2024-2025学年北京市西城区铁路二中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区铁路二中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、1.设集合A={y|y=2x,x∈R}，B={x|A.{x|−1<x<1} B.{x|0<x<1} C.{x|x>−1} D.{x|x>0}2.函数f(x)=x−1x−4的定义域为A.(1,4) B.[1,4)

C.(−∞,1)∪(4,+∞) D.(−∞,1]∪(4，+∞)3.已知角α的终边经过点(−1,2)，则tan2α的值为(

)A.45 B.−45 C.−4.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(

)A.y=x2+sinx B.y=x2−cosx5.已知sin(π2+α)=35，A.35 B.−35 C.46.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{A.−24 B.−3 C.3 D.87.已知函数f(x)=lnx+ax，则“a<0”是“函数f(x)在区间(1,+∞)上存在零点”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数f(x)=−x2−ax−5(x≤1)ax(x>1)是A.−3≤a<0 B.−3≤a≤−2 C.a≤−2 D.a<09.已知正实数a，b满足不等式ab+1<a+b，则函数f(x)=loga(x+b)的图象可能为A.B.C.D.10.关于函数f(x)=sin|x|+|①f(x)是偶函数

②f(x)在区间(π2,π)单调递增

③f(x)在[−π,π]有4个零点

其中所有正确结论的编号是(

)A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.设i是虚数单位，复数a+i2−i是纯虚数，则实数a=______．12.已知α∈(π2,π)，sinα=45，则13.已知(x−ax)7展开式中x5的系数为2114.数列{an}的前n项和记为Sn，若Sn=n2+3n2，n∈N+，则数列{15.一辆赛车在一个周长为3km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反应了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．

根据图1，有以下四个说法：

①在这第二圈的2.6km到2.8km之间，赛车速度逐渐增加；

②在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6km；

③大约在这第二圈的0.4km到0.6km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；

④在图2的四条曲线(注：s为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹．

其中，所有正确说法的序号是______．16.已知函数f(x)=|2x−a|−kx−3，给出下列四个结论：

①若a=1，则函数f(x)至少有一个零点；

②存在实数a，k，使得函数f(x)无零点；

③若a>0，则不存在实数k，使得函数f(x)有三个零点；

④对任意实数a，总存在实数k使得函数f(x)有两个零点．

三、解答题：本题共6小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题13分)

在△ABC中，∠A=60°，c=37a.

(1)求sinC的值；

(2)若a=7，求18.(本小题14分)

已知函数f(x)=cos2ωx+3sinωxcosωx+m(ω>0,m∈R).再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数f(x)的解析式的两个作为已知．

(Ⅰ)求f(x)的解析式及最小值；

(Ⅱ)若函数f(x)在区间[0,t](t>0)上有且仅有1个零点，求t的取值范围．

条件①：函数f(x)的最小正周期为π；

条件②：函数f(x)的图象经过点(0,12)；19.(本小题14分)

为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：毕业去向继续学习深造单位就业自主创业自由职业慢就业人数2005601412898假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．

(Ⅰ)若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；

(Ⅱ)从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求X的分布列和数学期望E(X)；

(Ⅲ)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a(0<a<98)人选择了如表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s2.当a为何值时，s2最小．(20.(本小题15分)

已知函数f(x)=12ax2+lnx，其中a∈R．

(Ⅰ)求f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若f(x)21.(本小题15分)

已知函数f(x)=xlnx−x2+1．

(Ⅰ)求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)判断f(x)的零点个数，并说明理由；

(Ⅲ)证明：函数y=f(x)−xe22.(本小题15分)

设λ为正实数，若各项均为正数的数列{an}满足：∀n∈N∗，都有an+1≥an+λ.则称数列{an}为

P(λ)数列．

(Ⅰ)判断以下两个数列是否为P(2)数列：

数列A：3，5，8，13，21；

数列B：log25，π，5，10．

(Ⅱ)若数列{bn}满足b1>0且bn+1=bn+n+3−n+1，是否存在正实数λ，使得数列参考答案1.C

2.D

3.D

4.A

5.C

6.A

7.C

8.B

9.B

10.C

11.1212.−3+413.−3

14.n+1，n∈N+

15.①④

16.①②④

17.解：(1)∠A=60°，c=37a，

由正弦定理可得sinC=37sinA=37×32=3314；

(2)a=7，则c=3，

∴C<A18.解：(Ⅰ)由题可知，

f(x)=cos2ωx+3sinωxcosωx+m

=32sin2ωx+12cos2ωx+m+12

=sin(2ωx+π6)+m+12，

选择①②：

因为T=2π2ω=π，所以ω=1，

又因为f(0)=1+m=12，所以m=−12，

所以f(x)=sin(2x+π6)，

当2x+π6=2kπ−π2,k∈Z，

即x=kπ−π3,k∈Z时，f(x)=−1，

所以函数f(x)的最小值为−1；

选择①③：

因为T=2π2ω=π，所以ω=1，

又因为函数f(x)的最大值为m+32=32，

所以m=0，

所以f(x)=sin(2x+π6)+12，

当2x+π6=2kπ−π2,k∈Z，即x=kπ−π3,k∈Z时，

sin(2x+π6)=−1，

所以函数f(x)的最小值为−1+12=−12；

选择②③：

因为f(0)=1+m=12，所以m=−12，

因为函数f(x)的最大值为m+32=32，所以m=0，

∵m的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去；

(Ⅱ)选择①②：

令19.j解：(I)由题意得，该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数为2500×5601000=1400．

(II)由题意得，样本中1000名毕业生选择“继续学习深造”的频率为2001000=15．

用频率估计概率，从该地区2021届大学毕业生中随机选取1名学生，估计该生选择“继续学习深造”的概率为15．

随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．

所以P(X=0)=C30(15)

X

0

1

2

3

P

64

48

12

1E(x)=0×64125+1×48125+2×12125+3×20.解：(1)由题意可得函数f(x)=12ax2+lnx的定义域为(0,+∞)，

由求导公式可得：f′(x)=ax+1x=ax2+1x，(0,+∞)，

当a≥0时，f′(x)=ax2+1x>0，f(x)在(0,+∞)单调递增；

当a<0时，令ax2+1x>0，可解得x<−1a，即f(x)在(0,−1a)单调递增，

同理由ax2+1x<0，可解得x>−1a，即f(x)在(−1a,+∞)单调递减．

(2)由(1)可知：若a≥0时，f(x)在(0,1]单调递增，

故函数在x=1处取到最大值f(1)=1221.解：(Ⅰ)由f(x)=xlnx−x2+1，得f′(x)=lnx+1−2x，

所以f′(1)=ln1+1−2=−1，又f(1)=ln1−12+1=0，

所以f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−0=−1(x−1)，即x+y−1=0；

(Ⅱ)f′(x)=lnx+1−2x，令ℎ(x)=lnx+1−2x，所以ℎ′(x)=1x−2，

当0<x<12，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)在(0,12)上单调递增，

当x>12时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)在(12,+∞)上单调递减，

所以ℎ(x)≤ℎ(12)=ln12+1−2×12=ln12<0，

即f′(x)=lnx+1−2x<0对(0,+∞)恒成立，所以f(x)在(0,+∞)单调递减，

又f(1)=ln1−12+1=0，

所以f(x)的零点个数为1个；

(Ⅲ)证明：要证函数y=f(x)−xex+x2的图象在直线y=−2x+1的下方，

即证f(x)−xex+x2<−2x+1，即证xlnx−x2+1−xex+x2<−2x+1，即证xlnx−xex+2x<0，

又x>0，所以即证lnx−ex+2<0，即证lnx<ex−2，

令g(x)=lnx−x+1，求导得g′(x)=1x−1，

22.解：(Ⅰ)根据定义，P(2)数列应满足∀n∈N∗，an+1≥an+2，

即an+1−an≥2恒成立，

对于数列A：有5−3=2≥2，8−5=3≥2，13−8=5≥2，21−13=8≥2，

均满足，∴数列A是P(2)数列；

对于数列B：∵5−π<2，不满足，∴数列B不是P(2)数列；

(Ⅱ)不存在正实数λ，使得数列{bn}是P(λ)数列．

理由如下：

假设存在正实数λ，使得数列{bn}是P(λ)数列，

则∀n∈N∗，都有bn+1≥bn+λ，∴bn+1−bn≥λ恒成立，

∵bn+1=bn+n+3−n+1，

∴bn+1−bn=n+3−n+1=2n+3+n+1<1n，

当n>1λ2时，bn+1−bn<1n<λ，这与假设矛盾，

∴不存在正实数λ，使得数列{bn}