深度贫困村【解析】选B.用X表示这3个村庄中深度贫困村数，X听从超几何分布，故P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))(k＝0，1，2，3)，所以P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(4,35)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(18,35)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(12,35)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(1,35)，P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(6,7).二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是()A．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))) B．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20)))C．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))) D．1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20)))【解析】选CD.(干脆法)至少有1个是一等品的概率是eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))).(间接法)全部都是二等品的概率为eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20)))，故至少有1个是一等品的概率为1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))).6．一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是()A．取出的最大号码X听从超几何分布B．取出的黑球个数Y听从超几何分布C．取出2个白球的概率为eq\f(1,14)D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为eq\f(1,14)【解析】选BD.一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为试验次数，即指某事务发生n次的试验次数，由此可知取出的最大号码X不听从超几何分布，故A错误；对于B，超几何分布的随机变量为试验次数，即指某事务发生n次的试验次数，由此可知取出的黑球个数Y听从超几何分布，故B正确；对于C，取出2个白球的概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(3,7)，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(1,14)，故D正确．三、填空题(每小题5分，共10分)7．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X＝2)＝________．【解析】X满意超几何分布，所以P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)8．(2024·潍坊高二检测)从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽一只，设抽取次品数为ξ，则E(5ξ＋1)＝________．【解析】抽取次品数ξ满意超几何分布：p(ξ＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))，故p(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(22,35)，p(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(12,35)，p(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(1,35)，其期望Eξ＝0×eq\f(22,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(1,35)＝eq\f(2,5)，故E(5ξ＋1)＝5×Eξ＋1＝3.答案：3四、解答题(每小题10分，共20分)9．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式．某大型超市为调查顾客运用自由购的状况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]70以上运用人数312176420未运用人数003143630(1)现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在[30，50)且未运用自由购的概率；(2)从被抽取的年龄在[50，70]运用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解状况，用X表示这3人中年龄在[50，60)的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；(3)为激励顾客运用自由购，该超市拟对运用自由购的顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预料有5000人购物，试估计该超市当天至少应打算多少个环保购物袋．【解析】(1)在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50)且未运用自由购的共有3＋14＝17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30，50)且未运用自由购的概率为P＝eq\f(17,100).(2)X全部可能的取值为1，2，3，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5).所以X的分布列为X123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)所以X的数学期望为EX＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.(3)在随机抽取的100名顾客中，运用自由购的共有3＋12＋17＋6＋4＋2＝44人，所以该超市当天至少应打算环保购物袋的个数估计为eq\f(44,100)×5000＝2200.10．每年暑期都会有大量中学生参与名校游学、夏令营等活动，某中学学生社团将其今年的社会实践主题定为“中学生暑期游学支出分析”，并在该市各个中学随机抽取了共3000名中学生进行问卷调查，依据问卷调查发觉共1000名中学生参与了各类游学、夏令营等活动，从中统计得到中学生暑期游学支出(单位：百元)频率分布直方图如图．(1)求实数a的值；(2)在[45，50)，[50，55)，[55，60]三组中利用分层随机抽样抽取10人，并从抽取的10人中随机选出3人，对其消费状况进行进一步分析．①求每组恰好各被选出1人的概率；②设ξ为选出的3人中[45，50)这一组的人数，求随机变量ξ的分布列．【解析】(1)由题意，得(0.024＋a＋0.04×2＋0.03×2)×5＝1，解得a＝0.036.(2)依据分层随机抽样，[45，50)，[50，55)，[55，60]三组抽取人数分别为4，3，3.①每组恰好各被选出1人的概率为eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10).②ξ的全部可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,30)，则ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)1．李明参与中心电视台《同一首歌》大赛的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为________．【解析】设所选的3题中李明能答对的题数为X，则X听从超几何分布，且P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))(k＝0，1，2，3)故所求概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(60,120)＋eq\f(20,120)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)2．教化部最近颁发的《关于全面加强新时代大中小学劳动教化的看法》中指出，劳动教化是国民教化体系的重要内容，是学生成长的必要途径，具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值．某中学激励学生多做家务劳动，提升自理实力和劳动技能，争做家长的好帮手，增进家庭和谐度．学校为了解该校学生参与家务劳动的状况，从中随机抽查了100名学生，统计了他们双休日两天家务劳动的时间，得到如图所示的频率分布直方图：(1)求这100名学生双休日