选择性必修第一册第2章 2.4　2.4.2　圆的一般方程

PAGE2.4.2圆的一般方程学习目标核心素养1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点)1.通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2.通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.(1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？(2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？这就是今天我们将要研究的问题．圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．其中圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，圆的半径为r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论①D2＋E2－4F＞0时表示圆．②D2＋E2－4F＝0时表示点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).③D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？[提示]A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． ()(2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系． ()(3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化． ()(4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件． ()[提示](1)×(2)×(3)√(4)√2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是()A．(1，＋∞) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1))C．(1，＋∞)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))) D．RA[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选A.]3．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则它的圆心坐标为________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))[圆的方程整理为x2＋y2＋x＋2y－10＝0，配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝eq\f(45,4)，所以圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).]4．过点(0,0)，(4,0)和(0,6)三点的圆的一般方程为________．x2＋y2－4x－6y＝0[三点构成的三角形为直角三角形，且圆心坐标为(2,3)，半径r＝eq\f(1,2)eq\r(42＋62)＝eq\r(13).∴方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13，一般方程为x2＋y2－4x－6y＝0.]圆的一般方程的认识【例1】(1)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．(2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长．①x2＋y2－4x＝0；②2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；③x2＋y2＋2ax＝0.(1)(－∞，1)[把方程配方得(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，由条件可知1－a＞0，即a＜1.](2)[解]①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2,0)，半径r＝2.②方程可变形为2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋2(y＋1)2＝－eq\f(23,8)，此方程无实数解．故方程不表示任何图形．③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.当a＝0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，|a|为半径的圆．判断方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，关键是将其配方eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(D2＋E2－4F,4)，最后转化为判断D2＋E2－4F的正负问题．[跟进训练]1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.[解](1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项，∴它不能表示圆．(3)∵方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4)∵方程2x2＋2y2－5x＝0化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))eq\s\up12(2)，∴它表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，0))为圆心，eq\f(5,4)为半径长的圆.求圆的一般方程【例2】已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解]法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，))∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.法二：∵kAB＝eq\f(4－3,1＋2)＝eq\f(1,3)，kAC＝eq\f(4＋5,1－4)＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝eq\f(1,2)|BC|＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．[跟进训练]2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq\r(2)，求圆的一般方程．[解]圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2. ①又∵半径长r＝eq\f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq\r(2)，∴D2＋E2＝20. ②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又∵圆心在第二象限，∴－eq\f(D,2)＜0，即D＞0.则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4.))故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.与圆有关的轨迹问题[探究问题]1．求轨迹方程与轨迹有什么区别？[提示]轨迹是一个图形，比如是直线、圆之类，而轨迹方程是这个图形的方程．2．已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？[提示]设M(x，y)，由题意有eq\r(x－82＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.【例3】点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．[思路探究](1)eq\x(设点P坐标)→eq\x(用P，A坐标表示点M坐标)→eq\x(求轨迹方程)(2)eq\x(设点N坐标)→eq\x(探求点N的几何条件)→eq\x(建方程)→eq\x(化简得轨迹方程)[解](1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为(2x－2,2y)．∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.1．在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程．[解]设T(x，y)．因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.当斜率存在时有kOT·kBT＝－1.即eq\f(y,x)×eq\f(y－1,x－1)＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0.当x＝0或1时点(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)也都在圆上．故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0.2．本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程．[解]设点E(x，y)，P(x0，y0)．∵B(1,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋1,2)，,y＝\f(y0＋1,2).))整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1，∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4，整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－eq\f(1,2)＝0.1．直接法求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)；(2)列出点M满足条件的集合；(3)用坐标表示上述条件，列出方程；(4)将上述方程化简；(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．2．代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)；(2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程；(3)用x，y表示x0，y0；(4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程；(5)化简方程为最简形式．1．求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.2．圆的方程的几种特殊情况一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)过原点x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上x2＋y2＋Dx＋F＝0(D2－4F＞0)圆心在y轴上x2＋y2＋Ey＋F＝0(E2－4F＞0)3.求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制．1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点 B．一个圆C．一条直线 D．不存在A[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]2．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是()A．m＜eq\f(1,2) B．m≤eq\f(1,2)C．m＜2 D．m≤2A[由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜eq\f(1,2)，故选A.]3．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k等于________．－2[由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2.]4．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中心M的轨迹方程是________．x2＋y2－4x＋2y＋1＝0[由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2,2y＋1)，由于P在圆上，∴(2x－2)2＋(2y