专题06指数与指数函数5题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测（原卷版+解析版）

专题06指数与指数函数5题型分类1、指数及指数运算（1）根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．（2）根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.（4）有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．（5）有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2、指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数（一）指数运算及指数方程、指数不等式利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型1：指数运算及指数方程、指数不等式1-1．（2024高三下·湖南·阶段练习）（

）A． B． C． D．1-2．（2024高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（

）A．设则 B．若，则C．若，则 D．1-3．（2024高一上·山西晋城·期中）（

）A． B． C． D．1-4．（2024·江西）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（

）A． B． C．1 D．21-5．（2024·陕西榆林·一模）已知函数，若，则实数（

）A． B． C． D．（二）指数函数的图像及性质1.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2.解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型2：求指数函数的定义域、值域2-1．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）函数的定义域为．2-2．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）函数的值域为．2-3．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是．2-4．（2024·宁夏银川·二模）已知函数，，则其值域为．2-5．（2024高一上·上海闵行·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是．题型3：指数函数图象及其应用3-1．（2024高一上·广东梅州·期中）函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（

）A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)3-2．（2024高一上·山东淄博·期末）函数（其中，）的图象恒过的定点是（

）A． B． C． D．3-3．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

3-4．（2024·山东）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（

）A． B．C． D．3-5．（2024高一上·福建福州·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

3-6．（2024·四川）函数的图象关于直线对称的图象大致是（

）A． B．C． D．3-7．（2024高一·广东河源·期中）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是.题型4：指数函数单调性及应用4-1．（2024·江苏）不等式的解集为.4-2．（2024高一·上海·专题练习）不等式的解集为．4-3．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为4-4．（2024高二下·宁夏银川·期末）若函数,则该函数在(-∞,+∞)上是A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值4-5．（2024·全国）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．4-6．（2024·全国）设函数则满足的x的取值范围是.4-7．（2024·江西景德镇·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是．（三）指数函数中的恒成立问题已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型5：指数函数中的恒成立问题5-1．（2024高一上·浙江·期中）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是．5-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是.5-3．（2024高三上·上海松江·期中）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是．5-4．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是.一、单选题1．（2024高三上·陕西西安·期中）若是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．且2．（2024高三·山东·学业考试）函数是指数函数，则（

）A．或 B． C． D．且3．（2024高三·全国·专题练习）当x>0时，函数的值总大于1，则实数a的取值范围是（）A．1<|a|<2 B．|a|<1 C．|a|> D．|a|<4．（2024高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域是

（

）A． B． C． D．5．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2024高三上·湖北武汉·开学考试）设函数，函数的图像经过第一､三､四象限，则的取值范围为（

）A． B． C． D．7．（2024·江西）已知实数，满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的关系式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（2024·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．9．（2024·天津）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．10．（2024·安徽）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a11．（2024高二下·安徽宣城·阶段练习）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（

）A． B．C． D．12．（2024·海南·模拟预测）不等式的解集为（

）A． B．C． D．13．（2024·全国）设函数，则满足的x的取值范围是A． B． C． D．14．（2024·全国）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．15．（2024·北京）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．16．（2024·北京西城·三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（

）A． B． C． D．17．（2024高一·全国·课后作业）函数对于任意的实数、都有（

）A． B．C． D．18．（2024高一上·浙江温州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．19．（2024高一上·北京西城·期中）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（

）A．且 B．且C．且 D．且20．（2024高一上·全国·课后作业）若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（

）A．或 B．C． D．21．（2024·陕西西安·一模）已知实数a、b满足，则a、b的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定22．（2024·陕西）下了函数中，满足“”的单调递增函数是（

）A． B．C． D．23．（2024·全国）已知，则A． B．C． D．24．（2024高一上·云南楚雄·阶段练习）若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（

）A．f（2）<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f（2）C．f（2）<g(0)<f(3) D．g(0)<f（2）<f(3)25．（2024高一上·吉林·）函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．26．（2024·河南平顶山·模拟预测）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（

）A．或 B．或C．或 D．或27．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．28．（2024·上海长宁·一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（）A． B．C． D．29．（2024高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（

）A．8 B．24 C．4 D．630．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．31．（2024·全国）已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题32．（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．33．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，且．若，则（

）A． B．C． D．34．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A． B． C． D．35．（2024高三·全国·专题练习）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（）A．， B．的定义域为[0，1]C．的值域为[2，6] D．的值域为[2，20]36．（2024高一上·山东泰安·期末）函数的图象可能为（

）A． B．C． D．37．（2024·浙江绍兴·模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（

）A．当，则这期间人口数呈下降趋势B．当，则这期间人口数呈摆动变化C．当时，的最小值为3D．当时，的最小值为338．（2024·山东聊城·二模）已知函数，则（

）A．函数是增函数B．曲线关于对称C．函数的值域为D．曲线有且仅有两条斜率为的切线39．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A．-1 B． C． D．0三、填空题40．（2024高三上·黑龙江七台河·期中）设函数，且，，则的解析式为．41．（2024·上海·模拟预测）已知，则的值域是；42．（2024·全国·模拟预测）使函数的值域为的一个a的值为．43．（2024·山东）已知函数的定义域和值域都是，则.44．（2024·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，则．45．（2024高三·全国·对口高考）函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为．46．（2024高三·全国·专题练习）已知函数过定点，如果点是函数的顶点，那么的值分别为47．（2024高二下·河北石家庄·期中）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为．48．（2024高三上·上海徐汇·开学考试）已知函数满足对于任意，都有成立，则的取值范围为49．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为50．（2024·福建）若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于．51．（2024·江苏）若，则．52．（2024·山东）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝.53．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为.54．（2024·上海杨浦·模拟预测）若函数为偶函数，且当时，，则.55．（2024·上海金山·一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是.56．（2024高三上·山西运城·阶段练习）已知函数是奇函数，则.57．（2024高一上·重庆渝中·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.（用区间或集合作答）58．（2024·福建厦门·一模）若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是.59．（2024高三下·河北·阶段练习）在这4个数中，最小的是，最大的是．60．（2024·河北邯郸·一模）不等式的解集为.61．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则62．（2024·上海浦东新·模拟预测）设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为.63．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象关于坐标原点对称，则.64．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知实数，满足，，则．四、解答题65．（2024高一·全国·课后作业）已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．（1）求f(x)的表达式；（2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．66．（2004·北京）当时，解关于x的不等式：，67．（2024高一上·海南海口·阶段练习）已知函数.(1)若，求的值；(2)若对于恒成立，求实数的取值范围.68．（2024高一上·河北保定·期中）已知函数．(1)若，求的单调区间(2)若有最大值3，求的值(3)若的值域是，求的值69．（2024·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数.(1)求实数的值，并证明在上单调递增；(2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围.

专题06指数与指数函数5题型分类1、指数及指数运算（1）根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．（2）根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.（3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.（4）有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．（5）有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2、指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数（一）指数运算及指数方程、指数不等式利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型1：指数运算及指数方程、指数不等式1-1．（2024高三下·湖南·阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数的运算性质可求得所求代数式的值.【详解】.故选：B.1-2．（2024高一·全国·单元测试）下列结论中，正确的是（

）A．设则 B．若，则C．若，则 D．【答案】B【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误．【详解】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误；对于B，，故，选项B正确；对于C，，，因为，所以，选项C错误；对于D，，选项D错误.故选：B．1-3．（2024高一上·山西晋城·期中）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用指数幂的运算性质计算即可.【详解】.故选：B1-4．（2024·江西）已知函数f(x)=(a∈R)，若，则a=（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】先求出的值，再求的值，然后列方程可求得答案【详解】解：由题意得，所以，解得a=.故选：A【点睛】此题考查分段函数求值问题，属于基础题1-5．（2024·陕西榆林·一模）已知函数，若，则实数（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，从而，对，讨论，分别代入分段函数即可求出实数的值．【详解】∵函数，，，，当时，，方程无解，即满足条件的不存在，当时，，解得．∴．故选：A．（二）指数函数的图像及性质1.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2.解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型2：求指数函数的定义域、值域2-1．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）函数的定义域为．【答案】【分析】根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得且.因此，函数的定义域为.故答案为：.2-2．（2024高一上·河南平顶山·阶段练习）函数的值域为．【答案】．【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可.【详解】设，则，换元得，显然当时，函数取到最小值，所以函数的值域为．故答案为：.2-3．（2024高一上·浙江杭州·期中）已知f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是．【答案】[-1，0]【分析】把f（x）的定义域为R转化为0对任意x∈R恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，再由判别式小于等于0求解．【详解】∵f（x）的定义域为R，∴0对任意x∈R恒成立，即恒成立，即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立，∴△＝4a2+4a≤0，则﹣1≤a≤0．故答案为[﹣1，0]．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．2-4．（2024·宁夏银川·二模）已知函数，，则其值域为．【答案】【分析】令，将问题转化为求二次函数在区间上的值域问题，结合二次函数单调性，即可求解.【详解】令，∵，∴，∴，又关于对称，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，.故答案为：.2-5．（2024高一上·上海闵行·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是．【答案】【分析】分别讨论当时，的值域和当时，的值域，根据分段函数的值域取二者的并集，结合集合的并集运算即可求解.【详解】当时，在上单调递增，所以时，；当时，，①若，则在上单调递增，在上单调递减，则时，，即时，，又时，，此时，函数的值域为，不满足题意，舍去；②当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去；③当时，在上单调递减，则时，，即时，，因为函数的值域为，又时，；则时，且，不等式解得：，不等式等价于时，，设（），因为在上单调递增，在上是增函数，所以在上单调递增，又，所以时，等价于，即，则不等式解得：，所以时，的解集为，综上：实数的取值范围是，故答案为：.题型3：指数函数图象及其应用3-1．（2024高一上·广东梅州·期中）函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（

）A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)【答案】A【分析】根据指数型函数图象过定点的知识即得.【详解】当时，，所以.故选：A.3-2．（2024高一上·山东淄博·期末）函数（其中，）的图象恒过的定点是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令可得定点.【详解】令，即，得，函数（其中，）的图象恒过的定点是.故选：B.3-3．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.【详解】∵，∴时，，当时，函数为上的单调递增函数，且，当时，函数为上的单调递减函数，且，故选：B3-4．（2024·山东）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.【详解】当时，，所以在上递减，是偶函数，所以在上递增.注意到，所以B选项符合.故选：B3-5．（2024高一上·福建福州·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先由指数函数的图象判断出，进而分析出二次函数的图象与轴的两个交点，即可解出.【详解】由指数函数的图象可知：.令，解得，则，对应只有B选项符合题意.故选：B3-6．（2024·四川）函数的图象关于直线对称的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出函数的图象，再结合对称性可得合适的选项.【详解】函数的图象可视为将函数的图象向上平移个单位，所以，函数的图象如下图所示：所以，函数的图象关于直线对称的函数的图象如A选项中的图象.故选：A.3-7．（2024高一·广东河源·期中）若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是.【答案】【分析】就的取值分类讨论后可得a的取值范围.【详解】直线与的图象有两个公共点，故有两个不同的解，故和共有两个不同的解，因为，故有且只有一个实数解.若，则，故无解，而只有一个解，故有且只有一个实数解，与题设矛盾，舍；若，因为只有一个解，故需有一解，故，故.故答案为：.题型4：指数函数单调性及应用4-1．（2024·江苏）不等式的解集为.【答案】【详解】试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到未知数的范围．,是一个递增函数；故答案为.考点：指数函数的单调性和特殊性4-2．（2024高一·上海·专题练习）不等式的解集为．【答案】【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性求解不等式作答.【详解】函数在R上单调递增，则，即，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：4-3．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为【答案】【解析】函数定义域是，求出的减区间即得．【详解】因为函数的单调递减区间为，所以原函数的单调递增区间为.故答案为：【点睛】本题考查复合函数的单调性，掌握复合函数单调性“同增异减”法则是解题关键．4-4．（2024高二下·宁夏银川·期末）若函数,则该函数在(-∞,+∞)上是A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值【答案】A【详解】本题考查函数的单调性及最值.设，则当时为增函数，且；于是为减函数，其图象如图所示：则故为减函数且；图象在轴上方，，所以原函数既无最小值，也无最大值.故正确答案为A.4-5．（2024·全国）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.4-6．（2024·全国）设函数则满足的x的取值范围是.【答案】【详解】由题意得：当时，恒成立，即；当时，恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.4-7．（2024·江西景德镇·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是．【答案】【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为，利用函数的单调性建立条件关系即可【详解】由函数性质知，，∴，即，解得，∴，故答案为：.（三）指数函数中的恒成立问题已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型5：指数函数中的恒成立问题5-1．（2024高一上·浙江·期中）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】设，将原不等式转化成恒成立，从而求出的范围．【详解】令，∵，∴，∵恒成立，∴恒成立，∵，当且仅当时，即时，表达式取得最小值，∴，故答案为．【点睛】本题考查与指数函数有关不等式的恒成立问题，可换元后转为含参数的一元二次不等式的恒成立问题，再利用参变分离可求参数的取值范围，此题需要学生有较好的逻辑分析能力，难度不大，属于基础题．5-2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】．【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可得答案.【详解】令因为在区间上是增函数，所以因此要使在区间上恒成立，应有，即所求实数m的取值范围为．故答案为：.5-3．（2024高三上·上海松江·期中）已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是．【答案】，，【分析】设，，则，对于，恒成立，问题转化为，于，恒成立，即，即可解得答案．【详解】设，，则，对于，恒成立，即，对于，恒成立，∴，即，解得或，即或，解得或，综上，的取值范围为，，．故答案为：，，﹒5-4．（2024高一上·上海宝山·阶段练习）设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】【分析】根据题意把不等式转化为即，结合函数的单调性和奇偶性，得到在上恒成立，根据二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由函数，均为在上的增函数，故函数是在上的单调递增函数，且满足，所以函数为奇函数，因为，即，可得恒成立，即在上恒成立，则满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.一、单选题1．（2024高三上·陕西西安·期中）若是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【详解】因为是指数函数，所以，解得.故选：C．2．（2024高三·山东·学业考试）函数是指数函数，则（

）A．或 B． C． D．且【答案】C【分析】由指数函数的定义可得，同时，且，从而可求出的值【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C3．（2024高三·全国·专题练习）当x>0时，函数的值总大于1，则实数a的取值范围是（）A．1<|a|<2 B．|a|<1 C．|a|> D．|a|<【答案】C【分析】根据x>0时，函数的值总大于1，求解.【详解】解：因为当x>0时，函数的值总大于1，所以，则，解得，故选：C.4．（2024高一上·福建福州·阶段练习）函数的定义域是

（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，再解指数不等式得结果.【详解】，解得，函数的定义域，故选：A.【点睛】本题考查函数定义域、解指数不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.5．（2024·甘肃兰州·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【详解】当时，，当时，，因为函数的值域为，所以，得，所以实数的取值范围是，故选：D.6．（2024高三上·湖北武汉·开学考试）设函数，函数的图像经过第一､三､四象限，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求得，化简得到，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由函数的的图像经过第一､三､四象限，可得，所以，又因为，所以的取值范围为.故选：A.7．（2024·江西）已知实数，满足等式，下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．其中不可能成立的关系式有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】先画出函数与的图象，再讨论时，的情况即可．【详解】解：画出函数与的图象，当时，的图象在的图象下方，当时，的图象在的图象上方，当，时，则，当时，成立，当，时，则，故③，④不成立.故选：B．8．（2024·北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.9．（2024·天津）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D10．（2024·安徽）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a【答案】A【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A考点：函数的单调性.11．（2024高二下·安徽宣城·阶段练习）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，，有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】函数的图象关于直线对称可得，再根据当时，单调递减可得答案.【详解】定义在上的函数的图象关于直线对称，所以，所以，因为当时，为单调递增函数，定义在上的函数的图象关于直线对称，所以当时，单调递减，因为，所以，即.故选：B.12．（2024·海南·模拟预测）不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，将不等式转化为，利用单调性可解.【详解】构造函数，易知函数在上为单调递增函数．因为不等式等价于，又，所以，所以由函数的单调性知，即，解得或，所以原不等式的解集为.故选：D13．（2024·全国）设函数，则满足的x的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.14．（2024·全国）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D15．（2024·北京）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．16．（2024·北京西城·三模）在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】A.利用正切函数的性质判断；B.利用绝对值函数的性质判断；C.利用指数函数的性质判断；D.利用二次函数的性质判断.【详解】解：A.的增区间为，在整个定义域上不单调，故错误；B.的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；C.在R上递增，故正确；D.的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；故选：C17．（2024高一·全国·课后作业）函数对于任意的实数、都有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由指数的运算性质得到，逐一核对四个选项即可得到结论.【详解】解：由函数，得，所以函数对于任意的实数、都有.故选：B.【点睛】本题考查了指数的运算性质，是基础题.18．（2024高一上·浙江温州·期中）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负.【详解】由图象可知，函数为减函数，从而有；法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，令，得，由，即，解得.法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，则，即.故选：D.19．（2024高一上·北京西城·期中）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．【详解】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且，，且．故选：．20．（2024高一上·全国·课后作业）若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的定义可得出，然后分、两种情况讨论，分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】因为函数为指数函数，所以.当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得或（舍）；当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得（舍）或（舍）.综上可知，.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用指数函数在区间上的最值求参数，解题的关键在于对指数函数的底数的取值范围进行分类讨论，结合函数的单调性得出等式求解.21．（2024·陕西西安·一模）已知实数a、b满足，则a、b的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定【答案】C【分析】构造函数，，结合指数函数和一次函数的单调性求解即可.【详解】设，，则，因为函数和在上都为增函数，所以函数在上为增函数，所以.故选：C.22．（2024·陕西）下了函数中，满足“”的单调递增函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据抽象函数定义一一代入分析即可.【详解】A选项：由，，得，所以A错误；B选项：由，，得；又函数是定义在上增函数，所以B正确；C选项：由，，得，所以C错误；D选项：函数是定义在上减函数，所以D错误；故选：B.23．（2024·全国）已知，则A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，且幂函数在上单调递增，所以b<a<c.故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.24．（2024高一上·云南楚雄·阶段练习）若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则有（

）A．f（2）<f(3)<g(0) B．g(0)<f(3)<f（2）C．f（2）<g(0)<f(3) D．g(0)<f（2）<f(3)【答案】D【分析】根据函数奇偶性得，进而得，从而利用函数的单调性及正负可比较大小.【详解】函数分别是上的奇函数、偶函数,，由，得，，，解方程组得，易知在上单调递增，所以，又所以.故选：D25．（2024高一上·吉林·）函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件令，再借助二次函数单调性结合复合函数单调性分类讨论作答.【详解】令，则原函数转化为，其图象的对称轴为直线，若，则在上单调递增，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得，与矛盾，若，则在上单调递减，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得或，则，所以实数a的取值范围是.故选：B26．（2024·河南平顶山·模拟预测）甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】令，则方程可化为，根据甲计算出常数，根据乙计算出常数，再将代入关于x的方程解出即可【详解】令，则方程可化为，甲写错了常数b，所以和是方程的两根，所以，乙写错了常数c，所以1和2是方程的两根，所以，则可得方程，解得，所以原方程的根是或故选：D27．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方程有解转化为有正根，即在有解，根据解出的范围．【详解】方程有解，有解，令，则可化为有正根，则在有解，又当时，所以，故选：．28．（2024·上海长宁·一模）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性和与轴的交点结合指数函数的性质可求解.【详解】若，为增函数，且，与图象不符，若，为减函数，且，与图象相符，所以，当时，，结合图象可知，此时，所，则，所以，故选:C.29．（2024高一上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（

）A．8 B．24 C．4 D．6【答案】C【分析】根据类指数函数的定点确定，从而代入并利用均值不等式即可得解.【详解】因为函数图象恒过定点又点A的坐标满足关于，的方程，所以，即所以，当且仅当即时取等号；所以的最小值为4．故选：C．30．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】确定函数的图象关于中心对称，在上单调递减，且，不等式转化为或或，解得答案.【详解】依题意，，，故，故函数的图象关于中心对称，当时，，，单调递减，故在上单调递减，且，函数的图象关于中心对称，在上单调递减，，而，故或或，解得或，故所求不等式的解集为，故选：B.31．（2024·全国）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.综上，.［方法二］：【最优解】（构造函数）由，可得．根据的形式构造函数，则，令，解得，由知.在上单调递增，所以，即，又因为，所以.故选：A.【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．二、多选题32．（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数是奇函数，函数为偶函数，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据给定条件，结合函数奇偶性定义，探讨出函数的周期，即可逐项分析判断作答.【详解】因为函数为偶函数，则，即，B正确；又函数是奇函数，则，因此，即有，于是，即函数的周期为4，有，C正确；因为是定义域为的奇函数，则，解得，A正确；当时，，所以，D错误．故选：ABC33．（2024高三上·广东深圳·阶段练习）已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，且．若，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】先判断出的周期，然后结合奇偶性、周期性、解析式求得正确答案.【详解】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，因为为偶函数，所以的图象关于直线对称．根据条件可知，则，即4为的一个周期，则，所以，所以C正确；又因为，所以解得或（舍去），所以A正确，B错误；所以当时，，所以，所以D正确．故选：ACD34．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据函数图象可得出、的取值范围，利用指数函数的基本性质可判断ACD选项，利用不等式的基本性质可判断B选项.【详解】由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，且当时，，可得.对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对.故选：ABD.35．（2024高三·全国·专题练习）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（）A．， B．的定义域为[0，1]C．的值域为[2，6] D．的值域为[2，20]【答案】ABC【分析】根据指数函数图像恒过定点求出m，n的值，根据的定义域求的定义域，再根据指数函数和二次函数的单调性，求出的值域.【详解】令，得，此时，所以函数的图象过定点，即，，故选项A正确；因为，，所以，，所以，由得，所以的定义域为[0，1]，故B正确；易知在[0，1]上单调递增，所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值6，所以的值域为[2，6]，故选项C正确，选项D错误．故选:ABC．36．（2024高一上·山东泰安·期末）函数的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给赋值，判断选项.【详解】当时，，图象A满足；当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点，此时，故C不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.37．（2024·浙江绍兴·模拟预测）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数，则（

）A．当，则这期间人口数呈下降趋势B．当，则这期间人口数呈摆动变化C．当时，的最小值为3D．当时，的最小值为3【答案】AC【分析】由指数函数的性质确定函数的增减性可判断A，B；分别代入和，解指数不等式可判断C，D.【详解】，由指数函数的性质可知：是关于n的单调递减函数，即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；，所以，所以，，所以的最小值为3，故C正确；，所以，所以，，所以的最小值为2，故D不正确；故选：AC.38．（2024·山东聊城·二模）已知函数，则（

）A．函数是增函数B．曲线关于对称C．函数的值域为D．曲线有且仅有两条斜率为的切线【答案】AB【分析】由可得是增函数，且对于任意，满足，所以关于对称，可得AB正确；利用指数函数值域易得函数的值域为，即C错误；令，整理可得，易知，可得，即方程无解，因此曲线不存在斜率为的切线，即D错误.【详解】根据题意可得，易知是减函数，所以是增函数，即A正确；由题意可得，所以，即对于任意，满足，所以关于对称，即B正确；由指数函数值域可得，所以，即，所以函数的值域为，所以C错误；易知，令，整理可得，令，即，易知，又因为，即，所以，即，因此；即关于的一元二次方程无实数根；所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，即D错误；故选：AB39．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A．-1 B． C． D．0【答案】BC【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围.【详解】由表示与点所成直线的斜率，又是在部分图象上的动点，图象如下：如上图，，则，只有B、C满足.故选：BC三、填空题40．（2024高三上·黑龙江七台河·期中）设函数，且，，则的解析式为．【答案】【分析】根据，求出，可得函数解析式.【详解】因为函数解析式为，则，则，由可得，，解得，所以.41．（2024·上海·模拟预测）已知，则的值域是；【答案】【分析】分段讨论的范围即可.【详解】当时,根据指数函数的图象与性质知，当时,.综上:的值域为.故答案为：.42．（2024·全国·模拟预测）使函数的值域为的一个a的值为．【答案】1（答案不唯一）【分析】由指数函数值域性质求解【详解】令，由题意得的值域为，又的值域为，所以，解得，所以的取值范围为．故答案为：.(答案不唯一)43．（2024·山东）已知函数的定义域和值域都是，则.【答案】【详解】若，则在上为增函数,所以，此方程组无解；若，则在上为减函数,所以，解得，所以.考点：指数函数的性质.44．（2024·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，则．【答案】【分析】由已知可得不等式的解集为，可知为方程的根，即可求得实数的值.【详解】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，当时，由，可得，解得，合乎题意.故答案为：.45．（2024高三·全国·对口高考）函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为．【答案】/【分析】根据指数函数图象的特点，求出点顶点，得到，再由，利用基本不等式即可求解.【详解】令，可得，此时，所以函数图象恒过定点，因为点A在直线上，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.综上，的最小值为.故答案为：.46．（2024高三·全国·专题练习）已知函数过定点，如果点是函数的顶点，那么的值分别为【答案】2，5【解析】根据指数函数特点，求出点；再根据题意，列出方程，则参数可求.【详解】（且）恒过点，所以（且）恒过点，又为的顶点，满足，解得故答案为：，.【点睛】本题考查指数型函数恒过定点的问题，涉及待定系数法求函数解析式.47．（2024高二下·河北石家庄·期中）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围为．【答案】[－1,1]【详解】画出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示由图象可得|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．48．（2024高三上·上海徐汇·开学考试）已知函数满足对于任意，都有成立，则的取值范围为【答案】【分析】根据为上的增函数可得实数的取值范围.【详解】因为对于任意，都有，故对任意的，总有即，故为上的增函数，所以，故.令，，它们的图象如图所示：

故的解为，故的解为.故答案为：.【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段处的点也具有相应的高低分布.49．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为【答案】【解析】先把函数可看成和复合而成，根据其单调性及复合函数“同增异减”法则即可得出的单调递减区间.【详解】解：函数可看成和复合而成.是减函数，在是递减，在上递增，∴根据复合函数“同增异减”法则知，的单调减区间为．故答案为：.【点睛】本题考查求复合函数的单调区间，关键是利用复合函数“同增异减”法则，属于基础题.50．（2024·福建）若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于．【答案】【详解】试题分析：根据可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于.考点：函数图像的对称性，函数的单调性.【方法点睛】该题根据题中的条件确定好函数本身的单调区间，根据函数在函数增区间的所有子区间上是增函数，从而求得参数的取值范围，关键是根据条件，得出函数图像的对称性，确定出函数图像的对称轴，从而得到函数的增区间，从而根据集合间的包含关系，从而确定出参数的取值范围.51．（2024·江苏）若，则．【答案】-1【分析】先得到，即，结合的单调性得到，从而求出答案.【详解】因为，，所以，因为单调递增，故，因为，所以故答案为：-152．（2024·山东）若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝.【答案】【详解】当时，有，此时，此时为减函数，不合题意.若，则，故，检验知符合题意53．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为.【答案】【分析】由题意结合分母不为0、偶次方根的被开方数非负可得，解指数不等式即可得解.【详解】若要使函数有意义，则即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数定义域的求解，考查了指数不等式的求解及运算求解能力，属于基础题.54．（2024·上海杨浦·模拟预测）若函数为偶函数，且当时，，则.【答案】/【分析】利用偶函数的定义即可求解.【详解】当时，，所以，又因为为偶函数，所以．故答案为：.55．（2024·上海金山·一模）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是.【答案】或【分析】根据指数函数的性质以及单调性，即可得到关于的不等式，求解不等式即可得到结果.【详解】由已知可得，且.又时，，即，所以有，即，解得或.故答案为：或.56．（2024高三上·山西运城·阶段练习）已知函数是奇函数，则.【答案】【分析】根据奇函数的定义得出，代入化简得出，即可得出答案.【详解】因为，故，因为为奇函数，故，即，故.故答案为：.57．（2024高一上·重庆渝中·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.（用区间或集合作答）【答案】/【分析】由已知及指数的性质可得，即可求的定义域.【详解】由题设，，可得，