2021年人教版九年级数学上《第24章圆》单元测试含答案解析

2021年人教版九年级数学上《第24章圆》单元测试含答

案解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列说法正确的是（）

A.三点确定一■"Is•圆

B.一个三角形只有一个外接圆

C.和半径垂直的直线是圆的切线

D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等

2.如图，00的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=0B,ZA0C=84°,则NE等于（）

3.已知如图，AB是。。的直径，弦CD_LAB于E,CD=6,AE=1,则。。的直径为（）

4.如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM±CD交AB于点M,CN±CD交AB于点N.AB=10,CD=6.则

A.等于24B.最小为24c.等于48D.最大为48

5.如图，在半径为5的。。中，弦AB=6,0P±AB,垂足为点P,则0P的长为（）

o

A.3B.2.5C.4D.3.5

6.如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，假如输水管的半径为5cm,水面宽AB

为8cm,则水的最大深度CD为（）

7.图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时动身，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿

ADA,、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）

A.甲先到B点B.乙先到B点C.甲、乙同时到BD,无法确定

8.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm,则油的最

大深度为（）

A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm

9.如图，AB是。。的直径，四边形ABCD内接于。0,若BC=CD=DA=4cm,则。。的周长为（）

O

A.5ncmB.6ncmC.9ncmD.8ncm

10.如图，AB是。0的弦,点C在圆上，已知N0BA=40°,则NC=（)

A.40°B.50°C.60°D.80°

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在。。中，弦AB〃CD,若NABC=40°,则NB0D=

12.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、

B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范畴是.

13.如图，已知NB0A=30°,M为0B边上一点，以M为圆心、2cm为半径作。M.点M在射线0B上

运动，当0M=5cm时，0M与直线0A的位置关系是.

O

14.如图，正方形ABCD内接于。0,其边长为4,则。。的内接正三角形EFG的边长为

15.已知扇形的半径为6cm,圆心角的度数为120°,则此扇形的弧长为cm.

16.如图，半圆0的直径AB=2,弦CD〃AB,ZC0D=90°,则图中阴影部分的面积为

三、解答题（共8题，共72分）

17.圆锥底面圆的半径为3m,其侧面展开图是半圆，求圆锥母线长.

18.在一个底面直径为5cm,高为18cm的圆柱形瓶内装满水,再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm,

高是10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.

19.如图，AB和CD分别是。0上的两条弦，过点0分别作0N±CD于点N,0M±AB于点M,若0N=^AB,

证明：0M=±CD.

20.如图为桥洞的形状，其正视图是由面和矩形ABCD构成.0点为&所在。。的圆心，点0又恰好

在AB为水面处.若桥洞跨度CD为8米，拱高（0E,弦CD于点F）EF为2米.求而所在。。的半

径D0.

21.AABC是。。的内接三角形，BC—/W如图，若AC是。。的直径，NBAC=60°,延长BA到点D,

使得DA=/fiA,过点D作直线l_LBD,垂足为点D,请将图形补充完整，判定直线I和。。的位置关

系并说明理由.

22.如图直角坐标系中，已知A(-8,0),B(0,6),点M在线段AB上.

(1)如图1,假如点M是线段AB的中点，且。M的半径为4,试判定直线0B与。M的位置关系，并

说明理由；

(2)如图2,0M与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F,试求出点M的坐标.

23.已知等边三角形ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DFJ_AC,垂足为

F,过点F作FGLAB,垂足为G,连接GD,

(1)求证：DF与。0的位置关系并证明；

(2)求FG的长.

24.如图，等边AABC的边长为2,E是边BC上的动点，EF〃AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,

使PE=EB,连接FP.

(1)请直截了当写出图中与线段EF相等的两条线段；(不再另外添加辅助线)

(2)探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判定四边形EFPC是什么专门的平

行四边形，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，依照。E与平行四边形EFPC四条边交点的

总个数，求相应的r的取值范畴.

《第24章圆》

参考答案与试题解析

一'选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列说法正确的是（）

A.三点确定一个圆

B.一个三角形只有一个外接圆

C.和半径垂直的直线是圆的切线

D.三角形的内心到三角形三个顶点距离相等

【考点】圆的认识.

【分析】依照确定圆的条件对A、B进行判定；依照切线的判定定理对C进行判定；依照三角形内心

的性质对D进行判定.

【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆，因此A选项错误；

B、一个三角形只有一个外接圆，因此B选项正确；

C、过半径的外端与半径垂直的直线是圆的切线，因此C选项错误；

D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，因此D选项错误.

故选B.

【点评】本题考查了圆的认识：把握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、

等圆、等弧等）.也考查了确定圆的条件和切线的判定.

2.如图，。0的直径AB与弦CD的延长线交于点E,若DE=0B,NA0C=84°,则NE等于（）

【考点】圆的认识；等腰三角形的性质.

【专题】运算题.

【分析】利用半径相等得到DO=DE,则NE=NDOE,依照三角形外角性质得NkNDOE+NE,因此N

1=2NE,同理得到NA0C=NC+NE=3NE,然后利用NEqNAOC进行运算即可.

【解答】解：连结0D,如图，

•/OB=DE,OB=OD,

二•DO=DE,

ZE=ZD0E,

,/N1=NDOE+NE,

Z1=2ZE,

而OC=OD,

・•・ZC=Z1,

/.ZC=2ZE,

ZA0C=ZC+ZE=3ZE,

ZE=—ZAOC—X84°=28°.

33

故选B.

【点评】本题考查了圆的认识：把握与圆有关的概念（弦、直径'半径'弧'半圆、优弧'劣弧、

等圆、等弧等）.也考查了等腰三角形的性质.

3.已知如图，AB是。。的直径，弦CD_LAB于E,CD=6,AE=1,则。。的直径为（）

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】连接0C,依照题意OE=OC-1,CE=3,结合勾股定理，可求出0C的长度，即可求出直径的

长度.

【解答】解：连接0C,

•.•弦CD_LAB于E,CD=6,AE=1,

.,.0E=0C-1,CE=3,

.-.0C2=(OC-1)2+32,

.,.0C=5,

.'.AB=10.

【点评】本题要紧考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接0C,构建直角三角形，依照勾

股定理求半径0C的长度.

4.如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM±CD交AB于点M,CN±CD交AB于点N.AB=1O,CD=6.则

A.等于24B.最小为24c.等于48D.最大为48

【考点】垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理.

【分析】过圆心0作OE±CD于点E,则0E平分CD,在直角^ODE中利用勾股定理即可求得0E的长,

即梯形DMNC的中位线，依照梯形的面积等于OE.CD即可求得.

【解答】解：过圆心0作0ELCD于点E,

连接0D.则DE=LD=LX6=3.

22

在直角aODE中,OD=4^B曰X10=5,

°WoD2-DE^VB2-

则S四边形DMNR°E・CD=4X6=24.

故选A

【点评】本题考查了梯形的中位线以及垂径定理，正确作出辅助线是关键.

5.如图，在半径为5的。。中，弦AB=6,OP±AB,垂足为点P,则OP的长为（）

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】连接0A,依照垂径定理得到AP=》\B,利用勾股定理得到答案.

【解答】解：连接0A,

VAB±0P,

••.AP=yAB^-X6F3,ZAP0=90°,又0A=5,

OP=j0A2一研:正-3^4,

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，把握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键.

6.如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，假如输水管的半径为5cm,水面宽AB

为8cm,则水的最大深度CD为（）

B

D

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

【考点】垂径定理的应用；勾股定理.

【分析】依照题意可得出A0=5cm,AC=4cm,进而得出CO的长，即可得出答案.

【解答】解：如图所示：••・输水管的半径为5cm,水面宽AB为8cm,水的最大深度为CD,

.-.D0±AB,

,•A0=5cm,AC=4cm,

CO=yj52-42=3(cm),

二水的最大深度CD为：2cm.

故选：C.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，依照构造出直角三角形是解答此题的关键.

7.图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时动身，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿

ADA-A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是()

A

AA2A3B

A.甲先到B点B.乙先到B点C.甲、乙同时到BD,无法确定

【考点】圆的认识.

【专题】应用题.

【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是gn(AA.+A^^AA+AJB)=lnXAB,因

此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B点.

【解答】解：yn(AA,+A也+A2A3+A3B)=ynXAB,因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大

半圆的弧长相等，

因此两个同时到B点.

故选C.

【点评】本题考查了圆的认识，要紧把握弧长的运算公式.

8.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm,则油的最

大深度为（）

―160->

A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm

【考点】垂径定理的应用；勾股定理.

【分析】连接0A,过点0作0ELAB,交AB于点M,由垂径定理求出AM的长，再依照勾股定理求出

0M的长，进而可得出ME的长.

【解答】解：连接0A,过点0作0ELAB,交AB于点M,

；直径为200cm,AB=160cm,

.■.OA=OE=100cm,AM=80cm,

•'-OM=7OA2-AMMIOO2-802=60cm-

.'.ME=OE-0M=100-60=40cm.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，依照题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关

键.

9.如图，AB是。。的直径，四边形ABCD内接于。0,若BC=CD=DA=4cm,则。。的周长为（）

A.5ncmB.6ncmC.9ncmD.8ncm

【考点】圆心角、弧、弦的关系；等边三角形的判定与性质.

【分析】如图，连接0D、00.依照圆心角、弧、弦的关系证得AAOD是等边三角形，则。。的半径

长为BC=4cm；然后由圆的周长公式进行运算.

【解答】解：如图，连接0D、00.

,.'AB是00的直径，四边形ABCD内接于。0,若BC=CD=DA=4cm,

AD=CD=BC-

ZAOD=NDOC=NB0C=60".

又OA=OD,

.•.△AOD是等边三角形，

.'.0A=AD=4cm,

的周长=2X4n=8n(cm).

故选：D.

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定.该题利用“有一内角是60度的等

腰三角形为等边三角形”证得aAOD是等边三角形.

10.如图，AB是。0的弦，点C在圆上，已知N0BA=40°,则NC=()

【考点】圆周角定理.

【分析】第一依照等边对等角即可求得N0AB的度数，然后依照三角形的内角和定理求得NA0B的度

数，再依照圆周角定理即可求解.

【解答】解：；OA=OB,

Z0AB=Z0BA=40°,

ZA0B=180°-40°-40°=100°.

ZC=—ZAOB=-X100°=50°.

22

故选B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质定理以及圆周角定理，正确明白得定理是关键.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.如图，在00中，弦AB〃CD,若NABC=40°,则NB0D=80°.

------7

【考点】圆周角定理；平行线的性质.

【分析】依照平行线的性质由AB〃CD得到NC=NABC=40°,然后依照圆周角定理求解.

【解答】解：：AB〃CD,

NC=NABC=40°,

ZB0D=2ZC=80°.

故答案为80°.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的

圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半.也考查了平行线的性质.

12.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、

B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范畴是3<r<5

【考点】点与圆的位置关系.

【分析】要确定点与圆的位置关系，要紧依照点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判定.当d

>「时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内.

【解答】解：在直角4ABD中，CD=AB=4,AD=3,

则22=5

BD=A/3+4-

由图可知3VrV5.

故答案为：3<r<5.

【点评】此题要紧考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理,

及点与圆的位置关系.

13.如图，已知NB0A=30°,M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径作。M.点M在射线0B上

运动，当0M=5cm时，OM与直线0A的位置关系是相离.

0^--------------A

【考点】直线与圆的位置关系.

【专题】常规题型.

【分析】作MHL0A于H,如图，依照含30度的直角三角形三边的关系得到得，则MH大于

OM的半径，然后依照直线与圆的位置关系的判定方法求解.

【解答】解：作MHL0A于H,如图，

在RtZkOMH中,ZH0M=30°,

,rOM的半径为2,

•..OM与直线0A的位置关系是相离.

故答案为相离.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设。。的半径为r,圆心0到直线I的距离为d,直线I

和。0相交QdVr；直线I和。0相切=d=r；直线I和。0相离=d>r.

14.如图，正方形ABCD内接于。0,其边长为4,则。。的内接正三角形EFG的边长为2灰.

【考点】正多边形和圆.

【分析】连接AC、OE、OF,作OM_LEF于M,先求出圆的半径，在RT4OEM中利用30度角的性质即

可解决问题.

【解答】解；连接AC、0E、OF,作OMJ_EF于M,

,•・四边形ABCD是正方形，

.,.AB=BC=4,ZABC=90°,

••.AC是直径，AC=4点,

.•.0E=0F=2&,•..OM_LEF,

.,.EM=MF,

,••△EFG是等边三角形，

NGEF=60°,

在RTZ^OME中，；0E=2&,NOEM弓NGEF=30°,

EM=J^OM=灰，

，EF=2遍.

故答案为2遍.

【点评】本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键

是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型.

15.已知扇形的半径为6cm,圆心角的度数为120。，则此扇形的弧长为4ncm.

【考点】弧长的运算.

【分析】在半径是R的圆中，因为360。的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2nR,因此n。圆心

角所对的弧长为l=nnR4-180.

【解答】解：；扇形的半径为6cm,圆心角的度数为120。，

••・扇形的弧长为：12。；*二6=4”一；

故答案为：4n.

【点评】本题考查了弧长的运算.解答该题需熟记弧长的公式鬻.

180

16.如图，半圆0的直径AB=2,弦CD〃AB,ZC0D=90°,则图中阴影部分的面积为一.

4-

【考点】扇形面积的运算.

【分析】由CD〃AB可知，点A、0到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出

SAACD=SAOCO,进而得出s阴影二S扇形COD，依照扇形的面积公式即可得出结论.

【解答】解：..•弦CD〃AB,

=

SAACDS△oco»

•.,sS阴影-_Ss扇形c。。_-丽ZCL0D・.n・f,AyB,)2_-丽90°『XnXx

jr

故答案为：T.

【点评】本题考查了扇形面积的运算以及平行线的性质，解题的关键是找出S阴影=s用形皿.本题属于

基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键.

三'解答题（共8题，共72分）

17.圆锥底面圆的半径为3m,其侧面展开图是半圆，求圆锥母线长.

【考点】圆锥的运算.

【分析】侧面展开后得到一个半圆确实是底面圆的周长.依此列出方程即可.

【解答】解：设母线长为x,依照题意得

2nx-r2=2nX3,

解得x=6.

故圆锥的母线长为6m.

【点评】本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长那个知识点.

18.在一个底面直径为5cm,高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm,

高是10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离.

【考点】圆柱的运算.

【专题】运算题.

【分析】设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm,高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm,

2.x=n.(1-)2.电解得x=12.5,然后把12.5

依照水的体积不变和圆柱的条件公式得到n・

与10进行大小比较即可判定能否完全装下.

【解答】解：设将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm,高是10cm的圆柱形玻璃杯中时，水面高为xcm,

依照题意得n.(1)2.x=n・字2・18

解得x=12.5,

,.-12.5>10,

•..不能完全装下.

【点评】本题考查了圆柱：圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形

的长；圆柱的侧面积=底面圆的周长X高；圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积；圆柱的体积=底面

积X高.

19.如图，AB和CD分别是。0上的两条弦，过点0分别作0N±CD于点N,0M±AB于点M,若0N=}\B,

【考点】垂径定理；全等三角形的判定与性质.

【专题】证明题.

【分析】设圆的半径是r,ON=x,则AB=2x,在直角△CON中利用勾股定理即可求得CN的长，然后

依照垂径定理求得CD的长，然后在直角^OAM中，利用勾股定理求得0M的长，即可证得.

【解答】证明：设圆的半径是r,0N=x,则AB=2x,

在直角△CON中，CNROC2-0N，/r2-x'、

-.'ON±CD,

.,.CD=2CN=2Ayr2_x2）

•「OMJLAB,

.,.AM=—AB=x,

2

在.AOM中，0M=/。人2-AM'Yr。-X?,

.,.OM=.|oD.

【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的运算的问题，常把半

弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解.

20.如图为桥洞的形状，其正视图是由面和矩形ABCD构成.0点为向所在。0的圆心，点0又恰好

在AB为水面处.若桥洞跨度CD为8米，拱高（0E,弦CD于点F）EF为2米.求方所在。。的半

径D0.

【考点】垂径定理的应用；矩形的性质.

【分析】先依照垂径定理求出DF的长，再由勾股定理即可得出结论.

【解答】解：•••OE_L弦CD于点F,CD为8米，EF为2米,

...E0垂直平分CD,DF=4m,FO=DO-2,

在Rtz^DFO中，DO2=FO2+DF2,则D0?=(DO-2)2+42,解得：D0=5；

答：&所在。。的半径DO为5m.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，此类题中一样使用列方程的方法，这种用代数方法解决几

何问题即几何代数解的数学思想方法一定要把握.

21.△ABC是。。的内接三角形，BC=«.如图，若AC是。。的直径，ZBAC=60°,延长BA到点D,

使得DA=^BA,过点D作直线l_LBD,垂足为点D,请将图形补充完整，判定直线I和。。的位置关

系并说明理由.

【考点】直线与圆的位置关系.

【分析】作0F±I于F,CE_LI于E,设AD=a,则AB=2AD=2a,只要证明OF是梯形ADEC的中位线即

可解决问题.

【解答】解：图形如图所示，直线I与。0相切.

理由：作OF_LI于F,CE±I于E,

.「AC是直径,

ZABC=90°,

VI±BD,

ZBDE=90°,

V0F±I,CE±I,

・・・AD〃OF〃CE,

•/AO=OC,

/.DF=FE,

.,.0F=—(AD+CE),

2

设AD=a,则AB=2AD=2a,

NABC=NBDE=NCED=90°,

二四边形BDEC是矩形，

*'•GE—BD--3a,

「•OF=2a,

;在Rtz^ABC中，NABC=90°,ZACB=30°,AB=2a,

.'.AC=4a,

/.0F=0A=2a,

二直线I是。0切线.

【点评】本题考查直线与圆的位置关系、图形中位线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，要

证明切线的方法有两种，一是连半径，证垂直，二是作垂直，正半径，此题则是运用第二种方法.

22.如图直角坐标系中，已知A(-8,0),B(0,6),点M在线段AB上.

(1)如图1,假如点M是线段AB的中点，且。M的半径为4,试判定直线0B与。M的位置关系，并

说明理由；

(2)如图2,OM与x轴、y轴都相切，切点分别是点E、F,试求出点M的坐标.

【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质.

【分析】(D设线段0B的中点为D,连结MD,依照三角形的中位线求出MD,依照直线和圆的位置

关系得出即可；

(2)求出过点A、B的一次函数关系式是y=?x+6,设M(a,-a),把x=a,y=-a代入y=?x+6

44

得出关于a的方程，求出即可.

【解答】解：(1)直线0B与。M相切，

理由：设线段0B的中点为D,连结MD,如图1,

,•.点M是线段AB的中点，因此MD〃AO,MD=4.

ZA0B=ZMDB=90°,

.•.MD±OB,点D在。M上，

又•..点D在直线OB上，

直线0B与。M相切；

二•设直线AB的解析式是y=kx+b,

.[0=-8k+b

"l6=b'

解得：卜二|"，b=6,

4

即直线AB的函数关系式是y=?x+6,

4

••,0M与x轴、y轴都相切,

，点M到x轴、y轴的距离都相等,即ME=MF,

设M(a,-a)(-8<a<0),

把x=a,y=-a代入y=;x+6,

4

得-a=3a+6,得

47

.••点M的坐标为(-早，早).

【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用

知识点进行推理和运确实是解此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知。。的半径为r,

圆心0到直线I的距离是，当d=r时，直线I和。0相切.

23.已知等边三角形ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DFLAC,垂足为

F,过点F作FGLAB,垂足为G,连接GD,

(1)求证：DF与。0的位置关系并证明；

(2)求FG的长.

【考点】直线与圆的位置关系；等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理.

【分析】(1)连接0D,证N0DF=90°即可.

(2)利用4ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用aFHC中的60°的三角函数值可求

得FG长.

【解答】(1)证明：连接0D,

,•.以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D,

ZB=ZC