2024-2025学年江西省宜春市丰城中学高三（上）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省宜春市丰城中学高三（上）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−x=0}，集合B={x∈N∗|−1≤x<3}，则下列结论正确的是A.1⊆(A∩B) B.1∈(A∩B) C.A∩B=⌀ D.A∪B=B2.已知集合A和集合B满足：A∩B有2个元素，A∪B有6个元素，且集合A的元素个数比集合B的元素个数多2个，则集合A的所有子集个数比集合B的所有子集个数多(

)A.22 B.23 C.24 D.253.下列选项中表示同一函数的是(

)A.f(x)=x0与g(x)=1

B.f(x)=x与g(x)=x2x

C.f(x)=(x−14.已知二次函数fx满足f(2)=−1,f(1−x)=f(x)，且fx的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)=(

)A.−4x2+4x+7 B.4x2+4x+75.下列说法正确的是(

)A.“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件

B.命题“∀x∈(0,+∞)，x+1x>1”的否定是“∀x∈(0,+∞)，x+1x≤1”

C.cos26.已知函数f(x)=ax,x<0(a−2)x+3a,x≥0，满足对任意x1≠x2A.a∈(0,1) B.a∈[34,1) C.a∈(0,7.已知a=ln22，b=1e，c=2ln39，则A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a8.已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)−3ex是奇函数，则A.e B.22 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是(

)A.M={0,2,4,6}，N={4}

B.M={x|x2<1}，N={x|x>−1}

C.M={x|y=lgx}，N={y|y=ex10.已知实数a，b∈R+，且2a+b=1，则下列结论正确的是(

)A.ab的最大值为18 B.a2+b2的最小值为25

C.11.已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(x+1)为偶函数，且f(3−x)+g(x)=1，f(x)−g(1−x)=1，则下列判断正确的是(

)A.f(x)的图象关于点(2,1)中心对称 B.f(x)与g(x)均为周期为4的周期函数

C.i=12022f(i)=2022三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知幂函数f(x)过点(2,22)，若f(a+1)<f(3−2a)，则实数13.若关于x的不等式x2−mx+3m−2≥0在区间[1,2]上有解，则实数m的取值范围是______．14.设集合A={x|x2+2x−3>0}，集合B={x|x2−2ax−1≤0,a>0}.若四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知集合A={x|a−1⩽x⩽2a+3}，B={x|−1⩽x⩽4}，全集U=R．(1)当a=1时，求(∁(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．16.(本小题12分)

已知函数f(x)=x2−5,x≥01x+1,x<0．

(1)若f(m)=4，求实数m的值；

(2)17.(本小题12分)

哈尔滨市某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗，利用暑假时间在教学楼的屋顶和外墙建造隔热层．本次施工要建造可使用30年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．由于建造工艺及耗材等方面的影响，该教学楼每年的能源消耗费用T(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：

当0≤x≤5时，T(x)=k3x+4；当5<x≤10时，T(x)=160(x2−30x+235)；

若不建隔热层，每年能源消耗费用为5万元．

设f(x)为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及18.(本小题12分)

已知函数f(x)=mx+nx2+1是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=1

(1)求m，n的值；

(2)用定义法判定f(x)的单调性；

(3)求使f(a−1)+f(a19.(本小题12分)

俄国数学家切比雪夫(II.JI.Чебышев,1821−1894)是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合I上的函数f(x)，以及函数g(x)=kx+b(k,b∈R)，切比雪夫将函数y=|f(x)−g(x)|，x∈I的最大值称为函数f(x)与g(x)的“偏差”．

(1)若f(x)=x2(x∈[0,1])，g(x)=−x−1，求函数f(x)与g(x)的“偏差”；

(2)若f(x)=x2(x∈[−1,1])，g(x)=x+b，求实数b，使得函数参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.D

6.C

7.C

8.B

9.ACD

10.AD

11.ABD

12.(213.[−2,+∞)

14.[315.解：(1)当a=1时，则A={x|0≤x≤5}，B={x|−1≤x≤4}，

∁UA={x|x<0或x>5}，(∁UA)∩B={x|−1≤x<0}；

(2)若A⊆B，则：

①A=⌀时，a−1>2a+3，

∴a<−4，此时满足题意；

②A≠⌀时，a≥−4a−1≥−12a+3≤4,

∴0≤a≤16.解：(1)当m≥0时，f(m)=m2−5=4，解得m=3或m=−3(舍去)；

当m<0时，f(m)=1m+1=4，解得m=−34．

所以m的值为3或−34；

(2)当a≥0时，f(a)=a2−5≥−5>−6，不符合题意，

所以a<0，且17.解：(1)由题意当x=0时，T(0)=5，即k4=5，解得k=20，

∵当0≤x≤5时，T(x)=203x+4，∴当0≤x≤5时，f(x)=203x+4×30+8x=6003x+4+8x；

∵当5<x≤10时，T(x)=160(x2−30x+235)，∴当5<x≤10时，f(x)=30×160(x2−30x+235)+8x=12x2−7x+2352；

∴f(x)=6003x+4+8x,0≤x≤512x2−7x+2352,5<x≤10；

(2)由(1)知f(x)=6003x+4+8x,0≤x≤512x2−7x+2352,5<x≤10，

当0≤x≤5时，f(x)=6003x+4+8x，则f′(x)=−1800(3x+4)218.解：(1)依题意，f(0)=n=0f(1)=m+n2=1，解得m=2n=0，

则f(x)=2xx2+1．

经检验符合题意，

故m=2，n=0．

(2)f(x)=2xx2+1在[−1,1]上是增函数．

证明如下：设∀x1，x2∈[−1,1]，且x1<x2，

则f(x1)−f(x2)=2x1x12+1−2x2x22+1=2x1(x22+1)−2x2(x12+1)(x19.解：(1)y=|f(x)−g(x)|=|x2+x+1|=|(x+12)2+34|=(x+12)2+34，x∈[0,1]，因为x∈[0,1]，

由二次函数的性质可得y=(x+12)2+34∈[1,3]，

故函数f(x)与g(x)的“偏差”为3；

(2)令t(x)=f(x)−g(x)=x2−x−b=(x−12)2−b−14，x∈[−1,1]，

因为t(−1)=2−b，t(12)=−b−14，t(1)=−b，

令ℎ(x)=|t(x)|=|(x−12)2−b−14|，x∈[−1,