专题七　圆周运动的临界问题

专题七圆周运动的临界问题水平面内圆周运动的临界问题1.(多选)如图所示,在匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B,它们分居圆心两侧,与圆心距离分别为RA=r,RB=2r,与盘间的动摩擦因数μ相同,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时,下列说法正确的是(重力加速度为g)(ABC)A.此时绳子张力为FT=3μmgB.此时圆盘的角速度为ω=2C.此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外D.此时烧断绳子,A仍相对盘静止,B将做离心运动[解析]A和B随着圆盘转动时,合力提供向心力,则F=mω2r,B的运动半径比A的半径大,所以B所需向心力大,绳子拉力相等,所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时,B的最大静摩擦力方向沿半径指向圆心,A的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外,根据牛顿第二定律得FT-μmg=mω2r,FT+μmg=mω2·2r,解得FT=3μmg,ω=2μgr,故A、B、C正确;此时烧断绳子,A的最大静摩擦力不足以提供向心力,则A做离心运动,故D2.(多选)如图所示,水平转台上的小物体A、B通过轻弹簧连接,并随转台一起匀速转动,A、B的质量分别为m、2m,A、B与转台间的动摩擦因数都为μ,A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r,已知弹簧的原长为1.5r,劲度系数为k,设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g,以下说法正确的是(BD)A.若B受到的摩擦力为0,转台转动的角速度为kB.若A受到的摩擦力为0,转台转动的角速度为2C.使转台转速缓慢增大,若B比A先相对转台滑动,则当B刚好要滑动时,转台转动的角速度为kD.使转台转速缓慢增大,若A比B先相对转台滑动,则当A刚好要滑动时,转台转动的角速度为2[解析]若B受到的摩擦力为0,由弹簧弹力提供B做圆周运动的向心力,则k(2.5r-1.5r)=2mω2r,解得ω=k2m,A错误;若A受到的摩擦力为0,由弹簧弹力提供A做圆周运动的向心力,则k(2.5r-1.5r)=mω2·1.5r,解得ω=2k3m,B正确;使转台转速缓慢增大,若B比A先相对转台滑动,则当B刚好要滑动时,B与转台间的摩擦力达到最大静摩擦力且指向转台中心,此时弹簧弹力与最大静摩擦力的合力提供B做圆周运动的向心力,则有k(2.5r-1.5r)+μ·2mg=2mω2·r,解得ω=k2m+μgr,C错误;使转台转速缓慢增大,若A比B先相对转台滑动,则当A刚好要滑动时,A与转台间的摩擦力达到最大静摩擦力且指向转台中心,此时弹簧弹力与最大静摩擦力的合力提供A做圆周运动的向心力,则有k(2.5r-1.5r)+μmg=mω2·1.竖直面内圆周运动的临界问题3.如图所示,在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道,外轨内表面光滑,内轨外表面粗糙.一质量为m的小球从轨道的最低点以初速度v0向右运动,球的直径略小于两轨间距,球运动的轨道半径为R,重力加速度为g,不计空气阻力.下列说法正确的是(C)A.当v0=2gR时,B.当v0=2gR时,小球可以到达最高点C.当v0=5gR时,D.当v0=5gR时,[解析]若v0=2gR,则由12mv02=mgh可知,h=R,则小球能到达与圆轨道圆心等高处反向返回,在最低点两侧做往返运动,选项A错误;若v0=2gR,且轨道的内外壁均光滑时,小球到达最高点的速度恰好为零,但是因轨道内轨外表面粗糙,则小球与内轨接触时要损失机械能,则小球不能到达最高点,选项B错误;若小球运动时只与轨道的外轨接触而恰能到达最高点,则到达最高点时的临界满足mg=mv2R,从最低点到最高点由机械能守恒可知,12mv02=mg·2R+12mv2,解得v0=5gR,由此可知当v0=5gR4.(多选)如图所示,支架固定在底座上,它们的总质量为M.质量分别为2m和m的小球A、B(可视为质点)固定在一根长度为L的轻杆两端,该轻杆通过光滑转轴O安装在支架的横梁上,O、A间的距离为L3,两小球和轻杆一起绕轴O在竖直平面内做圆周运动,运动过程中支架和底座一直保持静止.当转动到图示竖直位置时,小球A的速度为v,重力加速度为g.对于该位置,下列说法正确的是 (BCA.小球A、B的加速度大小相等B.若v=gL3,则底座对水平地面的压力为Mg+3C.小球A、B的向心力大小相等D.若v=13gL,则底座对水平地面的压力为Mg[解析]两小球和轻杆一起绕轴O在竖直平面内做圆周运动,所以两小球的角速度相同,根据a=ω2r可知,小球A、B的加速度之比为aA∶aB=1∶2,故A错误;若v=gL3,对A有2mg-FA=2mv213L,解得轻杆对A的支持力为FA=0,根据v=ωr可知vB=2gL3,对B有FB-mg=mvB223L,解得轻杆对B的拉力为FB=3mg,以支架、底座和轻杆为对象,水平地面对底座的支持力为FT=Mg+3mg,故B正确;根据Fn=mω2r可知,A、B的向心力之比为FAn∶FBn=1∶1,故C正确;若v=13gL,对A有2mg-F'A=2mv213L,解得轻杆对A支持力为F'A=43mg,根据v=ωr可知,v'B=23gL,对B有F'B-mg=mv斜面上圆周运动的临界问题5.如图所示,倾斜放置的圆盘绕着中心轴O匀速转动,圆盘的倾角为37°,在距转动中心r=0.1m处放一小木块,小木块跟随圆盘一起转动,小木块与圆盘间的动摩擦因数μ=0.8,小木块与圆盘间的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同.已知sin37°=0.6,cos37°=0.8,g取10m/s2.若要保持小物块不相对圆盘滑动,圆盘转动的角速度最大值应为 (D)A.8rad/s B.6r