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文档简介
6.4逆z变换称为逆z变换C为收敛域内任一简单闭合曲线由于工程中出现的离散时间信号一般为单边右序列(因果序列),本节重点研究单边逆z变换。即求逆z变换的方法有:查表法、幂级数展开法、部分分式法和围线积分法(留数法)。6.4.1幂级数展开法(长除法)根据z变换的定义若将展开为的幂级数,则对应的的系数就是原序列相应的值。例6-9已知。求其逆z变换。解:因指数函数可展开为幂级数故也可展开为可得原序列例6-10已知,(收敛域为),求其逆z变换。解:由收敛域可知为右边序列,故应将展成z的负次幂级数形式。将的分子、分母按z的降幂次序排列为进行长除可得所以结论:因果序列,的分子、分母按z的降幂次序排列。如果是左边序列,则分子、分母应按z的升幂(或的降幂)次序进行排列,然后利用长除法,便可将展成幂级数,从而得到。幂级数展开法的缺点在于序列一般难以写成闭合形式。6.4.2部分分式展开法对于因果序列,式中正整数。可将展开成若干简单的部分分式之和,然后分别求出部分分式的逆z变换,最后根据z变换线性性质求得原对应序列。⑵将展开为部分分式⑶将展开的部分分式乘以z,即得到的部分分式表示式⑷对各部分分式进行逆z变换⑸写出原序列基本步骤如下:⑴将除以z,得1.仅含有单实极点若仅含有单实极点,则为待定系数例6-11已知,求z逆变换。解:将其展开为部分分式两边同乘以z,得故2.含有共轭单极点若含有一对共轭单极点,其余为单实极点,则可得故例6-12已知,求其逆z变换。解:3.含有多重极点设在处有阶重极点,其余均为单实极点6.4.3围线积分法(留数法)设双边序列的z变换为
在z平面上以原点为中心的同心圆之间的环形域内解析,由复变函数理论可知,在环形域内任一点可展开为如下罗朗级数式中,罗朗级数的系数为
是收敛域内围绕原点逆时针方向的任一简单闭合曲线。根据逆z变换的定义式可知因此式中,。该式就是计算逆z变换的反演积分公式。式中。为的极点,Res表示极点的留数。上式积分值等于所包围的极点的留数之和1.的收敛域为,即函数的极点均位于围线C内为因果序列函数的极点均位于围线C之外2.的收敛域为
为左序列,式中负号是因为对于C的外部区域而言,其积分路径方向相反所致。3.的收敛域为函数的极点由两部分组成,一部分位于围线C以内,另一部分位于C之外如果在处有一阶极点,则其留数为如果在处有阶极点,则其留数为例6-13求的逆z变换。解:可知其逆z变换为右边序列,且为因果序列。⑴当时
在围线C内有4个极点,且各极点留数为故⑵当时
在围线C内有3个极点,各极点留数为故6.4.4MATLAB实现例6-14已知离散LTI系统的激励函数为求
,单位序列响应采用变换域分析法确定系统的零状态响应解:编写的程序如下:symsnzf=(-1)^n;Fz=ztrans(f);h=1/3*(-1)^n+2/3*3^n;Hz=ztrans(h);Yz=Fz*Hz;y=iztrans(Yz)执行该程序,运行结果为y=1/2*(-1)^n+1/3*(-1)^n*n+1/2*3^n例6-15求
的部分分式展开。解:编写的程序如下:num=[0009];den=[14.562];[r,p,k]=residuez(num,den)执行该程序,运行结果为r=5.0000-0.0000i-1.5000+0.0000i-8.0000p=-2.0000+0.0000i-2.0000-0.0000i-0.5000k=4.5000例6-16计算
逆Z变换解:编写的MATLAB实现程序如下:
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