2024-2025学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE2．1等式2．1.1等式的性质与方程的解集内容标准学科素养1.驾驭等式的性质，并能进行应用．逻辑推理数学运算2.理解常见恒等式及其变形的形式，能对一些式子进行化简．3.能通过因式分解求方程的解集.授课提示：对应学生用书第19页[教材提炼]学问点一等式的性质1．等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，用公式表示：假如a＝b，那么a±c＝b±c；这里的a，b，c可以是详细的一个数，也可以是一个代数式．2．等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用公式表示：假如a＝b，那么ac＝bc，eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)(c≠0)．学问点二恒等式1．a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(平方差公式)2．(a－b)2＝a2－2ab＋b2；(两数差的平方公式)3．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(两数和的平方公式)4．a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；(立方差公式)5．a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．(立方和公式)学问点三方程的解集一般地，把一个方程全部解组成的集合称为方程的解集．[自主检测]1．一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为()A．－2 B．1C．2 D．0答案：D2．分解因式：x2－1＝________.答案：(x＋1)(x－1)3．方程x2＋2x＋1＝0的解集为________．答案：{－1}4．多项式4a－a3答案：a(2－a)(2＋a)授课提示：对应学生用书第19页探究一利用恒等式化简[例1](1)分解因式：9－b2＝________；(2)分解因式：4a2－4[解析](1)利用平方差公式分解因式．(2)利用完全平方公式分解．[答案](1)(3＋b)(3－b)(2)(2a－1)利用恒等式化简的步骤(1)先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式．(2)提公因式后看多项式的项数．①若多项式为两项，则考虑用平方差公式因式分解．②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解．③若多项式有四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法．(3)若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按上面步骤进行．1．将多项式x－x3因式分解正确的是()A．x(x2－1) B．x(1－x2)C．x(x＋1)(x－1) D．x(1＋x)(1－x)解析：x－x3＝x(1－x2)＝x(1＋x)(1－x)．故选D.答案：D2．分解因式：a3b－ab3＝________.解析：a3b－ab3＝ab(a2－b2)＝ab(a＋b)(a－b)．答案：ab(a＋b)(a－b)探究二十字相乘法[例2]分解因式：(1)x2＋6x－7；(2)2x2－7x＋6；(3)x2＋29xy＋100y2.[解析](1)法一：x2＋6x－7＝x2＋6x＋9－9－7＝(x＋3)2－16＝(x＋3＋4)(x＋3－4)＝(x＋7)(x－1)．法二：x2＋6x－7＝(x＋7)(x－1)．(2)首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(－2)×(－3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数．右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次项系数，从而得2x2－7x＋6＝(x－2)(2x－3)．(3)x2＋29xy＋100y2＝x2＋29y·x＋4y·25y＝(x＋4y)(x＋25y)．1．对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解．2．对于二次三项式ax2＋bx＋c(a、b、c都是整数，且a≠0)来说，假如存在四个整数a1，c1，a2，c2满意a1a2＝a，c1c2＝c，并且a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式ax2＋bx＋c即a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2可以分解为(a1x＋c1分解因式：－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x＋7.解析：－eq\f(1,3)x2＋eq\f(4,3)x＋7＝－eq\f(1,3)(x2－4x－21)＝－eq\f(1,3)(x－7)(x＋3)．探究三方程的解集[例3]求方程6x2－7x－5＝0的解集．[解析]因为6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)，所以(2x＋1)(3x－5)＝0，从而可知2x＋1＝0或3x－5＝0，即x＝－eq\f(1,2)或x＝eq\f(5,3)，因此方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(5,3))).一元二次方程解法的选择(1)干脆开平方法适用状况①当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)；②形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．(2)因式分解法适用状况①缺少常数项，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)；②一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积．(3)配方法适用状况①二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；②各项的系数比较小且便于配方的状况．求方程2x2－x－1＝0的解集．解析：因为2x2－x－1＝(2