专题11浮力、阿基米德原理（含答案） 2024全国初中物理自主招生专题大揭秘

专题11浮力、阿基米德原理（含答案）2024全国初中物理自主招生专题大揭秘一．选择题（共5小题）1．如图所示，浸入某液体中的物体恰好悬浮。物体的上、下表面积分别为S1和S2，并且S1＜S2，此时物体下表面与上表面受到液体的压力差为ΔF．现用手将物体缓慢下压一段距离，松手后（）A．物体保持悬浮，因为ΔF不变 B．物体保持悬浮，但ΔF变大 C．物体将上浮，因为ΔF变大 D．物体将下沉，因为ΔF变小2．底面积不同的两个圆柱形容器，底部用一根粗细不计的管子相连通，管子中间有一阀门K，如图所示，K关闭，现向两容器中分别倒入质量相等的水和煤油，两个完全相同的小球分别放入两个容器中，打开阀门K，则液体将（）A．向左流 B．向右流 C．不动 D．都有可能3．如图所示，水平桌面上放置一底面积为S2的轻质圆柱形容器，容器足够深：在容器中放入底面积为S1，质量为m的圆柱形木块，在容器中缓慢加入水，当木块对容器底部的压力恰好为零时，容器对桌面的压力大小为（）A．S2mg/S1 B．（S2﹣S1）mg/S1 C．S1mg/（S2﹣S1） D．S2mg/（S2﹣S1）。4．如图所示完全相同的两根弹簧，下面挂两个质量相同，形状不同的实心铁块，其中甲是立方体，乙是球体。现将两个铁块完全浸没在某盐水溶液中。该溶液的密度随深度增加而均匀增加。待两铁块静止后，甲、乙两铁块受到的弹簧的拉力相比较（）A．甲比较大 B．乙比较大 C．一样大 D．无法确定5．一个底面积为300cm2的柱形薄壁水槽放在水平台面上，用原长为10cm的弹簧将上方开口的A杯与水槽底部相连，A杯为薄壁容器，重为4N，底面积为100cm2。向水槽中加水，当A杯浸入深度为8cm时，水面如图甲所示。若再向A杯中加水，当水槽液面恰好与A杯口相平时停止加水，如图乙所示，此时弹簧对A杯的作用力大小与甲图中弹簧对A杯的作用力大小相等。已知弹簧每受1N的拉力时弹簧伸长0.5cm，不计弹簧的重力、体积及其所受的浮力。下列说法正确的是（）①甲图中弹簧对A杯施加了竖直向下的拉力为4N②与甲图相比，乙图中A杯向下移动的距离为2cm，水面上升1cm③与甲图相比，乙图中水槽对桌面的压力增加了6N④乙图中，打开阀门B，待水静止后，水对槽底的压强为2200PaA．①② B．②③ C．①④ D．①③二．多选题（共2小题）（多选）6．金属箔是由密度大于水的材料制成的。小红取一片金属箔做成中空的筒，放在盛有水的烧杯中，发现它漂浮在水面上，然后她再将此金属箔揉成团放入水中，金属箔沉入水底。比较前后两种情况，下列说法错误的是（）A．金属箔漂浮时受到的重力比它沉底时受到的重力小 B．金属箔漂浮时受到的浮力比它沉底时受到的浮力大 C．金属箔沉底时受到的浮力等于它的重力 D．金属箔沉底时排开水的体积与它漂浮时排开水的体积相等（多选）7．柱状容器内放入一个体积大小为200厘米3的柱状物体，现不断向容器内注入水，并记录水的总体积V和所对应的水的深度h，如下表所示，则下列判断中正确的是（）V（厘米3）60120180240300360h（厘米）51015192225A．物体的底面积S1为8厘米2 B．容器的底面积S2为12厘米2 C．物体的密度为0.7×103千克/米3 D．物体所受到的最大浮力为1.4牛三．填空题（共9小题）8．一弹簧测力计下挂一圆柱体，从盛有水的烧杯上方离水面某一高度处开始缓慢下降，直到圆柱体底部与盛水的烧杯底部接触为止，下降全过程中弹簧测力计示数F随圆柱体下降高度h的变化的图线如图所示，由图中可知圆柱体受到的重力是N；圆柱体所受的最大浮力为N。9．小明利用量筒来测量一小石块的密度。他首先在量筒内放入了40毫升，密度为0.8×103kg/m3的酒精。然后将一木块放入量筒内的酒精中静止后木块漂浮在液面上，此时量筒的示数为50毫升；他又将一小石块轻轻的放在木块上，木块仍能漂浮在液面上，此时量筒的示数为80毫升；最后他将这一小石块轻轻的放入量筒中，静止后量筒的示数为70毫升。则这一小石块的密度为kg/m3。10．如图所示，底面积为S1的圆柱形容器中装有未知密度的液体。将一密度为ρ的正方体金属块放入底面积为S2的长方体塑料盒中（塑料盒的厚度可忽略不计），塑料盒漂浮在液面上（液体不会溢出容器），其浸入液体的深度为h1．若把金属块从塑料盒中取出，用细线系在塑料盒的下方，放入液体中，金属块不接触容器，塑料盒浸入液体的深度为h2．剪断细线，金属块会沉到容器的底部，塑料盒漂浮在液面上，其浸入液体的深度为h3．若塑料盒始终处于如图所示的直立状态而未发生倾斜，则细线剪断前、后液体对圆柱形容器底部的压强减小了。11．如图所示，一个半径为r，质量为m的半球，放在容器内，半球的底面与容器的底部紧密接触，容器内装有密度为ρ的液体，液面高为H。已知球体的体积公式是V＝，球表面积公式是S球＝4πr2，圆面积公式是S圆＝πr2，则由于液体重力产生的对半球表面向下的压力为。12．如图所示，容器底部一根中间为圆柱形的管子与大气相连，管的直径为20cm，不计管壁的厚度。现在管子上方压一个边长为50cm的塑胶立方体，将管口封住。使容器中盛有一定质量的水。已知大气压强为1.0×105Pa．塑胶立方体的密度为0.6×103kg/m3．当水面恰好在塑胶立方体高的中点时。塑胶立方体受到水对它的浮力大小为N．当容器中所盛水的水面到塑胶立方体底面的高度满足一定的条件时，塑胶立方体能封住管口，不让水从管子的孔中流水。该条件是。（计算时保留小数点后两位）13．在一个底面积为200平方厘米、高度为20厘米的圆柱形薄壁玻璃容器底部，放入一个边长为10厘米的实心正方体物块，然后逐渐向容器中倒入某种液体。右图反映了物块对容器底部压力的大小F与容器中倒入液体的深度h（0～6厘米）之间的关系。由此可知这种液体的密度大小为千克/米3，当倒入液体的深度h为12厘米时，物块对容器的底部压力的大小F大小为牛。14．如图所示，在盛有某种液体的圆柱形容器内放有一木块A，在木块的下方用轻质细线悬挂一体积与之相同的金属块B，金属块B浸没在液体内，而木块漂浮在液面上，液面正好与容器口相齐。某瞬间细线突然断开，待稳定后液面下降了h1；然后取出金属块B，液面又下降了h2；最后取出木块A，液面又下降了h3．则木块A与金属块B的密度之比为。15．为了给立方体工件表面均匀地涂上某种油，需要用竖直向下的力F把漂浮在油面上的工件缓缓地压入油内，如图甲所示。工件的下底面与油面的距离为h，力F与h的大小关系如图乙所示。由图可知该工件的重力为N，在C点时工件所受的浮力N。16．育红学校科技小组的同学们设计了一个自动冲刷厕所的水箱模型，这种水箱模型能把自来水管供给的较小流量的水储存到一定量后，自动开启放水阀门，冲刷便池中的污物。如图是这种水箱模型的主要部件的截面示意图。图中水箱A是一个边长为50cm的正方体；浮筒B是一个质量为0.2kg的空心圆柱体，其底面积SB为80cm2，高为35cm；放水阀门C是一个质量可忽略的圆柱体，其底面积Sc为55cm2，厚度d为1.5cm；放水阀门C能将排水管口恰好盖严，阀门上固定一根轻绳与浮筒相连，绳的长度l为10cm．则水箱中的水深H至少为cm时，浮筒B刚好能将放水阀门C打开。四．计算题（共8小题）17．有一根粗细均匀的蜡烛，底部插入一根铁钉，竖直地漂浮在水中，蜡烛长20cm，密度为0.9×103kg/m3，上端露出水面1cm。现将蜡烛点燃，求这根蜡烛燃烧到剩余多长时，蜡烛的火焰会被水熄灭？（铁钉体积不计）18．从粗细均匀的蜡烛底部塞入一重G的铁钉（体积忽略不计），使蜡烛竖直漂浮在水中，蜡烛露出水面的高度为H，如图所示。点燃蜡烛。直至蜡烛与水面相平，烛焰熄灭（蜡烛油不流下来），此时蜡烛烧掉的长度为L，设蜡烛的密度为ρ蜡。水的密度为ρ水。（1）“在蜡烛底部塞入一铁钉”所包含的物理学原理是什么？（2）试证明：＝。19．如图所示，密度分布均匀的圆柱形棒的一端悬挂一个小铁块并一起浸入水中。平衡时棒浮出水面的长度是浸入水中长度的n倍。若水的密度为ρ，则棒的密度为多少？20．如图所示，一根细绳悬挂一个半径为r、质量为m的半球，半球的底面与容器底部紧密接触，此容器内液体的密度为ρ，高度为h，大气压强为p0，已知球体的体积公式是V＝，球表面积公式是S球＝4πr2。则求：①液体对半球的压力？②若要把半球从水中拉起，则要用的竖直向上的拉力F至少为多少？21．柱形容器底面积为300cm2，装有一定质量的水，一个边长为10cm的均匀正方体木块通过细线悬挂在容器正上方，此时木块浸入水中深度为9cm，细线刚好拉直（但细线无拉力），如图所示。已知细线能承受的最大拉力为8N，容器底部有一阀门K，打开后可将水放出。请你完成下列问题：（1）求水对木块下表面的压强；（2）求木块的密度；（3）打开阀门使水放出，直到细线刚好断开时立即关闭阀门K，待木块保持静止后，求水对容器底部的压力减少了多少？22．如图所示，质量为M、长度为L的均匀桥板AB，A端连在桥墩上可以自由转动，B端搁在浮在水面的浮箱C上。一辆质量为m的汽车P从A处匀速驶向B处。设浮箱为长方体，上下浮动时上表面保持水平，并始终在水面以上，上表面面积为S；水密度为ρ；汽车未上桥面时桥板与浮箱上表面夹角为α．汽车在桥面上行驶的过程中，浮箱沉入水中的深度增加，求深度的增加量△H跟汽车P离开桥墩A的距离x的关系（汽车P可以看作一点）。23．用密度为3×103千克/立方米的合金做成的可以密封的空心金盒子，当把体积为50立方厘米，密度为7×103千克/立方米的金属块放在盒子内部时，密封盒子将悬浮在水中，如果将金属块用不计重力和体积的细绳悬挂在金属盒子下面时，盒子将有的体积露出水面，求（1）盒子的体积（2）空心部分的体积。24．如图所示，一轻细弹簧，原长均为L0＝20cm。木块静止时弹簧长度为L＝30cm。已知，木块重力G木＝12N，木块密度ρ木＝0.6×103kg/m3，ρ水＝1×103kg/m3（忽略弹簧所受浮力及质量）。（1）求图中木块所受浮力（2）若弹簧的弹力满足规律：F＝k（L﹣L0），求k值（包括数值和单位）（3）若此时水深为h，圆柱形容器底面积为S，木块的质量为m木，木块的密度为ρ木，水的密度为ρ水，重力与质量的比值用g表示。求容器没有木块时底部受到的压力（结果用上面提供的字母表示）。五．解答题（共8小题）25．如图，一根长为L的均匀细木杆用细线竖直悬挂起来，置于水桶内水平面上方，现将水桶竖直缓慢提升，细杆逐渐浸入水中，当木杆浸入水中超过一定深度L，开始出现倾斜，已知木杆的密度为ρ1，水的密度为ρ0，求L。26．有一密度为ρl，半径为r的半球体放在盛有密度为ρ2的液体的容器的底部，它与容器底部紧密接触（即半球表面与容器底部之间无液体），如图所示，若液体的深度为H，则半球体对容器底部的压力是多大？（不考虑大气压强的影响）27．如图所示，小容器A底部有一个半径略小于R的圆洞，上面用一个半径为R的小球盖住，容器A内的液体密度为ρ1，大容器B内的液体密度为ρ2，两容器液面相平，距容器A底部高为h．求小球重力G至少多大时，才能盖住圆洞？（提示：球的体积公式为）28．一块木板浮在水面上，如果把质量为m1的铁块放在木板上面，刚好使木板淹没在水中，如果把质量为m2的铁块系在木板下面，也刚好使木板淹没在水中，求的值。29．如图A是海洋中技小组设计的打捞水中物体的装置示意图。DB是以O点为转轴的水平杠杆，OD的长度为1.6m。水平甲板上的配重E通过细绳竖直拉着杠杆D端，配重E的质量mE为25kg。安装在杠杆DB上的行走装置由支架、动滑轮X、提升电动机、定滑轮K构成，行走装置的质量m为25kg。电动机Q可以通过定滑轮S和动滑轮X拉动行走装置沿BO水平滑动。固定在提升电动机下的定滑轮K和动滑轮M组成滑轮组Y，当行走装置处于杠杆DB上C点的位置时，提升电动机拉动绳子H端，通过滑轮组Y竖直提升水中的物体A。物体A完全在水中匀速上升的过程中，滑轮组Y的机械效率为η1，甲板对配重E的支持力为N1；物体A全部露出水面匀速竖直上升的过程中，滑轮组Y的机械效率为η2，甲板对配重E的支持力为N2。滑轮组Y提升物体A的过程中，行走装置受到的水平拉力始终为零，杠杆DB在水平位置保持平衡。已知物体A的质量mA为50kg，体积V为20dm3，N1与N2之比为3：2，η1与η2之比为9：10。物体A被打捞出水面后，停留在一定高度，电动机Q开始拉动行走装置。在行走装置以0.05m/s的速度水平匀速移动的过程中，拉力T所做的功随时间变化的图像如图B所示，行走装置受到的水平拉力为F。细绳和杠杆的质量、滑轮与轴的摩擦、水对物体的阻力均忽略不计，g取10N/kg。求：（1）OC的长度；（2）拉力F。30．某食盐溶液的密度随深度h变化而变化，其变化规律为ρ＝ρ0+kh，式中ρ0＝1.0×103kg/m3．为了求出式中的k值，现向溶液中投入两只用一根细线系在一起的小球A和B，每个球的体积为V＝1cm3，其质量分别为mA＝1.2g和mB＝1.4g。当将小球A置于水下，球心距水面的距离为0.25m时。A、B两个球在溶液中均处于静止，且线是拉紧的，两球心的距离为10cm。试求k值的大小。31．如图所示，一个底部非常薄的圆柱形杯子，装满密度为ρ1的液体，恰好浮在密度分别为ρ1和ρ2的两种不相容液体的分界面间，下方液体密度ρ2，且ρ2＞ρ1．已知杯子的外径为2R，内径为2r，杯子浸入下方液体的深度为h．若杯底出现一个小洞，密度为ρ2的液体将经小洞流入杯里，求当液体不再经小洞流入杯里时，圆柱形杯子浸入密度为ρ2的液体的深度。32．如图所示，一根弹簧原长15厘米，其下端固定在容器底部，上端连接一个边长为4厘米的正方体实心木块，向容器里注水，当水深达到18厘米时，木块一半浸入水中；当水深达到22厘米时，木块上表面正好与水面相平，求木块的密度。

一．选择题（共5小题）1．如图所示，浸入某液体中的物体恰好悬浮。物体的上、下表面积分别为S1和S2，并且S1＜S2，此时物体下表面与上表面受到液体的压力差为ΔF．现用手将物体缓慢下压一段距离，松手后（）A．物体保持悬浮，因为ΔF不变 B．物体保持悬浮，但ΔF变大 C．物体将上浮，因为ΔF变大 D．物体将下沉，因为ΔF变小【分析】（1）根据阿基米德原理：F浮＝ρ液gV排判断浮力变化；（2）浮力产生的原因：物体受到的浮力等于向上和向下的液体压力差。【解答】解：浸入某液体中的物体恰好悬浮，用手将物体缓慢下压一段距离，物体体积不变，排开液体体积不变，根据阿基米德原理F浮＝ρ液gV排知浮力不变；因为下表面的压力减去上表面的压力等于物体受到的浮力与侧壁向下的压力之和，深度增加，所以侧壁向下的压强和压力也增大，所以上下表面压力差增大，即ΔF变大，故B正确。故选：B。【点评】本题考查了阿基米德原理的应用和浮力产生的原因等知识，掌握影响浮力的因素是解题的关键。2．底面积不同的两个圆柱形容器，底部用一根粗细不计的管子相连通，管子中间有一阀门K，如图所示，K关闭，现向两容器中分别倒入质量相等的水和煤油，两个完全相同的小球分别放入两个容器中，打开阀门K，则液体将（）A．向左流 B．向右流 C．不动 D．都有可能【分析】（1）在柱形容器中，液体的压强为p＝ρgh，则液体对容器底的压力为F＝pS＝ρ液ghS＝ρ液gV＝G液，即液体的对底部的压力等于液体的重力；（2）物体漂浮时，浮力等于重力，下沉时，浮力小于重力，而浮力大小等于排开液体的重力，由此确定液体对容器底增加的压力大小；（3）管子中液体的流动方向是从压强大的一侧流向压强较小的一侧，根据压强公式判断两侧压强大小关系，得出结论。【解答】解：底面积不同的两个圆柱形容器，分别倒入质量相等的水和煤油，左侧的受力面积大，而液体的压力等于重力。由于水和煤油的质量相同，由F＝G＝mg可知，水对容器底的压力大于煤油对容器底的压力。两个完全相同的小球分别放入两个容器中，可以分以下几种情况讨论：（1）两个小球都沉底，两球排开液体的体积相等，由F浮＝ρ液gV排可知，小球在水中受到的浮力大，即排开水的重力大，则左侧水对容器底增加的压力大，由于左侧受力面积大，由p＝可知，无法确定放入后两侧压强的大小关系，因而向左流、向右流、不动都有可能；（2）如果都是漂浮，增加的压力等于小球的重力，则左侧水对容器底的压强小，液体向左流；（3）小球在水中漂浮，在煤油中沉底，左侧增加的压力等于小球的重力，右侧增加的压力小于小球的重力，同由于左侧受力面积大，无法确定两侧液体的压强大小，因而液体向左流、向右流、不动都有可能；故选：D。【点评】本题是压强和浮力的综合题，有较大的难度，正确判断两侧液体压强大小是关键。3．如图所示，水平桌面上放置一底面积为S2的轻质圆柱形容器，容器足够深：在容器中放入底面积为S1，质量为m的圆柱形木块，在容器中缓慢加入水，当木块对容器底部的压力恰好为零时，容器对桌面的压力大小为（）A．S2mg/S1 B．（S2﹣S1）mg/S1 C．S1mg/（S2﹣S1） D．S2mg/（S2﹣S1）。【分析】在容器中缓慢加入水，当木块容器底部的压力恰好为零时，说明木块恰好漂浮（但木块与容器底仍接触），根据漂浮条件求出木块排开水的体积，进一步求出所加水的体积，利用m＝ρV求出水的质量，轻质容器对桌面的压力大小等于水和木块的总重力。【解答】解：在容器中缓慢加入水，当木块容器底部的压力恰好为零时，说明木块恰好漂浮（但木块与容器底仍接触），根据漂浮条件可得F浮＝G木，即ρ水gV排＝mg，则V排＝，根据题意可得在木块两侧加水部分的横截面积S水＝S2﹣S1，且S木＝S1，又因为V排：V水＝S木h：S水h＝S木：S水，其中h为水的深度，所以加入水的体积V水＝＝×，所以加入水的质量：m水＝ρ水V水＝ρ水××＝×m，则轻质容器对桌面的压力大小为：F＝（m水+m木）g＝（×m+m）g＝。故选：A。【点评】此题考查学生对于密度、浮力、压强知识的计算，考查内容较多，注意逐一分析解答。4．如图所示完全相同的两根弹簧，下面挂两个质量相同，形状不同的实心铁块，其中甲是立方体，乙是球体。现将两个铁块完全浸没在某盐水溶液中。该溶液的密度随深度增加而均匀增加。待两铁块静止后，甲、乙两铁块受到的弹簧的拉力相比较（）A．甲比较大 B．乙比较大 C．一样大 D．无法确定【分析】铁块的形状会不会影响它的深度呢，我们可以作一个假设。假设其中一个铁块浸没得比较深，根据“该溶液的密度随深度增加而均匀增加”，则它受到的浮力大。铁块的重力减去浮力就是弹簧对铁块的拉力，说明这一铁块受到的拉力小。因此，根据铁块的形状分析铁块浸没的深度情况是此题的突破口。【解答】解：由于盐水密度随深度是均匀增加的，且正方体和球体都是对称的，所以可以取正方体的中心和球体球心的密度作为液体平均密度。两物体质量相同，且都是实心的铁组成，那么说明体积是一样的，假设为V，根据体积公式，得则V＝＝a3，（D为铁球的直径，a为铁块的边长）分析可知D＞a，所以体积相同的情况下，球体的浸没得较深，那么它受的浮力较大，受到弹簧的拉力越小。所以是甲受到弹簧的拉力较大。故选：A。【点评】分析出铁块的形状到底是否影响了它的浸没深度，进而影响了它的浮力和弹簧对铁块的拉力是解决此题的关键，如果不能确定这一点则很容易误入歧途。5．一个底面积为300cm2的柱形薄壁水槽放在水平台面上，用原长为10cm的弹簧将上方开口的A杯与水槽底部相连，A杯为薄壁容器，重为4N，底面积为100cm2。向水槽中加水，当A杯浸入深度为8cm时，水面如图甲所示。若再向A杯中加水，当水槽液面恰好与A杯口相平时停止加水，如图乙所示，此时弹簧对A杯的作用力大小与甲图中弹簧对A杯的作用力大小相等。已知弹簧每受1N的拉力时弹簧伸长0.5cm，不计弹簧的重力、体积及其所受的浮力。下列说法正确的是（）①甲图中弹簧对A杯施加了竖直向下的拉力为4N②与甲图相比，乙图中A杯向下移动的距离为2cm，水面上升1cm③与甲图相比，乙图中水槽对桌面的压力增加了6N④乙图中，打开阀门B，待水静止后，水对槽底的压强为2200PaA．①② B．②③ C．①④ D．①③【分析】（1）根据体积公式计算A杯浸入水中的体积，根据F浮＝ρ水gV排计算A杯受到的浮力；对A进行受力分析可知：A受到竖直向下的重力和弹簧对A的拉力，以及竖直向上的浮力，进一步计算弹簧对A的作用力；（2）如图乙所示，向A杯中加水杯子对弹簧的拉力减小，随着水的增多，拉力逐渐变为压力，当水槽液面恰好与A杯口相平时停止加水，弹簧对A杯的作用力大小与甲图中弹簧对A杯的作用力大小相等，据此可知A杯对弹簧的压力，弹簧每受1N的拉力时，弹簧伸长0.5cm，据此计算计算两图中弹簧长度的变化，据此可知与甲图相比，乙图中A向下移动的距离，进一步计算乙图中弹簧的长度和甲图水槽内水面高度，根据体积公式计算与甲图相比，乙图水面上升的高度；（3）由②可知乙图中A杯浸入水中的深度，根据体积公式、F浮＝ρ水gV排计算乙图中A杯受到的浮力；A杯受弹簧的支持力为4N，A杯和杯里的水受力平衡，即G杯+G水＝F浮乙+F乙，代入数据解方程可得水的重力，与甲图相比乙图水槽对桌面压力的增加量等于加入杯中的水的重力，据此可知水槽对桌面的压力增加了多少；根据重力公式、密度公式计算A杯里的水的体积，根据体积公式计算A杯里的水的高度，根据连通器原理可知乙图中打开阀门B，待水静止后，水槽里面的水面高度的变化，根据液体压强公式计算水对槽底的压强。【解答】解：（1）A杯浸入水中的体积为：V排＝SAhA＝100cm2×8cm＝800cm3＝8×10﹣4m3，则A杯受到的浮力为：F浮＝ρ水gV排＝1×103kg/m3×10N/kg×8×10﹣4m3＝8N；对A进行受力分析可知：A受到竖直向下的重力和弹簧对A的拉力，以及竖直向上的浮力，由二力平衡关系可知弹簧对A的作用力为：F拉＝F浮﹣GA＝8N﹣4N＝4N，方向竖直向下，故①正确；（2）如图乙所示，向A杯中加水杯子对弹簧的拉力减小，随着水的增多，拉力逐渐变为压力，当水槽液面恰好与A杯口相平时停止加水，弹簧对A杯的作用力大小与甲图中弹簧对A杯的作用力大小相等，所以此时弹簧对A杯的支持力大小为4N，即A杯对弹簧的压力为4N，弹簧每受1N的拉力时，弹簧伸长0.5cm，此时弹簧被压缩了2cm，甲图中弹簧对A杯竖直向下的拉力为4N，弹簧被拉长了2cm，与甲图相比，乙图中A向下移动的距离为4cm，如图：则乙图中弹簧的长度l′＝l+2cm﹣4cm＝10cm+2cm﹣4cm＝8cm，甲图水槽内水面高度h＝l+2cm+h1＝10cm+2cm+8cm＝20cm，A杯浸入水中的深度为8cm，向A杯加水时，水槽中的水体积不变，与甲图相比，乙图水面上升Δh＝＝＝2cm，故②错误；（3）由②可知，乙图中A杯浸入水中的深度为h2＝8cm+4cm+2cm＝14cm，乙图中A杯受到的压力为F浮乙＝ρ水gV排乙＝1×103kg/m3×10N/kg×（14×100）×10﹣6m3＝14N；A杯受弹簧的支持力为4N，A杯和杯里的水受力平衡，即G杯+G水＝F浮乙+F乙，代入数据可得4N+G水＝14N+4N，解方程可得水的重力G水＝14N，与甲图相比乙图水槽对桌面压力的增加量等于加入杯中的水的重力，即水槽对桌面的压力增加了14N，故③错误；杯里的水的体积：V水＝＝＝0.0014m3＝1400cm3，杯里的水的高度hA＝＝＝14cm，则A杯内外水面相平，乙图中打开阀门B，此时水杯和水槽相当于连通器，待水静止后，水槽里面的水面高度不变，水槽里面的水面高度：h′＝h+Δh＝＝20cm+2cm＝22cm＝0.22m，水对槽底的压强为p＝ρ水gh′＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.22m＝2200Pa，故④正确。故选：C。【点评】本题考查了学生对阿基米德原理、重力公式和密度公式的综合应用，正确得出放水前后容器内水的深度是解决本题的关键。二．多选题（共2小题）（多选）6．金属箔是由密度大于水的材料制成的。小红取一片金属箔做成中空的筒，放在盛有水的烧杯中，发现它漂浮在水面上，然后她再将此金属箔揉成团放入水中，金属箔沉入水底。比较前后两种情况，下列说法错误的是（）A．金属箔漂浮时受到的重力比它沉底时受到的重力小 B．金属箔漂浮时受到的浮力比它沉底时受到的浮力大 C．金属箔沉底时受到的浮力等于它的重力 D．金属箔沉底时排开水的体积与它漂浮时排开水的体积相等【分析】物体的重力是不会改变的，当重力与浮力的大小关系改变时，它的浮沉状态才会改变。物体排开水的体积大小决定了它所受浮力的大小。【解答】解：A、金属箔漂浮和沉底时自身重力是不变的，所以错误；B、金属箔漂浮时受到的浮力等于自身重力，沉底时受到的浮力小于自身重力，因此，金属箔漂浮时受到的浮力比它沉底时受到的浮力大，是正确的；C、金属箔沉底时，其重力是大于浮力的，所以错误；D、浮力大小说明排开水的体积也大，因此，两次的排水体积是不同的，所以错误。故选：ACD。【点评】解决此题的关键是要明确浮沉条件以及阿基米德原理，并与所描述的现象建立形象的联系。（多选）7．柱状容器内放入一个体积大小为200厘米3的柱状物体，现不断向容器内注入水，并记录水的总体积V和所对应的水的深度h，如下表所示，则下列判断中正确的是（）V（厘米3）60120180240300360h（厘米）51015192225A．物体的底面积S1为8厘米2 B．容器的底面积S2为12厘米2 C．物体的密度为0.7×103千克/米3 D．物体所受到的最大浮力为1.4牛【分析】（1）观察表中数据可知，h从5﹣10cm，可求水的体积变化ΔV＝（S2﹣S1）Δh＝60cm3；h从22﹣25cm，水的体积变化ΔV′＝S2（h6﹣h5）＝60cm3，据此求出S2和S1的大小；（2）知道柱状物体的体积，可求柱状物体的高，分析表中数据，如果柱状物体的密度大于或等于水的密度，在加水过程中柱状物体将静止在容器底不会上浮，容器内水的体积变化应该与h的变化成正比，由表中数据可知器内水的体积变化应该与h的变化不成正比，所以柱状物体的密度小于水的密度；因此随着水的增多，柱状物体将漂浮在水面上，设柱状物体浸入的深度为H浸，当h6＝25cm时，知道水的体积，可求柱状物体浸入的深度，进而求出此时排开水的体积，根据漂浮体积和阿基米德原理求出物体的密度；（3）根据阿基米德原理求此时受到的浮力（最大）。【解答】解：（1）由表中数据可知，h从5﹣10cm，水的体积变化：ΔV＝（S2﹣S1）（10cm﹣5cm）＝60cm3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①h从22﹣25cm，水的体积变化：ΔV′＝S2（h6﹣h5）＝60cm3，即：S2（25cm﹣22cm）＝60cm3，解得：S2＝20cm2，代入①得：S1＝8cm2，故A正确、B错；（2）柱状物体的体积：V物＝S1H，如果柱状物体的密度大于或等于水的密度，在加水过程中柱状物体将静止在容器底不会上浮，容器内水的体积变化应该与h的变化成正比，由表中数据可知器内水的体积变化应该与h的变化不成正比，所以柱状物体的密度小于水的密度；因此随着水的增多，柱状物体将漂浮在水面上，设柱状物体浸入的深度为H浸，当h6＝25cm时，水的体积：S2h6﹣S1H浸＝360cm3，即：20cm2×25cm﹣8cm2×H浸＝360cm3，解得：H浸＝17.5cm，此时排开水的体积：V排＝S1H浸＝8cm2×17.5cm＝140cm3，∵柱状物体漂浮，∴ρ水V排g＝ρ物Vg，即：1×103kg/m3×140cm3×g＝ρ物×200cm3×g，解得：ρ物＝0.7×103kg/m3，故C正确；（3）此时受到的浮力最大：F浮＝ρ水V排g＝1×103kg/m3×140×10﹣6m3×10N/kg＝1.4N，故D正确故选：ACD。【点评】本题为选择题，实质是以复杂的力学计算题，考查了学生对密度公式、阿基米德原理、物体的漂浮条件的掌握和运用，根据表中数据确定最后柱状物体的状态是本题的关键。三．填空题（共9小题）8．一弹簧测力计下挂一圆柱体，从盛有水的烧杯上方离水面某一高度处开始缓慢下降，直到圆柱体底部与盛水的烧杯底部接触为止，下降全过程中弹簧测力计示数F随圆柱体下降高度h的变化的图线如图所示，由图中可知圆柱体受到的重力是12N；圆柱体所受的最大浮力为8N。【分析】（1）当物体没有浸入水中时，弹簧测力计的示数等于物体的重力，由图象读出重力的大小；（2）当物体全部浸没水中，排开液体的体积最大且不变，根据阿基米德原理可知，受到的浮力不变，由图象可知此时弹簧测力计的示数，利用称重法求出圆柱体受到的最大浮力。【解答】解：（1）由图象可知，当h＝0时，弹簧测力计示数等于物体的重力，即12N；（2）当h＝7cm以后，弹簧测力计示数不变，说明此时物体已经浸没在水中，由图象可知，弹簧测力计的示数F′＝4N，则圆柱体受的最大浮力：F浮＝G﹣F′＝12N﹣4N＝8N。故答案为：12；8。【点评】本题考查的是浮力计算的应用，关键是读图得到已知条件。9．小明利用量筒来测量一小石块的密度。他首先在量筒内放入了40毫升，密度为0.8×103kg/m3的酒精。然后将一木块放入量筒内的酒精中静止后木块漂浮在液面上，此时量筒的示数为50毫升；他又将一小石块轻轻的放在木块上，木块仍能漂浮在液面上，此时量筒的示数为80毫升；最后他将这一小石块轻轻的放入量筒中，静止后量筒的示数为70毫升。则这一小石块的密度为1.2×103kg/m3。【分析】（1）木块在酒精中漂浮，受到的浮力大小等于木块的重力，根据量筒内两次液面的变化和阿基米德原理求出木块的重力；（2）石块放在木块上，整体处于漂浮状态，根据阿基米德原理求出整体的浮力等于整体的重力，减去木块的重力就得到石块的重力，石块的体积等于第二次和第三次量筒量筒内液面变化；根据密度的计算公式ρ＝算出石块的密度。【解答】解：（1）木块在酒精中漂浮时，木块重力等于受到的浮力，浮力等于排开酒精受到的重力，即：G木＝F木浮＝ρ酒精gV排1＝0.8×103kg/m3×10N/kg×（50﹣40）×10﹣6m3＝0.08N；（2）①将小石块放在木块上，整体漂浮，木块和石块的总重力等于总浮力，总浮力等于它们排开的酒精受到的重力，即：G石+G木＝F总浮＝ρ酒精gV排2＝0.8×103kg/m3×10N/kg×（80﹣40）×10﹣6m3＝0.32N；∴石块的重力G石＝0.32N﹣0.08N＝0.24N石块的质量m石＝＝＝0.024kg；②石块体积V石＝70mL﹣50mL＝20mL＝20×10﹣6m3＝2×10﹣5m3；③石块密度ρ石＝＝＝1.2×103kg/m3。故答案为：1.2×103。【点评】本题考查测量密度的特殊方法，没有天平，利用浮力知识间接测量出质量，再利用密度的计算公式计算密度，考查了知识的综合运动能力。10．如图所示，底面积为S1的圆柱形容器中装有未知密度的液体。将一密度为ρ的正方体金属块放入底面积为S2的长方体塑料盒中（塑料盒的厚度可忽略不计），塑料盒漂浮在液面上（液体不会溢出容器），其浸入液体的深度为h1．若把金属块从塑料盒中取出，用细线系在塑料盒的下方，放入液体中，金属块不接触容器，塑料盒浸入液体的深度为h2．剪断细线，金属块会沉到容器的底部，塑料盒漂浮在液面上，其浸入液体的深度为h3．若塑料盒始终处于如图所示的直立状态而未发生倾斜，则细线剪断前、后液体对圆柱形容器底部的压强减小了。【分析】盒子漂浮时，所受浮力等于正方体重力和盒子重力之和，根据此关系列出等式；同理连上细线后正方体在液体中也受到浮力；在剪断细线后盒子所受浮力等于重力；根据等式求出此时容器底所受的压强，进一步求出剪断细线后所受的压强，从而求出减少的压强。【解答】解：设正方体体积为V1，设液体密度为ρ0，则正方体重力和盒子重力之和等于盒子所受浮力即：ρgV1+G盒＝ρ0gS2h1…①同理连上细线后正方体在液体中也受到浮力，则ρgV1+G盒＝ρ0gS2h2+ρ0gV1…②在剪断细线后盒子所受浮力等于重力，则G盒＝ρ0gS2h3…③设容器只装液体时高度为h，则水体积S1h，剪断细线前容器水的高度：总体积（液体的体积、正方体体积、盒子排开水的体积）除以底面积，即为；所以此时容器底压强为P1＝；同理可得剪断细线后压强P2＝；于是减少的压强：Δp＝…④由①②③式进行数学运算可以得到：P0＝；代入④式得Δp＝。故答案为：。【点评】本题考查液体压强的计算，难点是对物体进行受力分析，判断出液面的变化情况，这是解决本题的关键。11．如图所示，一个半径为r，质量为m的半球，放在容器内，半球的底面与容器的底部紧密接触，容器内装有密度为ρ的液体，液面高为H。已知球体的体积公式是V＝，球表面积公式是S球＝4πr2，圆面积公式是S圆＝πr2，则由于液体重力产生的对半球表面向下的压力为πr2ρgH﹣ρgπr3。【分析】浸没在液体中的固态受到的浮力等于固态各表面所受液体压力的合力；我们可以先设想半球体下表面有液体，求出此时下表面受到的液体压力和半球体受到的浮力，从而求出此时液体对半球体上表面的压力；【解答】解：假设半球下表面处全部为液体，则半球受到的浮力F浮方向竖直向上，由阿基米德原理可知，F浮＝ρgV排＝ρgV半球＝ρg××πr3＝ρgπr3；由P＝可知，半球下表面受到的液体压力：F下＝P下S圆＝P液S圆＝ρgH×πr2，方向竖直向上，半球受到的浮力F浮等于半球下表面与上表面所受液体对它的压力合力，即：F浮＝F下﹣F上，F上＝F下﹣F浮＝πr2ρgH﹣ρgπr3，由于半球底部与容器底部紧密接触，则液体对半球的压力：F＝F上＝πr2ρgH﹣ρgπr3。故答案为：πr2ρgH﹣ρgπr3。【点评】本题考查浮力的计算，液体压强的计算，密度公式的应用以及压力的计算，关键是物体的受力分析。12．如图所示，容器底部一根中间为圆柱形的管子与大气相连，管的直径为20cm，不计管壁的厚度。现在管子上方压一个边长为50cm的塑胶立方体，将管口封住。使容器中盛有一定质量的水。已知大气压强为1.0×105Pa．塑胶立方体的密度为0.6×103kg/m3．当水面恰好在塑胶立方体高的中点时。塑胶立方体受到水对它的浮力大小为547N．当容器中所盛水的水面到塑胶立方体底面的高度满足一定的条件时，塑胶立方体能封住管口，不让水从管子的孔中流水。该条件是高度大于等于1.59m或小于等于0.34m。（计算时保留小数点后两位）【分析】（1）首先知道浮力的产生是上下表面的压强差，那么下表面积（与水接触）S＝塑胶立方体﹣圆柱形的管子的面积；下表面由水深得到压强，即为p＝ρgh，然后利用F＝pS；即可求得塑胶立方体受到水对它的浮力大小；（2）①当塑胶立方体重力大于浮力时，即可求出水的深度h；②根据下表面的压强乘以下表面积﹣上表面的压强乘以上表面积＜重力，即可求出H。【解答】解：（1）下表面由水深得到压强，即为p＝ρgh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.25m＝2500Pa；那么下表面积（与水接触）S＝S立方体﹣S管子＝0.5m×0.5m﹣3.14×（m）2＝0.2186m2。浮力的产生是上下表面的压力差，则F浮＝pS＝2500Pa×0.2186m2＝547N。（2）①G塑胶立方体＝m塑胶立方体g＝ρ塑胶立方体V塑胶立方体g＝0.6×103kg/m3×0.5m×0.5m×0.5m×10N/kg＝750N，当G＞F浮力，即750N≥ρ水ghS，则750N≥1.0×103kg/m3×10N/kg×h×0.2186m2。解得h≤0.34m。②ρ水gHS﹣ρ水g（H﹣0.5m）×0.25m2≤G，则1.0×103kg/m3×10N/kg×H×0.2186m2﹣1.0×103kg/m3×10N/kg（H﹣0.5m）×0.25≤750N，解得H≥1.59m。故答案为：547；高度大于等于1.59m或小于等于0.34m。【点评】本题主要考查压强公式的应用，是一道中档题。13．在一个底面积为200平方厘米、高度为20厘米的圆柱形薄壁玻璃容器底部，放入一个边长为10厘米的实心正方体物块，然后逐渐向容器中倒入某种液体。右图反映了物块对容器底部压力的大小F与容器中倒入液体的深度h（0～6厘米）之间的关系。由此可知这种液体的密度大小为1.25×103千克/米3，当倒入液体的深度h为12厘米时，物块对容器的底部压力的大小F大小为7.5牛。【分析】（1）由物块对容器底部压力的大小F与容器中倒入液体的深度h（0～6厘米）之间的关系图象可知，当倒入液体深度为0时，物块对容器底的压力F＝G＝20N；当倒入液体深度h＝4cm时，物块对容器底的压力F′＝G﹣F浮＝15N，而F浮＝ρ液V排g，据此求出液体的密度；（2）求出了物块的重力，知道边长可求体积，利用公式G＝mg＝ρVg求物块的密度，和液体的密度比较，得出物块在倒入液体的深度h′＝12cm时的浮与沉，进而求出对容器的底部压力的大小。【解答】解：（1）由图知，当倒入液体深度为0时，物块对容器底的压力F＝G＝20N，当倒入液体深度h＝4cm＝0.04m时，物块对容器底的压力F′＝15N，而F′＝G﹣F浮，∴F浮＝G﹣F′＝20N﹣15N＝5N，∵F浮＝ρ液V排g＝ρ液Shg，∴液体的密度：ρ液＝＝＝1.25×103kg/m3；（2）∵G＝mg＝ρVg，物块的密度：ρ物＝＝＝2×103kg/m3，∵ρ物＞ρ液，当倒入液体的深度h′＝12cm时，物块将浸没在液体中并沉入容器底，对容器的底部压力的大小：F压＝G﹣F浮′＝20N﹣ρ液Vg＝20N﹣1.25×103kg/m3×10×10×10×10﹣6m3×10N/kg＝7.5N。故答案为：1.25×103kg/m3；7.5N。【点评】本题考查了学生对重力公式、密度公式、阿基米德原理的掌握和运用，本题关键：一是从图象得出有关信息；二是明确容器底在三种情况下的受力情况分析。14．如图所示，在盛有某种液体的圆柱形容器内放有一木块A，在木块的下方用轻质细线悬挂一体积与之相同的金属块B，金属块B浸没在液体内，而木块漂浮在液面上，液面正好与容器口相齐。某瞬间细线突然断开，待稳定后液面下降了h1；然后取出金属块B，液面又下降了h2；最后取出木块A，液面又下降了h3．则木块A与金属块B的密度之比为。【分析】此时木块A受到自身重力、浮力、向下的拉力，B受到重力、向上的拉力，和浮力的作用，当细线断开后，木块受到的浮力减小，减小的浮力等于金属块B的重力与金属块B所受浮力之差；根据此关系和阿基米德原理列出等式。木块在液体中最后漂浮，受到的浮力等于自身重力，根据此关系和阿基米德原理列出等式，二式相比较即可得出结论。【解答】解：细线断开后，木块减小的浮力F浮1＝ρ液gV排1＝ρ液gSh1；取出金属块B，液面又下降了h2，则VB＝Sh2，金属块B的重力与金属块B所受浮力之差等于木块减小的浮力，则GB﹣ρ液gSh2＝ρBVg﹣ρ液gSh2，∴ρ液gSh1＝ρBVg﹣ρ液gSh2，即：ρBVg＝ρ液gSh1+ρ液gSh2﹣﹣﹣﹣①；当木块漂浮在水面上时，受到的浮力等于自身的重力，F浮2＝GA＝ρ液gSh3＝ρAVg﹣﹣﹣﹣②；∴＝＝＝＝＝。则木块A与金属块B的密度之比为：。故答案为：。【点评】本题考查物体密度的大小比较，关键是对AB进行受力分析，找出AB所受浮力与液面降低的关系，这是本题的难点。减小的浮力用ΔF浮来表示，分别求减小的浮力、B的重、B受到的浮力，再得出关系式。15．为了给立方体工件表面均匀地涂上某种油，需要用竖直向下的力F把漂浮在油面上的工件缓缓地压入油内，如图甲所示。工件的下底面与油面的距离为h，力F与h的大小关系如图乙所示。由图可知该工件的重力为400N，在C点时工件所受的浮力1000N。【分析】（1）由图可知AC段为一次函数，通过B、C两端的坐标表示函数的表达式，当h＝0时表示物体的重力；（2）图乙中，h≥0.5m时，力F的大小不再发生变化，而对木块受力分析知：力F和木块的重力之和等于木块受到的浮力。【解答】解：（1）由图可知AC段为一次函数，设为h＝kF+b上的一点，函数过B（0，0.2）和C（600，0.5）两点，则0.2＝b，0.5＝600k+b，解得：k＝5×10﹣4，b＝0.2，即h＝5×10﹣4F+0.2，当h＝0时，解得F＝﹣400，它表示的量就是工件受到的重力即G＝400N；（2）C点处受力分析得：力F和木块的重力之和等于木块受到的浮力，所以F浮＝G+FC＝400N+600N＝1000N。故答案为：400；1000。【点评】本题考查了工件重力和浮力的计算，关键是利用数学知识得出力F与h的大小关系式，对学生的读图能力要求较高。16．育红学校科技小组的同学们设计了一个自动冲刷厕所的水箱模型，这种水箱模型能把自来水管供给的较小流量的水储存到一定量后，自动开启放水阀门，冲刷便池中的污物。如图是这种水箱模型的主要部件的截面示意图。图中水箱A是一个边长为50cm的正方体；浮筒B是一个质量为0.2kg的空心圆柱体，其底面积SB为80cm2，高为35cm；放水阀门C是一个质量可忽略的圆柱体，其底面积Sc为55cm2，厚度d为1.5cm；放水阀门C能将排水管口恰好盖严，阀门上固定一根轻绳与浮筒相连，绳的长度l为10cm．则水箱中的水深H至少为41.5cm时，浮筒B刚好能将放水阀门C打开。【分析】由题中模型可知当C被拉起时水会放出，故将B、C看作一个整体进行分析，由受力分析可知BC整体受到B的重力、C受液体的压力及B受液体的浮力，由平衡条件可知当向上的浮力与向下的重力及水对C的压力相等时C刚好被打开。【解答】解：取B、C整体为研究对象，受力分析由平衡条件得F浮＝GB+FC而水对阀门C的压力FC＝ρg（H﹣d）×SCB受到的浮力F浮＝ρgV＝ρg（H﹣l﹣d）SBGB＝mg联立以上各式得ρg（H﹣l﹣d）SB＝GB+ρg（H﹣d）×SCH＝＝+d+l，代入数据得：H＝+0.015m+×0.1m＝0.415m＝41.5cm。故答案为：41.5。【点评】整体法为物理学中一常见方法，一定要能灵活的选择研究对象并能对其进行受力分析，从而找到解决问题的方法。四．计算题（共8小题）17．有一根粗细均匀的蜡烛，底部插入一根铁钉，竖直地漂浮在水中，蜡烛长20cm，密度为0.9×103kg/m3，上端露出水面1cm。现将蜡烛点燃，求这根蜡烛燃烧到剩余多长时，蜡烛的火焰会被水熄灭？（铁钉体积不计）【分析】设蜡烛的截面积为S，则可计算出蜡烛的重力G蜡；设小铁块的重量为G铁，根据漂浮时，浮力等于重力，在本题中为G蜡+G铁＝F浮＝G排水，据此可得到G铁的表达式；蜡烛被水熄灭时剩下的长度设为L，到与水面平齐处即被水熄灭，即此时悬浮，可知G蜡剩+G铁＝G排水′，分别代入后得到蜡烛剩余的长度，总长度减去剩余的长度就是燃烧掉的长度。【解答】解：ρ蜡＝0.9×103kg/m3＝0.9g/cm3，h蜡＝20cm，h排＝19cm；设烛的截面积为S，则由g＝mg＝ρVg可得：蜡烛的重力为G蜡＝m蜡g＝ρ蜡V蜡g＝ρ蜡h蜡Sg；设铁丝的重量为G铁，又因漂浮，故G蜡+G铁＝G排水＝ρ水V排g＝ρ水Sh排g，则有ρ蜡h蜡Sg+G铁＝ρ水Sh排g，0.9g/cm3×20cm×Sg+G铁＝1.0g/cm3×S×19cm×g，所以，G铁＝1g/cm2×Sg，蜡烛熄灭时设烛长为L，因蜡烛燃烧到与水面平齐处即被水熄灭，故此时蜡烛和铁丝共同处于悬浮状态，则有：G蜡剩+G铁＝G排水′，即：ρ蜡LSg+G铁＝ρ水LSg，ρ蜡LSg+1g/cm2×Sg＝ρ水LSg，L＝＝＝10cm。答：当蜡烛熄灭时，它还剩10cm。【点评】本题考查物体浮沉条件的应用，要把握两点：一、没熄灭前是漂浮，浮力等于总重力；二、蜡烛刚熄灭时，是悬浮，浮力等于重力。18．从粗细均匀的蜡烛底部塞入一重G的铁钉（体积忽略不计），使蜡烛竖直漂浮在水中，蜡烛露出水面的高度为H，如图所示。点燃蜡烛。直至蜡烛与水面相平，烛焰熄灭（蜡烛油不流下来），此时蜡烛烧掉的长度为L，设蜡烛的密度为ρ蜡。水的密度为ρ水。（1）“在蜡烛底部塞入一铁钉”所包含的物理学原理是什么？（2）试证明：＝。【分析】（1）降低重心，使蜡烛能够直立在水中；（2）对两个状态分别利用物体的漂浮条件列方程求解：蜡烛未燃烧时：铁块重加上蜡烛的重力等于铁块受到的浮力加上蜡烛受到的浮力；点燃蜡烛，直至蜡烛与水面相平、烛焰熄灭：铁块重加上蜡烛的重力等于铁块受到的浮力加上蜡烛受到的浮力。【解答】解：（1）“在蜡烛底部塞入一铁钉”目的是降低重心，使蜡烛能够直立在水中；（2）设蜡烛原长为L0，蜡烛的横截面积为S，蜡烛未燃烧时，蜡烛和铁块漂浮，F浮＝G总，即：ρ水S（L0﹣H）g＝G+ρ蜡SL0g﹣﹣﹣﹣﹣①；点燃蜡烛，直至蜡烛与水面相平、烛焰熄灭，蜡烛和铁块漂浮，F浮′＝G总′，即：ρ水S（L0﹣L）g＝G+ρ蜡S（L0﹣L）g﹣﹣﹣﹣②；①﹣②得：ρ水S（L0﹣H）g﹣ρ水S（L0﹣L）g＝ρ蜡SL0g﹣ρ蜡S（L0﹣L）g，ρ水SLg﹣ρ水SHg＝ρ蜡SLg，ρ水SLg﹣ρ蜡SLg＝ρ水SHg，LSg（ρ水﹣ρ蜡）＝ρ水SHg，L（ρ水﹣ρ蜡）＝ρ水H，解得：＝。答：（1）降低重心，使蜡烛能够直立在水中；（2）证明见上。【点评】本题考查了学生对阿基米德原理、物体的漂浮条件的掌握和运用，利用好两次漂浮列方程是本题的关键。19．如图所示，密度分布均匀的圆柱形棒的一端悬挂一个小铁块并一起浸入水中。平衡时棒浮出水面的长度是浸入水中长度的n倍。若水的密度为ρ，则棒的密度为多少？【分析】设出棒的横截面积和水中棒的长度，进一步可知整个棒的长度，根据ρ＝表示出棒的质量，根据G＝mg表示出棒的重力，根据阿基米德原理表示出棒受到的浮力，由相似三角形对应边成比例得出棒的重力和浮力的力臂之比，以C为支点，A是棒的重心（即棒的中心），由杠杆的平衡条件得出等式即可求出棒的密度。【解答】解：设棒的横截面积为S，水中的棒长度为L，则露出的长度为nL，整个棒的长度为（n+1）L，如图所示：由ρ＝可得，棒的质量：m棒＝ρ棒V棒＝ρ棒S（n+1）L，棒的重力：G棒＝m棒g＝ρ棒S（n+1）Lg，棒受到的浮力：F浮＝ρgV排＝ρgSL，由相似三角形对应边成比例可得：＝＝＝n+1，以C为支点，A是棒的重心（即棒的中心），由杠杆的平衡条件可得：G棒×CE＝F浮×CD，即ρ棒S（n+1）Lg×CE＝ρgSL×CD，则ρ棒＝ρ＝ρ＝ρ＝ρ。答：若水的密度为ρ，则棒的密度为ρ。【点评】本题考查了密度的计算，涉及到密度公式和阿基米德原理以及杠杆平衡条件的应用，利用好相似三角形对应边成比例的性质较关键。20．如图所示，一根细绳悬挂一个半径为r、质量为m的半球，半球的底面与容器底部紧密接触，此容器内液体的密度为ρ，高度为h，大气压强为p0，已知球体的体积公式是V＝，球表面积公式是S球＝4πr2。则求：①液体对半球的压力？②若要把半球从水中拉起，则要用的竖直向上的拉力F至少为多少？【分析】①浸没在液体中的固体受到的浮力等于固体各表面所受液体压力的合力；我们可以先设想半球体下表面有液体，求出此时下表面受到的液体压力和半球体受到的浮力，从而求出此时液体对半球体上表面的压力；②对半球体进行受力分析，求出把半球体从水中拉起需要的拉力。【解答】解：①假设半球下表面处全部为液体，则半球受到的浮力F浮方向竖直向上，由阿基米德原理可知，F浮＝ρgV排＝ρgV半球＝ρg××πr3＝ρgπr3；半球表面各处所受液体压力的分布如图所示，半球上表面受到的液体压力F上竖直向下，由p＝可得，半球下表面受到的液体压力：F下＝p下S圆＝p液S圆＝ρgH×πr2，方向竖直向上，半球受到的浮力F浮等于半球下表面与上表面所受液体对它的压力的合力，即：F浮＝F下﹣F上，F上＝F下﹣F浮＝ρgH×πr2﹣ρgπr3，在本题给出的条件中，半球底部与容器底部紧密接触，即半球的下表面处并不与液体接触，但这并不改变半球上表面受液体压力作用的情况，则液体本身对半球的压力为F上＝πr2ρgH﹣ρgπr3，本题中要考虑大气压，大气压作用在液体上，且液体能传递压强，则实际上液体对半球的压力为F上′＝πr2ρgH﹣ρgπr3+p0πr2；②半球刚要被拉起时，容器底板对半球的下表面已无向上的支持力，则竖直向上的拉力F拉至少要等于上述的F上、半球本身的重力、大气压力之和，即：F拉＝F上+mg+p0S＝πr2ρgH﹣ρgπr3+mg+p0πr2。答：①液体对半球的压力为πr2ρgH﹣ρgπr3+p0πr2；②若要把半球从水中拉起，则要用的竖直向上的拉力F至少为πr2ρgH﹣ρgπr3+mg+p0πr2。【点评】本题难度较大，是一道难题，知道浮力产生的原因、熟练应用压强公式的变形公式、液体压强公式、对半球正确受力分析等是正确解题的关键。21．柱形容器底面积为300cm2，装有一定质量的水，一个边长为10cm的均匀正方体木块通过细线悬挂在容器正上方，此时木块浸入水中深度为9cm，细线刚好拉直（但细线无拉力），如图所示。已知细线能承受的最大拉力为8N，容器底部有一阀门K，打开后可将水放出。请你完成下列问题：（1）求水对木块下表面的压强；（2）求木块的密度；（3）打开阀门使水放出，直到细线刚好断开时立即关闭阀门K，待木块保持静止后，求水对容器底部的压力减少了多少？【分析】（1）知道木块浸入水中的深度，根据液体压强公式求出水对木块下表面的压强。（2）木块浸入水中深度为9cm，细线刚好拉直（但细线无拉力），说明此时木块恰好漂浮，知道正方体的棱长求出正方体的底面积，求出正方体排开液体的体积，求出正方体受到的浮力，根据漂浮条件求出木块的重力，求出木块的质量，知道正方体的棱长求出正方体的体积，求出正方体的密度。（3）细线能承受的最大拉力为8N，正方体的重力是9N，说明此时正方体受到的浮力是1N，正方体受到的浮力减小8N，求出水面下降的高度，求出水面下降这个高度排到容器外水的重力。由于此时绳子正好断开，静止时正方体又恢复到原来的漂浮状态，浮力又是9N，由于容器是柱体，水对容器底的压力减少量等于排出容器外水的重力。【解答】解：（1）木块浸入水中深度为h＝9cm＝0.09m，对木块下表面的压强：p＝ρ水gh＝1.0×103kg/m3×10N/kg×0.09m＝900Pa。（2）正方体的棱长L＝10cm＝0.1m，则正方体的底面积：S＝L2＝（0.1m）2＝0.01m2，正方体排开水的体积：V排＝Sh＝0.01m2×0.09m＝9×10﹣4m3，正方体受到的浮力：F浮＝ρ水gV排＝1.0×103kg/m3×10N/kg×9×10﹣4m3＝9N。木块浸入水中深度为9cm，细线刚好拉直（但细线无拉力），说明此时木块恰好漂浮，根据漂浮条件得，正方体的重力：G＝F浮＝9N，正方体的质量：m＝＝＝0.9kg，则正方体的体积：V＝L3＝（0.1m）3＝0.001m3，正方体的密度：ρ＝＝＝0.9×103kg/m3。（3）细线能承受的最大拉力为8N，正方体的重力是9N，说明此时正方体受到的浮力是1N，说明浮力减小量：ΔF浮＝9N﹣1N＝8N，由阿基米德原理可知，ΔV排＝＝＝8×10﹣4m3，水面降低的高度等于物体浸在水中深度的变化量：Δh＝＝＝0.08m，容器的底面积是300cm2＝0.03cm2，正方体的底面积是0.01cm2，则流出水的体积为：V排＝（0.03m2﹣0.01m2）×0.08m＝1.6×10﹣3m3，则流出水的重力：G'＝ρ水gV排＝1.0×103kg/m3×10N/kg×1.6×10﹣3m3＝16N，绳子断开之后，正方体静止时，正方体又漂浮着水面上，受到的浮力是9N，则水的容器底的压力减少量等于流出容器水的重力，所以水的容器底的压力减少量为16N。答：（1）水对木块下表面的压强900Pa；（2）木块的密度0.9×103kg/m3；（3）水对容器底部的压力减少了16N。【点评】本题考查了液体压强的计算、阿基米德原理的应用、漂浮条件、密度计算、物体间力的作用是相互的，综合性很强，有一定的难度。22．如图所示，质量为M、长度为L的均匀桥板AB，A端连在桥墩上可以自由转动，B端搁在浮在水面的浮箱C上。一辆质量为m的汽车P从A处匀速驶向B处。设浮箱为长方体，上下浮动时上表面保持水平，并始终在水面以上，上表面面积为S；水密度为ρ；汽车未上桥面时桥板与浮箱上表面夹角为α．汽车在桥面上行驶的过程中，浮箱沉入水中的深度增加，求深度的增加量△H跟汽车P离开桥墩A的距离x的关系（汽车P可以看作一点）。【分析】浮力增加量为ρgS△H，依然以A为支点，对杆再次运用力矩平衡条件列式求解即可。【解答】解：对浮箱有：F浮＝GC+F设车上桥后桥面与浮箱上表面的夹角为θ，则Mgcosθ+mgxcosθ＝F′Lcosθ解得：F′＝Mg+mg；△F浮＝F′﹣F＝mg＝ρgS△H故△H＝x。答：浮箱沉入水中的深度的增加量△H跟汽车P离桥墩A的距离x的关系为△H＝x。【点评】本题有一道竞赛题改编而来，关键根据力矩平衡条件列式求解，找出各个力据是关键。23．用密度为3×103千克/立方米的合金做成的可以密封的空心金盒子，当把体积为50立方厘米，密度为7×103千克/立方米的金属块放在盒子内部时，密封盒子将悬浮在水中，如果将金属块用不计重力和体积的细绳悬挂在金属盒子下面时，盒子将有的体积露出水面，求（1）盒子的体积（2）空心部分的体积。【分析】设金属盒的质量为m盒，体积为V盒，空心部分体积为V空，金属块的质量为m块，体积为V块，由甲图中金属盒是悬浮，乙图中是漂浮，利用F浮＝G可列出等式，求得V盒，然后再列出F浮＝ρ水gV盒＝[ρ盒（V盒﹣V空）g+ρ块V块g]，可求得空心部分的体积。【解答】解：设金属盒的质量为m盒，体积为V盒，空心部分体积为V空，金属块的质量为m块，体积为V块，根据悬浮时F浮＝G，由甲图可得：（m盒+m块）g＝F浮＝ρ水gV盒﹣﹣﹣﹣﹣①由题意和乙图可得：（m盒+m块）g＝F浮′＝ρ水（V盒+V块）g﹣﹣﹣﹣﹣﹣②，由①②解得V盒＝500cm3，甲图中密封盒子悬浮在水中，金属盒所受浮力等于金属盒与金属块的重力之和，而金属盒所用金属的体积为V盒﹣V空，根据悬浮条件、F浮＝ρ水gV排、G＝mg＝ρVg可得：F浮＝ρ水gV盒＝G总＝ρ盒（V盒﹣V空）g+ρ块V块g，V空＝＝＝450cm3。答：（1）盒子的体积为500cm3；（2）空心部分的体积为450cm3。【点评】本题考查密度的计算和物体浮沉条件的应用，关键是公式及其变形的灵活运用，难点是知道物体漂浮时浮力等于自身的重力，列出G盒+G块＝F浮的关系式，然后问题可解。24．如图所示，一轻细弹簧，原长均为L0＝20cm。木块静止时弹簧长度为L＝30cm。已知，木块重力G木＝12N，木块密度ρ木＝0.6×103kg/m3，ρ水＝1×103kg/m3（忽略弹簧所受浮力及质量）。（1）求图中木块所受浮力（2）若弹簧的弹力满足规律：F＝k（L﹣L0），求k值（包括数值和单位）（3）若此时水深为h，圆柱形容器底面积为S，木块的质量为m木，木块的密度为ρ木，水的密度为ρ水，重力与质量的比值用g表示。求容器没有木块时底部受到的压力（结果用上面提供的字母表示）。【分析】（1）利用G＝mg求出木块的重力，利用ρ＝求出木块的体积，木块浸没在水中，排开水的体积等于其自身体积，再利用阿基米德原理计算图中木块所受浮力（2）根据力的合成求出弹簧的弹力，然后根据F＝k（L﹣L0）代入相关数值求k值；（3）综合运用密度、压强、液体压强和体积公式推导容器没有木块时底部受到的压力的表达式。【解答】解：（1）木块的质量：m木＝＝＝1.2kg，根据ρ＝可得，木块的体积：V木＝＝＝2×10﹣3m3，木块浸没在水中，所以V排＝V木＝2×10﹣3m3，则木块受到的浮力：F浮＝ρ水gV排＝1×103kg/m3×10N/kg×2×10﹣3m3＝20N；（2）图中木块受向下的重力、向下的拉力（即弹力）和向上的浮力，由力的平衡条件可得：G木+F＝F浮，则弹簧的弹力：F＝F浮﹣G木＝20N﹣12N＝8N，由F弹＝k（L﹣L0）可得k值：k＝＝＝80N/m；（3）木块的体积：V木＝＝V排﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①取出木块后，水位下降的深度：h降＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②没木块时水的深度：h0＝h﹣h降，此时容器底部受到的压强：p＝ρ水g（h﹣h降）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③根据p＝可得，此时容器底部受到的压力：F＝pS﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④将①代入②，然后代入③，最后代入④整理可得：F＝ρ水gS（h﹣）。答：（1）图中木块所受浮力为20N；（2）k值为80N/m；（3）容器没有木块时底部受到的压力为ρ水gS（h﹣）。【点评】此题考查了重力、密度、体积和液体压强公式的应用，阿基米德原理，以及力的合成与应用等多个知识点，是一道综合性很强的题目，关键是相关公式的灵活运用，题目难度适中，适合学生训练，是一道好题。五．解答题（共8小题）25．如图，一根长为L的均匀细木杆用细线竖直悬挂起来，置于水桶内水平面上方，现将水桶竖直缓慢提升，细杆逐渐浸入水中，当木杆浸入水中超过一定深度L，开始出现倾斜，已知木杆的密度为ρ1，水的密度为ρ0，求L。【分析】当水浸入较少时，木杆稳定平衡，当浸入较多时，木杆不稳定平衡，设木杆稍微倾斜一个小角度，根据力矩平衡条件列方程求解。【解答】解：设木杆的截面积为S，杆浸在水中的长度为l，当木杆浸入水中后，假设因受到一个微小扰动而发生倾斜，如右图所示，则AB为一根杠杆，A点为支点，设重力G的力臂为L1，浮力F的力臂为L2，当木杆浸入较浅时，有GL1＞FL2，木杆将重新回到原来的平衡位置。当木杆浸入较深时，有GL1＜FL2，木杆将继续倾斜。因此当GL1＝FL2，木杆将开始倾斜。设木杆浸入的深度为l时，开始倾斜，则：lSρ0g•（L﹣l）sinθ＝LSρ1g•Lsinθ即：ρ0l2﹣2ρ0Ll+ρ1L2＝0可解得：l＝L（1±）因为l＜L，所以取l＝L（1﹣）答：L′的值为L（1﹣）。【点评】本题属于实际问题，关键是找到与之对应的物理模型，考查了学生分析问题与构建模型的能力。26．有一密度为ρl，半径为r的半球体放在盛有密度为ρ2的液体的容器的底部，它与容器底部紧密接触（即半球表面与容器底部之间无液体），如图所示，若液体的深度为H，则半球体对容器底部的压力是多大？（不考虑大气压强的影响）【分析】我们可以先设想下表面有液体，求出此时下表面受到的液体压力和半球体受到的浮力，从而求出此时液体对半球体上表面的压力，再加上物体本身的重力就等于半球体对容器底部的压力。【解答】解：设想半球体的下表面下有液体，则下表面受到的液体压力应为：F下＝p下S＝ρ2gHπr2球的体积V＝πr3此时半球体受到的浮力应为：F浮＝ρ2gV＝ρ2gπr3；所以此时液体对半球体上表面的压力为：F上＝F下﹣F浮＝ρ2gHπr2﹣ρ2gπr3；故原题中半球体对容器的底部的压力为：F压＝F上+mg＝ρ2gHπr2﹣ρ2gπr3+ρ1Vg＝ρ2gHπr2﹣ρ2gπr3+ρ1gπr3＝ρ2gHπr2+（ρ1﹣ρ2）gπr3。答：半球体对容器底部的压力是ρ2gHπr2+（ρ1﹣ρ2）gπr3。【点评】本题考查浮力的计算，液体压强的计算，密度公式的应用以及压力的计算，关键是物体的受力分析。27．如图所示，小容器A底部有一个半径略小于R的圆洞，上面用一个半径为R的小球盖住，容器A内的液体密度为ρ1，大容器B内的液体密度为ρ2，两容器液面相平，距容器A底部高为h．求小球重力G至少多大时，才能盖住圆洞？（提示：球的体积公式为）【分析】因为上下半球在不同液体里，所以不能直接用阿基米德原理算小球受到的浮力。可以把它拆成上下两个半球，用密度为ρ2的液体对球向上的压力与密度为ρ1的液体对球向下的压力之差来求浮力。然后再让浮力≤球的重力G。【解答】解：这里只能用浮力产生的原因：压力差来求解，小球的上表面均是一个半球面，且各部分压强都不相等，但是我们观察下面两个图，液体对下半球的压力F应该是相等的，即F1＝F2，那么由图中F浮2＝F2﹣F′，所以F1＝F2＝F浮2+F′，同理下图中F3＝F4＝F﹣F浮1，所以小球上下面压力差：F1﹣F3＝F浮2+F′﹣（F﹣F浮1）＝F浮1+F浮2+F′﹣F＝ρ1gπR3+ρ2gπR3+ρ2ghπR2﹣ρ1ghπR2＝（ρ1+ρ2）gπR3+（ρ2﹣ρ1）ghπR2。答：小球重力G至少等于（ρ1+ρ2）gπR3+（ρ2﹣ρ1）ghπR2时，才能盖住圆洞。【点评】解答此题时要注意ρ1、ρ2两种液体不是连通的，两部分液体完全隔离，同一高度压强可以不相同，阿基米德原理在这里不适用。28．一块木板浮在水面上，如果把质量为m1的铁块放在木板上面，刚好使木板淹没在水中，如果把质量为m2的铁块系在木板下面，也刚好使木板淹没在水中，求的值。【分析】m1的铁块放在木板上面漂浮和m2的铁块系在木板下刚好使木板淹没在水中，木块的体积是一定的，根据物体的浮沉条件和阿基米德原理得出等式即可解之。【解答】解：m1的铁块放在木板上面，刚好使木板淹没在水中处于漂浮状态，则F浮1＝G木+G1，即ρ水gV木＝m1g+G木﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①m2的铁块系在木板下刚好使木板淹没在水中处于漂浮状态，则F浮2＝G木+G2，即：ρ水g（V木+V2）＝m2g+G木，∵V2＝，∴ρ水g（V木+）＝m2g+G木﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②②﹣①得：ρ水＝m2﹣m1；解得：＝1﹣。答：的值为1﹣。【点评】本题考查了物体的漂浮条件的应用，关键是根据物体的漂浮条件得出浮力和重力相等的等式。如图A是海洋中技小组设计的打捞水中物体的装置示意图。DB是以O点为转轴的水平杠杆，OD的长度为1.6m。水平甲板上的配重E通过细绳竖直拉着杠杆D端，配重E的质量mE为25kg。安装在杠杆DB上的行走装置由支架、动滑轮X、提升电动机、定滑轮K构成，行走装置的质量m为25kg。电动机Q可以通过定滑轮S和动滑轮X拉动行走装置沿BO水平滑动。固定在提升电动机下的定滑轮K和动滑轮M组成滑轮组Y，当行走装置处于杠杆DB上C点的位置时，提升电动机拉动绳子H端，通过滑轮组Y竖直提升水中的物体A。物体A完全在水中匀速上升的过程中，滑轮组Y的机械效率为η1，甲板对配重E的支持力为N1；物体A全部露出水面匀速竖直上升的过程中，滑轮组Y的机械效率为η2，甲板对配重E的支持力为N2。滑轮组Y提升物体A的过程中，行走装置受到的水平拉力始终为零，杠杆DB在水平位置保持平衡。已知物体A的质量mA为50kg，体积V为20dm3，N1与N2之比为3：2，η1与η2之比为9：10。物体A被打捞出水面后，停留在一定高度，电动机Q开始拉动行走装置。在行走装置以0.05m/s的速度水平匀速移动的过程中，拉力T所做的功随时间变化的图像如图B所示，行走装置受到的水平拉力为F。细绳和杠杆的质量、滑轮与轴的摩擦、水对物体的阻力均忽略不计，g取10N/kg。求：（1）OC的长度；（2）拉力F。【分析】（1）A未露出水面之前排开水的体积等于A的体积，利用阿基米德原理求受到的浮力；利用G＝mg求A的重力，物体A在水中匀速上升的过程中，滑轮组的机械效率η1＝＝＝；物体A离开水面后匀速上升的过程中，滑轮组机械效率：η2＝＝＝，利用η1：η2＝9：10求动滑轮重力；利用G＝mg求行走装置的重力、配重E的重力，物体A在水中匀速上升过程中，杠杆C点受到力等于行走装置的重力、动滑轮重力、A的重力之和减去浮力，利用杠杆平衡条件求杠杆D端受到的拉力；甲板对E的支持力等于配重E的重力减去拉力；物体A在水中匀速上升过程中，杠杆C点受到力等于行走装置的重力、动滑轮重力、A的重力之和，利用杠杆平衡条件求杠杆D端受到的拉力；甲板对E的支持力等于配重E的重力减去拉力，利用N1：N2＝3：2求OC的长度；（2）行走装置以0.05m/s的速度水平匀速移动的过程中，拉力T移动速度等于行走装置移动速度的2倍，由图象可得拉力F的功率，利用P＝Fv求拉力F。【解答】解：（1）A未露出水面之前受到的浮力：F浮＝ρ水gV排＝ρ水gV＝1.0×103kg/m3×10N/kg×20×10﹣3m3＝200N；A的重力：GA＝mAg＝50kg×10N/kg＝500N；物体A在水中匀速上升的过程中，滑轮组的机械效率：η1＝＝＝＝＝；物体A离开水面后匀速上升的过程中，滑轮组机械效率：η2＝＝＝＝，因为η1：η2＝9：10，即：：＝9：10，解得动滑轮重力：G动＝100N；行走装置的重力：GC＝mg＝25kg×10N/kg＝250N，配重E的重力：GE＝mEg＝225kg×10N/kg＝2250N，物体A在水中匀速上升过程中，杠杆C点受到力：FC1＝GC+G动+GA﹣F浮＝250N+10