2024-2025学年北京市海淀区育英学校高三上学期10月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区育英学校高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=Z，集合A=x∈Z∣−2<x<2,B=−1,0,1,2，则∁A.−1,2 B.1 C.0,1 D.22.在复平面上，复数1+ai2−i所对应的点在第二象限，则实数a的值可以为(

)A.−12 B.1 C.2 3.sin1050∘的值为(

)A.−12 B.12 C.−4.下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是(

)A.y=sinx B.y=x|x| C.y=tan5.平面向量a⇀与向量b⇀满足a⇀⋅(a⇀+b⇀)=3，且A.π6 B.π3 C.2π36.已知函数fx=2sinωx+φω>0,φ<πA.3 B.1 C.−1 D.7.设a=20.3，b=sinπ12，A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c8.在▵ABC中，A=π4，则“sinB<22A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件9.分贝(dB)、奈培(Np)均可用来量化声音的响度，其定义式分别为1dB=10lgAA0，1Np=12lnAA0，其中A为待测值，AA.8.686 B.4.343 C.0.8686 D.0.11510.已知点集Λ=(x,y)|x∈Z,y∈Z,S=(a,b)∈Λ|1≤a≤5,1≤b≤5.设非空点集T⊆Λ，若对S中任意一点P，在T中存在一点Q(Q与P不重合)，使得线段PQ上除了点P,Q外没有Λ中的点，则TA.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=3−xlg(x+1)的定义域为12.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α∈π6,π3，则cos13.已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足BA=2DB−2DC，则ACBC14.已知函数fx=1x−a(1)当a=0时，函数fx的单调递增区间为

(2)若函数fx的值域为A，存在实数m∉A，则a的取值范围为

．15.已知函数fx=λsinπ2x+φλ>0,0<φ<π的部分图象如图1所示，A、B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于A′，点C为该部分图象与x轴的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时给出下列四个结论：①φ=π②图2中，AB⋅③图2中，过线段AB的中点且与AB垂直的平面与x轴交于点C；④图2中，S是▵A′BC及其内部的点构成的集合.设集合T=Q∈SAQ≤2，则T其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)在▵ABC中，b2(1)求∠A；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使▵ABC存在且唯一确定，求▵ABC的面积．条件①：cosB=条件②：a+b=12；条件③：c=12．注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．17.(本小题12分)已知函数fx=x(1)求曲线y=fx在点1,f(2)求函数fx在0,2(3)求证：存在唯一的x0，使得fx18.(本小题12分)已知函数f(x)=2sin(1)求f(x)的单调递减区间；(2)设g(x)=f(x)fx−π6.当x∈[0,m]时，g(x)的取值范围为0,2+19.(本小题12分)已知数列an的前n项和Sn满足Sn(1)如果λ=0，求数列an(2)如果λ=2，求证：数列an+1(3)如果数列an为递增数列，求λ的取值范围．20.(本小题12分)已知函数f(x)=mxln(1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)≤0在区间[1,+∞)上恒成立，求m的取值范围；(3)试比较ln4与221.(本小题12分)给定整数nn≥2，数列A2n+1:x1、x2、⋯、x2n+1每项均为整数，在A2n+1中去掉一项xk，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为mk (Ⅰ)已知数列A5:1、2、3、3、3，写出m1、m2、(Ⅱ)若x1≤x2≤⋯≤x2n+1，当i−n+1j−n+1≥0(Ⅲ)已知数列A2n+1的特征值为n−1，求1≤i<j≤2n+1x参考答案1.D

2.D

3.A

4.B

5.C

6.A

7.B

8.A

9.A

10.B

11.(−1,0)∪(0,3]

12.−113.3

14.1,+∞；15.3

；

；

；

；

；；②③16.解：(1)因为

b2+c2−a又因为

A∈(0,π)

，所以

A=π3(2)由(1)知

A=π3若选①②：

cosB=1114

，

由

cosB=1114

，可得

由正弦定理

asinA=bsinB

，可得

a32=又由余弦定理

a2=b2+c即

c2−5c−24=0

，解得

c=8

或

c=−3

(舍去所以

▵ABC

的面积为

S=12若选①③：

cosB=1114

且

由

cosB=1114

，可得

因为

A+B+C=π

，可得

sinC=sin由正弦定理

asinA=csinC

，可得

a所以

▵ABC

的面积为

S=12若选：②③：

a+b=12

且

c=12

，因为

b2+c2−a2=bc

，可得解得

b=0

，不符合题意，(舍去)．

17.解：(Ⅰ)由f(x)=x3−x，得f′(x)=3x2−1，

所以f′(1)=2，又f(1)=0，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y−0=2(x−1)，

即：2x−y−2=0；

(Ⅱ)令x[0,(f−0+f(x)单调递减极小值单调递增因为f(0)=0，f(2)=6，

所以函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为6；

(Ⅲ)证明：设ℎ(x)=f(x)−g(x)=x3−3x+3，

则ℎ′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)，

令ℎ′x(−∞,−1)−1(−1,1)1(1,+∞)ℎ+0−0+ℎ(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增则ℎ(x)的增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，减区间为(−1,1)，

又ℎ(1)=1>0，ℎ(−1)>ℎ(1)>0，所以函数ℎ(x)在(−1,+∞)没有零点，

又ℎ(−3)=−15<0，

所以函数ℎ(x)在(−∞,−1)上有唯一零点x0，

综上，在(−∞,+∞)上存在唯一的x0，使得18.解：(Ⅰ)函数的单调递减区间满足的条件为：π2+2kπ≤x+π6≤32π+2kπ，k∈Z，

解得：π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ，k∈Z，

所以f(x)的单调递减区间为{x|π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z}；

(Ⅱ)由题意可得：g(x)=2sin(x+π6)⋅2sinx

=23sin2x+2sinxcosx

=319.(1)λ=0时，Sn当n=1时，a1当n≥2时，an所以an(2)证明：当λ=2时，Sn所以Sn+1相减得：an+1所以an+1又有Sn=2an−n3所以数列an+13为首项为所以an+1(3)由(1)可知，显然λ≠0当n=1时，则S1=λa当n≥2时，SnSn−1相减得an即an因为λ≠±1，所以a1所以an所以an因为数列an所以{1λ+1所以λ的取值范围是λ>1或λ<−1．

20.解：(1)当

m=1

时，

f(x)=xln x−∴f′x=所以曲线

fx

在点

1,f1

处切线的斜率

k=f′(1)=−1

，又

f所以曲线

fx

在点

1,f1

处切线的方程为

y=−x−1

即

(2)

fx≤0

在区间

1,+∞

上恒成立，即

mxlnx−x2即

mlnx−x+1x≤0

令

gx=mlnx−x+1xg′(x)=mx−1−1x2当

m≤0

时，有

mx≤0

，则

g′x<0∴gx

在

1,+∞

∴gx≤g当

m>0

时，令

ℎ(x)=−x2其对应方程

−x2+mx−1=0

的判别式

若

Δ≤0

即

0<m≤2

时，有

ℎx≤0

，即

g′∴gx

在

1,+∞

∴gx≤g若

Δ>0

即

m>2

时，

ℎx=−x2+mx−1

，对称轴

x=m方程

−x2+mx−1=0

的大于1的根为

∴x∈1,x0

，

ℎx>0

x∈x0,+∞

，

ℎx<0

所以函数

gx

在

1,x0

上单调递增，

综上，

fx≤0

在区间

1,+∞

上恒成立，实数

m

的取值范围为

−∞,2(3)由(2)知，当

m=2

时，

fx≤0

，在区间

1,+∞即

2xlnx≤x2−1

取

x=2

代入上式得

22ln

21.(Ⅰ)由题知：m1=3+3−2+3A5的特征值为1(Ⅱ)m理由如下：由于i−n+1当i、j∈1,2,⋯,n+1根据定义可知：mi同理可得：mj所以mi−m当i、j∈n+1,n+2,⋯,2n+1m=mj所以mi−m综上有：mi(Ⅲ)不妨设x11≤i<j≤2n+1