2024届河南省普高高三下学期联考测评（六）数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省普高2024届高三下学期联考测评（六）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知非空集合，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为集合是非空集合，所以，解得或，即实数a的取值范围为，故选：C.2.复数的虚部为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因为，所以复数的虚部为.故选：B.3.国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（）．A.325个 B.300个 C.225个 D.175个〖答案〗C〖解析〗根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为（个）．故选：C.4.3名同学从人工智能、密码学与算法、计算机科学、信息安全四门课程中任选一门学习，则仅有计算机科学未被选中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗除了计算机科学外，每门课程有一名同学选择，故概率为.故选：B.5.已知函数的定义域为R，．设p：是增函数，q：是增函数，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗若，则，可知在定义域上并不是增函数，故p不是q的充分条件；若，易得是增函数，此时在定义域上并不是增函数，故p不是q的必要条件．综上可知，p是q的既不充分也不必要条件．故选：D．6.设内角，，的对边分别为，，，已知，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，，所以，所以，设的外接圆半径为，则，则的外接圆的面积．故选：A．7.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的图象的对称轴可以为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得的图象关于点对称，即对任意，有，取，可得，即．故，令，，可得的图象的对称轴为，．故选：D．8.已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（）A.点E在定直线上 B.点E在定直线上C.点E在定直线上 D.点E在定直线上〖答案〗A〖解析〗由题意知,设直线l的方程为,设,联立消去得,所以，所以所以的中点，因为,所以，即,整理得,所以E在定直线上，故选:A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题为假命题的是（）．A.如果，，，那么B.如果，，那么C.如果，，那么D.如果，，那么m与所成的角和n与所成的角的大小不相等〖答案〗AD〖解析〗对于A，可运用长方体，举反例说明其错误，如图，不妨设为直线m，为直线n，平面为，平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故A为假命题；对于B，设过直线n的某一个平面与平面相交于直线l，则，由知，从而，故B为真命题；对于C，如果，，则，故C为真命题；对于D，如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等，故D为假命题．故选：AD．10.设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（）A.C的离心率为 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，则，所以C的离心率为，故A正确；对于B，设Ax1,联立，消去x可得，则，解得；，，则，，所以，故B错误；对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，当F为右焦点时，，因为，所以，当且仅当或2时取等号，所以．显然当F为左焦点时，，所以，故D正确．故选：ACD．11.定义无穷有界级数，且零项级数，则（）A. B.C D.，〖答案〗BCD〖解析〗由，可得，所以，同理，所以，，其中第项为，，即可得，因为，令，得，令，得，令，得，同理可得，即可得选项BC正确，A错误，由上述前9项的值可知，当为奇数时，除之外，其余均为0，即，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.__________．〖答案〗〖解析〗，又，所以，所以.13.已知曲线与直线相切，则______．〖答案〗2〖解析〗由，求导得，设直线与曲线的切点为，则，整理得，令，求导得，由，得或，当或时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，而，，，则函数有唯一零点，该零点在内，又，于是方程的解为，所以.14.在三棱锥中，，，则三棱锥体积的最大值为_______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，设，点在平面内的射影为，连接，则，所以，因为，所以点与在的同侧，则四边形为梯形，记，则则三棱锥体积为，因为，所以，故，则，设，则，令，则，即时，取得最大值，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．解：（1）设等差数列的公差为d，由题意可得，解得，所以．（2）设，所以，所以，两式相减得，，所以，所以．16.已知抛物线的焦点为F，点为C上一点．（1）求直线的斜率；（2）经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线的距离为，求以线段为直径的圆的标准方程．解：（1）将代入抛物线方程可得，解得，故F1,0．所以．（2）由题意，直线的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在，则原点O到直线l的距离为1，矛盾），所以设直线的方程为．联立，化简得，显然，设Ax1,y1，B，所以以线段为直径的圆的圆心、半径分别为，．因为原点O到直线l的距离为，所以，解得，所以圆心、半径分别为，，所以圆的标准方程为或．17.某校甲、乙两个数学兴趣班要进行扩招，经过数学兴趣班的海报宣传，共有4名数学爱好者a，b，c，d报名参加（字母编号的排列是按照报名的先后顺序而定）．现通过一个小游戏进行分班，规则如下：在一个不透明的箱子中放有红球和黑球各2个，红球和黑球除颜色不同之外，其余大小、形状完全相同，按报名先后顺序，先由第一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱子中；接着由下一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至4名数学爱好者均摸球完毕．数学爱好者若摸出红球，则被分至甲班，否则被分至乙班．（1）求a，b，c三名数学爱好者均被分至同一个兴趣班的概率；（2）记甲、乙两个兴趣班最终扩招人数分别为e，f，记，求．解：（1）a，b，c三人均被分至同一个兴趣班，即三人同被分至甲班或乙班，记事件“a被分至甲班”，事件“b被分至甲班”，事件“c被分至甲班”，当a即将摸球时，箱子中有2个红球和2个黑球，则a被分至甲班即a摸出红球的概率为；当a被分至甲班，b即将摸球时，箱子中有2个红球和3个黑球，则b被分至甲班即b摸出红球的概率为；当a，b均被分至甲班，c即将摸球时，箱子中有2个红球和4个黑球，则c被分至甲班即c摸出红球的概率为；所以，，同理可知，数学爱好者a，b，c均被分至乙班的概率也为，所以a，b，c三人均被分至同一个兴趣班的概率为．（2）由题意，X的可能取值为4，2，0，为4名数学爱好者被分至同一班，则，为4名数学爱好者中有3名均被分至同一班，其余1名被分至另一班，设第名数学爱好者被单独分至另一班，则，，，，所以，为4名数学爱好者中各有2名被分至甲班和乙班，则，所以．18.设函数，是否存在正整数a，使得，？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：由题意可得，且，当时，，舍去．当时，，故，令，则，又，对于，有，即在上单调递增，所以，故恒成立，所以，即在上单调递增，又，则，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，符合题意．当时，令，则，，所以，舍去．综上，存在正整数a，使得，，a的值为2.19.在空间〖解析〗几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量.（1）指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由；（2）证明：直线在曲面上；（3）若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.（1）解：根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为，已知曲面的方程为，当时，平面截曲面所得交线上的点满足，即，也即在平面上到原点距离为定值1，从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆.（2）证明：设直线上任意一点，由，均为直线的方向向量，有，从而存实数，使得，即，则，解得，所以点的坐标为，于是，因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上.（3）解：直线在曲面上，且过点，设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由，均为直线的方向向量，有，从而存在实数，使得，即，则，解得，所以点的坐标为，∵在曲面上，∴，整理得，由题意，对任意的，有恒成立，∴，且，∴，或，不妨取，则，或，∴，或，又直线的方向向量为，则异面直线与所成角的余弦值均为河南省普高2024届高三下学期联考测评（六）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知非空集合，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为集合是非空集合，所以，解得或，即实数a的取值范围为，故选：C.2.复数的虚部为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗因为，所以复数的虚部为.故选：B.3.国内某优秀新能源电池制造企业在锂电池单位能量密度技术上取得了重大突破，该制造企业内的某车间有两条生产线，分别生产高能量密度锂电池和低能量密度锂电池，总产量为400个锂电池．质检人员采用分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为80的样本进行质量检测，已知样本中高能量密度锂电池有35个，则估计低能量密度锂电池的总产量为（）．A.325个 B.300个 C.225个 D.175个〖答案〗C〖解析〗根据分层随机抽样可知低能量密度锂电池的产量为（个）．故选：C.4.3名同学从人工智能、密码学与算法、计算机科学、信息安全四门课程中任选一门学习，则仅有计算机科学未被选中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗除了计算机科学外，每门课程有一名同学选择，故概率为.故选：B.5.已知函数的定义域为R，．设p：是增函数，q：是增函数，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗若，则，可知在定义域上并不是增函数，故p不是q的充分条件；若，易得是增函数，此时在定义域上并不是增函数，故p不是q的必要条件．综上可知，p是q的既不充分也不必要条件．故选：D．6.设内角，，的对边分别为，，，已知，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，，所以，所以，设的外接圆半径为，则，则的外接圆的面积．故选：A．7.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的图象的对称轴可以为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得的图象关于点对称，即对任意，有，取，可得，即．故，令，，可得的图象的对称轴为，．故选：D．8.已知椭圆C：的下顶点为A，斜率不为0的直线与C交于B，D两点，记线段的中点为E，若，则（）A.点E在定直线上 B.点E在定直线上C.点E在定直线上 D.点E在定直线上〖答案〗A〖解析〗由题意知,设直线l的方程为,设,联立消去得,所以，所以所以的中点，因为,所以，即,整理得,所以E在定直线上，故选:A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列命题为假命题的是（）．A.如果，，，那么B.如果，，那么C.如果，，那么D.如果，，那么m与所成的角和n与所成的角的大小不相等〖答案〗AD〖解析〗对于A，可运用长方体，举反例说明其错误，如图，不妨设为直线m，为直线n，平面为，平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故A为假命题；对于B，设过直线n的某一个平面与平面相交于直线l，则，由知，从而，故B为真命题；对于C，如果，，则，故C为真命题；对于D，如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等，故D为假命题．故选：AD．10.设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（）A.C的离心率为 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为，则，所以C的离心率为，故A正确；对于B，设Ax1,联立，消去x可得，则，解得；，，则，，所以，故B错误；对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；对于D，当F为右焦点时，，因为，所以，当且仅当或2时取等号，所以．显然当F为左焦点时，，所以，故D正确．故选：ACD．11.定义无穷有界级数，且零项级数，则（）A. B.C D.，〖答案〗BCD〖解析〗由，可得，所以，同理，所以，，其中第项为，，即可得，因为，令，得，令，得，令，得，同理可得，即可得选项BC正确，A错误，由上述前9项的值可知，当为奇数时，除之外，其余均为0，即，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.__________．〖答案〗〖解析〗，又，所以，所以.13.已知曲线与直线相切，则______．〖答案〗2〖解析〗由，求导得，设直线与曲线的切点为，则，整理得，令，求导得，由，得或，当或时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，而，，，则函数有唯一零点，该零点在内，又，于是方程的解为，所以.14.在三棱锥中，，，则三棱锥体积的最大值为_______.〖答案〗〖解析〗因为，所以，设，点在平面内的射影为，连接，则，所以，因为，所以点与在的同侧，则四边形为梯形，记，则则三棱锥体积为，因为，所以，故，则，设，则，令，则，即时，取得最大值，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．解：（1）设等差数列的公差为d，由题意可得，解得，所以．（2）设，所以，所以，两式相减得，，所以，所以．16.已知抛物线的焦点为F，点为C上一点．（1）求直线的斜率；（2）经过焦点F的直线与C交于A，B两点，原点O到直线的距离为，求以线段为直径的圆的标准方程．解：（1）将代入抛物线方程可得，解得，故F1,0．所以．（2）由题意，直线的斜率存在且不为0（若直线斜率不存在，则原点O到直线l的距离为1，矛盾），所以设直线的方程为．联立，化简得，显然，设Ax1,y1，B，所以以线段为直径的圆的圆心、半径分别为，．因为原点O到直线l的距离为，所以，解得，所以圆心、半径分别为，，所以圆的标准方程为或．17.某校甲、乙两个数学兴趣班要进行扩招，经过数学兴趣班的海报宣传，共有4名数学爱好者a，b，c，d报名参加（字母编号的排列是按照报名的先后顺序而定）．现通过一个小游戏进行分班，规则如下：在一个不透明的箱子中放有红球和黑球各2个，红球和黑球除颜色不同之外，其余大小、形状完全相同，按报名先后顺序，先由第一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱子中；接着由下一名数学爱好者从箱子中不放回地摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至4名数学爱好者均摸球完毕．数学爱好者若摸出红球，则被分至甲班，否则被分至乙班．（1）求a，b，c三名数学爱好者均被分至同一个兴趣班的概率；（2）记甲、乙两个兴趣班最终扩招人数分别为e，f，记，求．解：（1）a，b，c三人均被分至同一个兴趣班，即三人同被分至甲班或乙班，记事件“a被分至甲班”，事件“b被分至甲班”，事件“c被分至甲班”，当a即将摸球时，箱子中有2个红球和2个黑球，则a被分至甲班即a摸出红球的概率为；当a被分至甲班，b即将摸球时，箱子中有2个红球和3个黑球，则b被分至甲班即b摸出红球的概率为；当a，b均被分至甲班，c即将摸球时，箱子中有2个红球和4个黑球，则c被分至甲班即c摸出红球的概率为；所以，，同理可知，数学爱好者a，b，c均被分至乙班的概率也为，所以a，b，c三人均被分至同一个兴趣班的概率为．（2）由题意，X的可能取值为4，2，0，为4名数学爱好者被分至同一班，则，为4名数学爱好者中有3名均被分至同一班，其余1名被分至另一