2021届人教a版 平面向量 单元测试

平面向量

一、单选题

1.已知向量。=（sin。,一2）,向量。=（l,cos。），且汗_|_6，则tan。的值为（）

11

A.2B.—2C.—D,----

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的垂直关系求得数量积为。，由同角三角函数关系即可求得正切值.

【详解】

由题：向量不=（sinO,-2）,向量B=（l,cos。），且

=0,即sin6-2cos。=0，

若cos8=0则sin。=0,与sin?。+cos2，=1矛盾；

所以cos。。。，sin6=2cos。，

tan6=2.

故选：A

【点睛】

此题考查根据向量垂直关系的坐标表示建立等量关系，根据同角三角函数的基本关系求

正切值，需要熟练掌握向量数量积的运算.

2.函数yutaMqx-1）的部分图象如图所示，贝!］（»+砺）.存=（）

A.-6B.6C.-4D.4

【答案】B

【解析】

乳左、nR

（-X--l=ow：二x=4Jk+2AeZ,由图象知当

左=0时，x=2.X2,0）,O4=（2,0）,由tan（；x—g）=l得：

jrjrjr

-x--=kf[+-,:.x=4k+3,keZ,：.当左=0时，x=3.

424

"GD,砺=（3,1）,二伊+珂石=@+砺卜（砺-oZ）=O51-cS1=6,故

选B.

考点：正切函数的图象与性质，平面向量的数量积运算.

【方法点晴】本题给出了正切函数yutaMqx-1）图象上的4》两点的纵坐标，先通

过三角求值解决43两点的横坐标坐标，其策略就是为无赋值，也就求得了丽0后的

坐标；最后求（由+函-存的值时可以先分别求出（01+砺），而坐标，也可以利用

平面向量的线性运算把向量而化成砺再来计算.

3.已知同=1,网=8,a-（b-a）=-5,则向量£与方向量的夹角是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

由7(石一£)=一5可知£.石=_4，再根据cos(a,ah

rnri，求解即可.

ITH

【详解】

'：a-\b-a\-a-b-\a\-a-b-\a\-ab-l=-5

：.ah--4

•..(a®€[0,%]

故选：A

【点睛】

本题考查平面向量的夹角问题，属于较易题.

4.如图，在正六边形48coEf中，反=()

A.2EF-3CAB.3EF-2CAC.2EF-5CAD.5EF-2CA

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量加、减法的定义及正六边形的性质计算可得.

【详解】

解：依题意，EC=EF+FA+AC=EF+FA-CA>

FA=DC=DA+AC=2EF-CA>故反=3而-2京

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的线性运算及几何意义，属于基础题.

5.已知向量万=(一1,1)出=(2,-3),则%—日等于()

A.(4,-5)B.(-4,5)C.(0,-1)D.(0,1)

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用坐标求解即可.

【详解】

由。=(一1,1)石=(2,—3),可得2M=(-2,2),

所以2。-5=(-4,5)

故答案：B.

【点睛】

本题主要考查了向量的坐标表示，属于基础题.

6.在直角梯形ABCD中，AB±AD,DC||AB,AD=DC=2,AB=4,E、F分

别为AB、BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P(如图所示).若

AP=AAF+^IE15,其中，X、|IGR,则入一口的值是()

、V2B.£13

A.----c.D.-

444

【答案】A

【解析】

【分析】

本题由已知可得而+也而、/屈

Q=9Z=3启丽=亚一亚，结合题

2222

目所给出的福=/1万：+〃而，即可求出入、卜i值，最后得出答案.

【详解】

因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P,所以Q=注通+注赤

22

因为在直角梯形ABCD中，AB±AD,DC||AB,AD=DC=2,AB=4,E、F

分别为AB、BC的中点，

故/=砺+而=丽+工沅:

=AB+-ED=E+-AD,ED=AD-AE,

2222

工一30>/2

--A-LIA=

22一行F)

若衣=如，+从而,则<，解得；，故人一〃=注，故选A.

也_一也4

,T-

【点睛】

本题考查的知识点是平面向量的基本定理，考查平面向量的运算法则，考查数形结合思

想以及化归思想，锻炼了学生的推理能力，难度中档.

7.已知向量于(1,2),fe=(x,4),若向量a〃b，则x=()

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】A

【解析】解：；向量W=(1,2),b=(x,4),向量W〃E，则4-2x=0,x=2,

故选A.

【点评】本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到4-2x=0,是

解题的关键.

8.已知直线or+Ay+c=0与圆。：％2+y2=i相交于A,口两点，且则

况在。月上的投影为()

114

A.一一B.-C.一一D.0

223

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，由余弦定理求出cosNAOB的值，进而由数量积的计算公式计算可得答案.

【详解】

根据题意，圆0：/+y2=i的圆心为(o,0),半径r=|o4|=Q却=1,

又由|钻|=百,

|QAF1+1-3]_

则cosZAOB=

2|OA||OB|2x1x12

则方在丽上的投影为：I。川cosNAO8=-g

故选：A.

【点睛】

本题考查向量数量积的计算，涉及余弦定理的应用，属于基础题.

9.已知通=(—3,—2),AC=(^,1),|BC|=3,则明.蔗=()

A.7B.-7C.15D.-15

【答案】B

【解析】

【分析】

UliUUU1

先根据BC=3计算出m的值，再计算BA-AC

【详解】

UUllUUIU

因为A6=(—3,—2),AC=(〃?,1)

UUUlUUUlLILUlUI®I------；---

所以8C=AC_AB=(〃z+3,3)，即BC=J(m+3)一+9=3=加=-3

UliUUIU

所以胡=(3,2),AC=(-3,1)

UUUUIU

BA-AC=-9+2=-1

故选B.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算，属于基础题.

10.设0,分别为AABC的三边8C,C4,AB的中点，则丽+定=

'1>1—*------

A.ADB.-ADC.-BCD.BC

22

【答案】A

【解析】

试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在MEF中，

EB=EF+FB=EF+-AB，同理FC=FE+EC=FE+-AC,则

22

£B+FC=(£F+-AB)+(FE+-AC)=(-AB+-AC)=-(AB+AC)=AD

22222.

考点：向量的运算

11.若O是AABC所在平面内一点，且满足lG-6i：l=lo^+oi：-2o\l，则AABC一定

是

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】试题分析：根据题意有|砺-无卜|砺—函+无—万|，即

\AB+AC\^[AB-A^,从而得到AQ，ad,所以三角形为直角三角形，故选B.

考点：向量的加减运算，向量垂直的条件，三角形形状的判断.

12.在△ABC中，D、E,F分另UBC、CA、AB的中点，点M是△ABC的重心，贝!]

讼+丽—砒等于（）

A.QB.4MDC.4M£D.4斯

【答案】D

【解析】

试题分析：如图，根据三角形重心的性质，有加+而+碇=。

故必+话—砒=—2祝=4砺，选D

考点：三角形性质，平面向量运算

二、填空题

13.平面向量出石的夹角为120。，若问=2,恸=1,则忖―3可=

【答案】719

【解析】

【分析】

先计算的值，由此得出归-3）的值.

【详解】

由于卜-3闸=a-6ab+9b=4-12x^-^+9=19,故卜一34=5/1"^.

【点睛】

本小题主要考查向量的模的运算，考查向量数量积的计算，属于基础题.

14.若|。|=2sinl5°,|bI=4cosl5°,乙与B的夹角为30°，则必5的值是_

【答案】石.

【解析】

试题分析：ab=|a|-|/?|cos30°=2sin15-4cos15-cos30°=2sin60°=G

考点：平面向量数量积的运算和倍角的正弦公式.

15.在平面四边形ABCO中，对角线AC,8。相交于点。，AC=4,BD=3,

N4OB=60。，若4万36=2，则而•反=.

【答案】-4

【解析】

【分析】

根据向量的数量积运算即可容易求得结果.

【详解】

由题可知：AC-BD=|AC|x|B£）|XCOSZAOB=6.

因为/.诙=（通+配）•（品+前）

=ABBC+ABCD+BC2+BCCD

=ABBC+ABCD+BC[BC+CD）

=ABBC+ABCD+BCBD

^BC（AB+BD）+ABCD

^BCAD+ABCD

=BCAD-ABDC

ACBD=6=BCAD-ABDC>

又因为而•觉=2，

故可得福•反=-4.

故答案为：-4.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算，属基础题.

16.已知£=（1,一1）,忖=夜,£，3,则石=.

【答案】（LD或

【解析】

【分析】

设出坂的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得

【详解】

1fx—y=0fx=1fx=—1

设6=(X,y),有｛r2c，解得1,或〈,■

x+y=21y=i[y=-i

故(1,1)或(T-D

故答案为：(1,1)或(-1,-1)

【点睛】

本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.

三、解答题

17.已知发=(2,1),05=(1,7),反=(5,1),若丽=x砺，f(x)=DBDC

(x,yeR).

(1)求函数y=/(x)的解析式；

/(x)-4

(2)求函数g(x)=1在条件下的最小值；

J-

X

(3)把y=/(x)的图像按向量少=(一2,8)平移得到曲线。，过坐标原点。作。W、

ON分别交曲线。于点M、N,直线MN交轴于点Q(0,%)，当NMON为锐角时,

求光的取值范围.

【答案】(1)/(X)=5X2-20X+12；(2)4后；(3)(F,0)U(g,+8).

【解析】

【分析】

(1)根据向量数量积的坐标公式即可求y=/(x)的解析式；

(2)通过矩阵的计算公式，求出g(x)的表达式，然后利用基本不等式求最值即可；

(3)根据向量平移关系即可求出曲线C的解析式，设M(利根据

NMQV为锐角时，建立不等式关系进行求解即可.

【详解】

解：(1),/0D=x-0A=(2x,%),D(2x,x),

•.•丽=(1,7),近=(5,1),

.-.B=(1,7),C(5,1),

DB=(1—2x,7—x),DC=(5—2x,1—x),

则/=丽•皮=(l-2x,7-％)<5-2%,1—幻=5/一20%+12,

即/(x)=5x2-20x+12；

(2)由已知得：

f(x)-4

=^-+20=5x-20+—+20=5x+—>2.5x--=4y/i5,

g(x)=

5-XXX\X

X

12即x=2芈e[1,2]时取到最小值,

当且仅当5x=一,

x

f(x)-4

函数g(x)=-1在1<XW2条件下的最小值为4处；

5-

x

(3)•.•y=/(x)=5x2_20x+12=5(x-2)2-8,

y=/(X)的图象按向量M=(-2,8)平移后得到曲线。为y=；

则直线施V的方程为'：5";=土？.,

5m-5/1m-n

令x=0,则y（）=-5加2,

若/MON为锐角,因为M,。,N不口J能共线，则0A/.ON=+25租2/>o,

/.mn<--L或〃切>0,

25

m-—>o,

5255

即y0<o或%>],

故儿的取值范围是（一8,0）口（1,+8）.

【点睛】

本题主要考查向量的数量积公式的应用，以及向量平移的关系，考查学生的运算能力.

18.已知A是抛物线丁=4x上的一点，以点A和点8（2,0）为直径两端点的圆。交直

线x=l于M,N两点，直线/与AB平行，且直线/交抛物线于P,。两点.

（1）求线段MN的长；

（2）若丽.丽=-3,且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线/的方

程.

【答案】（1）2；（2）直线/的方程为x=l或x=3.

【解析】

试题分析：（1）写出圆的方程，代入x=l,建立关于M,N点纵坐标的韦达定理，

IMNI=IVM-YNI-可求解.（2）设P（x”yJ,Q（x2，y2）由丽•的=-3,得

X|X2+y1y2=-3,则(y12)+yy.=_3,设直线消X,可解.

1612

、

(V2A

试题解析：（）设,%，圆。方程为（X-2）X*+y(yf)=°，

1AI4J

/

22

令X=],得y2_%y+-^---]=0，；♦+YN=No，VNiVN=---1'

MN2

\\=\yM-yN|=VUw+%)2-4%%=JVo-2.

（II）设直线/的方程为X=，*+〃，P（X1,yJ，。（马,月），则

x=my+n..

由｛2:消去工，得》-4加了—4〃二0,

:r=4x,

y+>2=4机，y]y2=-4»,

:丽.丽=—3,%々+乂％=-3,则("%)+_3,

1612

・'・/—4〃+3=0,解得〃=1或〃=3,

,、，1

当〃=1或”=3时，当8（2,0）到直线I的距离d=1—

•.•圆心C到直线I的距离等于直线x=1的距离，二2=I1o

8VI+w

2

y（）Q4C.A

又〃2彳一，消去“得稣2"°=64,求得为2=8,

为16

yL_

此时，，勿_42直线/的方程为x=3,

%

综上，直线/的方程为x=l或X=3.

19.已知长方形AOC。中，OA=3,OC=2,E为OC中点，尸为4。上一点，利用

向量知识判断当点P在什么位置时，NPED=45°.

【答案】点尸在靠近点A的40的三等分点处

【解析】

【分析】

把角NPEZ)看成向量而与丽的夹角，以。4、0(?为基底，用基底表示丽与丽,

再代入两向量的夹角公式即可解出.

【详解】

设。4=。、OC=b＞则2、B为表示平面的一组基底，

且|利=3,\b\=2,a±b'NPEO为向量而与加的夹角，

又。A//。/,可设。户=疝，;.E户=3a一比=/M-g5,

而ED=OD—OE=OC+O4—±OC=OA+-OC=M+—8.

222

/.EPED^(ta--b)-(a+-b)-ta2--b2=91,

224

IEP|=^(ta-^b)2=V9r+1.|ED|=^(5+1^)2=V10.

EPED9/-1A/2

/.cos/PED

\EP\-\ED\~

21

解得f=一或f=--(舍)

36

二点P在AO的一个3等分点时，ZPED=45°.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻

辑推理能力、运算求解能力，求解时注意坐标系的建立.

20.已知向量少=(1,1),b=(sin(x+—),sin(x--)),若函数/(x)=1-5+cosx+a

66

的最大值为1.

(1)求常数"的值；

(2)求使/(x)20成立的x的取值集合.

24

【答案】(1)a=-\(2)2k7r<x<2k7r+—,(kGZ)}

【解析】

【分析】

(1)利用平面向量的数量积的坐标表示，结合两角的和差的正弦公式，化简函数的解

析式，通过函数的最大值，可以求出常数。的值；

TTTT\

(2)由(1)得/(x)=2sin(x+^)—l,要使/(x)20成立，只需满足sin(x+")2彳即

662

可，根据正弦函数图象，可以求出X的取值集合.

【详解】

一-兀冗

解：f(x)=a-b+cosx+a=1-sin(x+—)+1-sin(x)+cosx+«

66

=sin(x+—)+sin(x--)+cosx-va=2sinxcos工+cosx+〃

666

=2sin(x+—)+tz

最大值=2+a,...。=一1

TT

(2)由⑴得f(x)=2sin(x+-)-1,要使/(x)20成立

6

TT\jrjrSTT

只需满足sin(x+—)>-即可，所以2br+上4x+上W2Z%+——(keZ)

62666

2乃

解得：2女"<x<2k兀H---(kwZ)

3

所以：满足/U)>0成立的X的取值集合{刀[2U<x<2k7T+—,(keZ)}

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及利用函数图象求正弦型不等式的解集，掌

握正弦的函数图象特征是解题的关键.

TT

21.已知向量庆=(sinB,l-cos3)，且与向量力二(1,0)的夹角为彳，其中A,3,C是

△A5C的内角.

⑴求角3的大小；

(2)求sinA+sinC的取值范围.

【答案】⑴去⑵[¥/]

【解析】

【分析】

sinB11

(1)利用平面向量夹角公式，可得■■/----"=不化简后解得cos8=-一，从而可

V2-2cosB22

得结果；(2)结合(1)sinA+sinC=sinA+sin1(—A),利用两角差的正弦公式

展开后，再由两角和的正弦公式化为sin(A+g],根据W<A+[<M，利用正弦函数