11空间向量及其运算（九大题型）（讲义）

1.1空间向量及其运算目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 3【思维导图】 3【知识点梳理】 4【典型例题】 8题型一：空间向量的有关概念 8题型二：空间向量的加减运算 9题型三：空间向量的数乘运算 12题型四：共线向量定理的应用 14题型五：共面向量及应用 17题型六：空间向量的数量积 20题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 24题型八：利用空间向量的数量积证垂直 29题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 32

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：空间向量的有关概念1、空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：空间向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知识点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。2、几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知识点二：空间向量的线性运算(1)向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法运算律①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空间向量的数乘运算①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．②运算律结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知识点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；知识点三：共线问题共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.(4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．（3）共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；（进而证线面平行）②证明三点共线。注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。知识点四：向量共面问题共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①证明四点共面②线面平行（进而证面面平行）。知识点五：空间向量数量积的运算空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0.(2)常用结论(a，b为非零向量)①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)数量积的运算律数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知识点诠释：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．知识点六：利用数量积证明空间垂直关系当a⊥b时，a·b＝0.知识点七：夹角问题1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。知识点诠释：（1）规定:（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。2、利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。知识点八：空间向量的长度1、定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：将其推广：；。2、利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。【典型例题】题型一：空间向量的有关概念【典例11】（2024·高二·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，互为相反向量，则C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，【答案】D【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误；对于B,若，互为相反向量，则，故B错误；对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误；对于D，四边形ABCD中，，故D正确.故选：D【典例12】（2024·高二·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（

）A．向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误；故选：A.【方法技巧与总结】空间向量的概念与平面向量的概念类似，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的概念．【变式11】（2024·高二·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，可知是的相反向量.故选：A【变式12】（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题：①空间向量就是空间中的一条有向线段；②在正方体中，必有；③是向量的必要不充分条件；④若空间向量满足，，则．其中正确的命题的个数是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【答案】B【解析】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误；和大小一样、方向相同，则，故②正确；若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确；向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误.综上所述，②③正确.故选：B．题型二：空间向量的加减运算【典例21】（2024·高二·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)；(2)；(3).【解析】（1）；（2）；（3），设是线段的中点，则.向量如图所示，【典例22】（2024·高二·新疆·阶段练习）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）；（2）；（3）；（4）因为E，F分别是棱AB，CD的中点，所以.【方法技巧与总结】在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．【变式21】（2024·高二·上海·课后作业）化简下列算式：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）.【变式22】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：.

【解析】，则，则.题型三：空间向量的数乘运算【典例31】（2024·高二·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确；对于B，，错误；对于C，，正确；对于D，，错误.故选：AC【典例32】（2024·高二·全国·课后作业）在空间四边形中，为△的重心，分别为和的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量．【解析】∵为△的重心，是边上的中线，∴，又，∴.标注的向量如图所示.【方法技巧与总结】利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．【变式31】（2024·高二·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】,故选:A【变式32】（2024·高二·全国·课后作业）若，其中，，为已知向量，则未知向量.【答案】【解析】由题设，则，故.故答案为：题型四：共线向量定理的应用【典例41】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．

【解析】连接，，∵，，∴，∴，又，∴，，三点共线．【典例42】（2024·高二·陕西·阶段练习）在正四棱台中，，，，，，若平面，则．

【答案】/0.75【解析】如图所示：连接，设，平面平面，因为平面，且平面，所以；因为四棱台底面为正方形，且，，所以，，从而，又因为，，所以，，因为，所以.故答案为：.【方法技巧与总结】利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．【变式41】（2024·高二·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A，B，D三点共线，求实数k的值．【解析】因为，，则有，又A，B，D三点共线，于是，即，而不共线，因此，解得，所以实数k的值是.【变式42】（2024·高二·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线.【解析】设的中点为，连接GB，GD，，，，因为G为的重心，所以，所以，所以，即三点共线.题型五：共面向量及应用【典例51】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由F为BE的中点，得又所以，由得即所以故选：D【典例52】（2024·高二·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（

）A．四点共面 B．四点共面C．四点共面 D．五点共面【答案】B【解析】由，可得，即，根据平面向量的基本定理，可得共面，又因为三个向量有公共点，所以四点共面.故选：B.【方法技巧与总结】在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【变式51】（2024·高二·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误，对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误，对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使，所以三个向量共面，因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面，所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确，对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误，故选：C【变式52】（2024·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接,因为平面，平面，设，则，又平面，所以平面，故K为与平面的交点，又因为与平面交于点F，所以F与K重合，又E为的中点，G为平面的重心，因为点A，F，G三点共线，则又因为点E，F，H三点共线，则，,所以，解得，即，故.故选：C.【变式53】（2024·高二·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点.(1)若，求的值；(2)设，，，求的值.【解析】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心，∴，∴，，，∴.（2）因为，且，，，所以，即，因为，，，共面，所以，即.【变式54】（2024·高二·河北沧州·阶段练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．(1)试用向量表示向量；(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．【解析】（1）因为，而，又D为的中点，所以，所以．（2）因为，，所以，，所以．所以四点共面．题型六：空间向量的数量积【典例61】（2024·高二·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示.(1)确定向量在直线上的投影向量，并求·；(2)确定向量在平面上的投影向量，并求.【解析】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有，因此即为在直线上的投影向量.所以·（2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面,连接并延长交于M，则M为中点，，且即为平面内的投影向量.∴【典例62】（2024·高二·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.

(1)用向量表示向量，并求；(2)求.【解析】（1）根据空间向量的线性运算，可得，可得，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，所以.【方法技巧与总结】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算．【变式61】（2024·高二·上海·课后作业）如图，棱长为的正四面体中，点为棱的中点，求与．

【解析】因为，所以；因为，所以.【变式62】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为.【答案】【解析】由题意可得点在以为球心，为半径的球上，所以，因为，所以，所以，所以的最小值为，故答案为：【变式63】（2024·高二·贵州遵义·阶段练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．

(1)设，，，用表示；(2)若，求．【解析】（1）如图所示，连接，可得，因为为的中点，则，所以，所以.（2）因为，所以，因为平面，平面，且平面,平面，所以，又因为，所以，所以.题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角【典例71】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.

(1)用，，表示，；(2)求异面直线，所成角的余弦值.【解析】（1）因为点，分别在棱，上，且，，所以，，所以，；（2）因为，，，，所以，，所以，，，所以，即异面直线，所成角的余弦值为.【典例72】（2024·高二·四川遂宁·期中）如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点(1)求证：，，为共面向量；(2)求与平面所成角的正弦值.【解析】（1）因为M，N，P分别是，，的中点，故，所以，，为共面向量；（2）四面体的每条棱长都相等，设为2，连接，因为均为等边三角形，又N是的中点，所以⊥，⊥，因为，平面，故⊥平面，所以平面的法向量为，其中，，故，又，故，，故，设与平面所成角的大小为，则.【方法技巧与总结】本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。【变式71】（2024·高二·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求：(1)的长；(2)与夹角的余弦值．【解析】（1）设，，，由题意知：，，∴，又∵，∴，∴，即的长为，（2）∵，∴，∴，，∴，即与夹角的余弦值为．【变式72】（2024·高二·四川成都·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且(1)用空间的一个基底表示，并求的长；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【解析】（1）由题，，，构成空间的一个基底．因为，所以，所以．（2）又，，所以∴∴异面直线与所成的角为，余弦值为0．【变式73】（2024·高二·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．(1)求的长．(2)求异面直线与所成的角的余弦值．【解析】（1），所以，即的长为.（2），又由余弦定理得，所以设所求异面直线所成角为，.题型八：利用空间向量的数量积证垂直【典例81】（2024·高二·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，(1)求线段的长；(2)求证：．【解析】（1）设，则，∵，则.∵，∴.故线段的长为.（2）证明：∵，∴.故.【典例82】（2024·高二·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.(1)求证：共面；(2)当为何值时，.【解析】（1）在平行六面体中，连接，因为，所以，，所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面；（2）当时，，理由如下，设，且与、与、与的夹角均为，因为底面为菱形，所以，，，若，则，即，即，解得或舍去，即时，.【方法技巧与总结】立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零.【变式81】（2024·高二·河南周口·阶段练习）如图，正方体的棱长为