新高考数学之圆锥曲线综合讲义第20讲圆过定点问题(原卷版+解析)

第20讲圆过定点问题一、解答题1．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点的最近距离为，若椭圆与轴交于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点．（1）求椭圆的方程；（2）试探求以为直径的圆是否恒经过轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．2．已知椭圆的右焦点为F，A、B分別为椭圆的左项点和上顶点，ABF的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线x＝交于点M、N．以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．3．已知定点，圆，过R点的直线交圆于M，N两点过R点作直线交SM于Q点.（1）求Q点的轨迹方程；（2）若A，B为Q的轨迹与x轴的左右交点，为该轨迹上任一动点，设直线AP，BP分别交直线l：于点M，N，判断以MN为直径的圆是否过定点．如圆过定点，则求出该定点；如不是，说明理由.4．已知圆和直线，在轴上有一点，在圆上有不与重合的两动点，设直线斜率为，直线斜率为，直线斜率为，（l）若①求出点坐标；②交于，交于，求证：以为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．（2）若：判断直线是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．5．已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.6．已知圆与轴交于两点，是圆上的动点，直线与分别与轴交于两点．（1）若时，求以为直径圆的面积；（2）当点在圆上运动时，问：以为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．7．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是、以为圆心、以3为半径的圆与以为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．8．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1(−c,0),（1）求椭圆C的方程；（2）若点P,Q是定直线x=4上的两个动点，且F1P•定点的坐标.9．已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切.（1）求动圆的圆心的轨迹的方程，（2）过点的直线交曲线于，两点，直线分别交直线，于点和点.求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.10．已知动圆过定点，且和直线相切，动圆圆心形成的轨迹是曲线，过点的直线与曲线交于两个不同的点.（1）求曲线的方程；（2）在曲线上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.11．已知椭圆C的短轴的两个端点分别为，离心率为．（1）求椭圆C的方程及焦点的坐标；（2）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．12．已知抛物线与过点的直线交于两点.（1）若，求直线的方程；（2）若，轴，垂足为，探究：以为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.13．已知椭圆：.左焦点，点在椭圆外部，点为椭圆上一动点，且的周长最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点､为椭圆上关于原点对称的两个点，为左顶点，若直线､分别与轴交于､两点，试判断以为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，椭圆的左、右顶点分别为，，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．15．已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，右焦点为，离心率为，其中．（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上异于的任意一点，过点且与椭圆相切的直线与，分别交于两点，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由．16．已知椭圆的离心率为，其左､右焦点分别为，，点是坐标平面内一点，且，(O为坐标原点).（1）求椭圆C的方程；（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由.第20讲圆过定点问题一、解答题1．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点的最近距离为，若椭圆与轴交于两点，是椭圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点．（1）求椭圆的方程；（2）试探求以为直径的圆是否恒经过轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（Ⅰ）由题意得.椭圆的方程为：（Ⅱ）记直线、的斜率分别为、，设的坐标分别为,,，.在椭圆上，所以，，设，则，.，又..因为的中点为，,所以，以为直径的圆的方程为：.令，得，，将两点代入检验恒成立.所以，以为直径的圆恒过轴上的定点【分析】(1)根据题意，列出方程组，求解即可得出结果；(2)先记直线、的斜率分别为、，设的坐标分别为，，，表示出，根据在椭圆上，得到，进而可得，再设，可得，由的中点为，，得到以为直径的圆的方程，进而可得出结果.【详解】（1）由题意得：，椭圆的方程为：（2）记直线、的斜率分别为、，设的坐标分别为，，，所以，.因为在椭圆上，所以，所以，，设，，则，，所以，又..因为的中点为，，所以，以为直径的圆的方程为：.令，得，所以将两点代入检验恒成立.所以，以为直径的圆恒过轴上的定点【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及椭圆中的定点问题，熟记椭圆的性质等，即可求解，属于常考题型.2．已知椭圆的右焦点为F，A、B分別为椭圆的左项点和上顶点，ABF的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP、AQ分别与直线x＝交于点M、N．以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）MN为直径的圆恒过定点和．【分析】（1）根据ABF的面积为求出a＝2，即得解；（2）设直线PQ的方程为，点．求出，，设以MN为直径的圆过定点P（m，n），则，联立和PQ的方程为，得到韦达定理，把韦达定理代入即得解.【详解】解：（1）由题得ABF的面积，解得a＝2，即椭圆C的标准方程为．（2）已知点A（－2，0），设直线PQ的方程为，点．直线AP的方程为，直线AQ的方程为，将代入直线AP、AQ方程，可得，．设以MN为直径的圆过定点P（m，n），则，即联立椭圆和直线PQ的方程为，可得，化简得，即，．代入上式化简得，由此可知，若上式与t无关，则，又，因此MN为直径的圆恒过定点和．【点睛】方法点睛：证明曲线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.3．已知定点，圆，过R点的直线交圆于M，N两点过R点作直线交SM于Q点.（1）求Q点的轨迹方程；（2）若A，B为Q的轨迹与x轴的左右交点，为该轨迹上任一动点，设直线AP，BP分别交直线l：于点M，N，判断以MN为直径的圆是否过定点．如圆过定点，则求出该定点；如不是，说明理由.【答案】(1);(2)以MN为直径的圆经过定点【分析】(1)利用,,可以推出,根据可知:动点的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆,进而可以写出Q点的轨迹方程.(2)设,求出的坐标后,再求出的中点坐标,然后求出以为直径的圆的方程,令可求得为定值,所以圆过定点.【详解】(1)如图:因为,,所以,所以,根据椭圆的定义知:动点的轨迹是以为焦点,长轴长为4的椭圆,这里,所以点的轨迹方程为:.(2)由题可知,设,所以,则直线的方程为:,令,则,所以,因为,则直线的方程为:,令,则,所以,所以的中点坐标为,此时圆的方程为:,令,得,又,所以,解得:,故以MN为直径的圆经过定点.【点睛】本题考查了利用椭圆的定义求标准方程,圆过定点问题,属难题.4．已知圆和直线，在轴上有一点，在圆上有不与重合的两动点，设直线斜率为，直线斜率为，直线斜率为，（l）若①求出点坐标；②交于，交于，求证：以为直径的圆，总过定点，并求出定点坐标．（2）若：判断直线是否经过定点，若有，求出来，若没有，请说明理由．【答案】（1），定点为；（2）直线过定点．【解析】试题分析：第一问根据两斜率乘积等于，从而得到为直径，从而确定出点的坐标，应用直径所对的圆周角为直角，利用垂直关系，建立等量关系式，从而求得圆的方程，利用曲线过定点的原则，求得定点坐标；第二问想办法求得直线的方程，利用直线过定点问题的解决方法，从而求得直线所过的定点坐标．试题解析：（1），又因为在圆上，所以为直径，故,法一：设，令得，，令得，且，故，，令，则，故．故定点坐标为：．法二：，，得，，，得，故圆方程为：由，令，则，故．则定点为．（2）法一：解：设与圆联立得：，由韦达定理：，由得：，，同理，再利用．，，直线过定点．法二：可以先猜后证，，所以同号．不妨设，则，与圆联立得，，则，与圆联立得，此时，同理由圆对称性，当时，，此时点坐标，，若直线过定点，则联立上述直线的方程，求出交点，下面验证是否为定点．设过且与圆有交点的直线斜率为，则直线方程为，代入圆方程得：两交点．由韦达定理：，故，过定点．考点：曲线过定点问题．5．已知椭圆：的离心率为，直线：与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.为左顶点，过点的直线交椭圆于，两点，直线，分别交直线于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）以线段为直径的圆是否过定点？若是，写出所有定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）是，定点坐标为或【分析】（1）根据相切得到，根据离心率得到，得到椭圆方程.（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，联立方程得到，，计算点的坐标为，点的坐标为，圆的方程可化为，得到答案.【详解】（1）根据题意：，因为，所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，点、的坐标分别为，，把直线的方程代入椭圆方程化简得到，所以，，所以，，因为直线的斜率，所以直线的方程，所以点的坐标为，同理，点的坐标为，故以为直径的圆的方程为，又因为，，所以圆的方程可化为，令，则有，所以定点坐标为或.【点睛】本题考查了椭圆方程，圆过定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.6．已知圆与轴交于两点，是圆上的动点，直线与分别与轴交于两点．（1）若时，求以为直径圆的面积；（2）当点在圆上运动时，问：以为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．【答案】（1）；（2）过定点，定点坐标是和【解析】试题分析：由直线方程得，由得故所求面积为．（2）根据两直线互相垂直设出直线AP，BP的方程，写出以MN为直径的圆的方程，令y=0得定点和．试题解析：（1）解析：当时，直线方程是，所以；直线方程是，所以，因此．所以以为直径圆的面积是．（2）解法1：设直线交轴于；同法可设直线交轴于，线段的中点．所以以为直径的圆的方程为：，展开后得，令，得，则过定点和．解法2：设，线段线段的中点．所以以为直径的圆的方程为：，展开后得，考虑到，有，令，得，则过定点和．考点：直线与圆的综合应用．7．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是、以为圆心、以3为半径的圆与以为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由椭圆的定义可得，根据椭圆的离心率求得,进而求的.(2)设，联立直线方程与椭圆方程可得两点坐标的关系，根据两点坐标可将直线与直线分别表示出来，进而可求其与轴交于点，以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点，则等价于恒成立，带点求解即可.【详解】（1）由题意知，则．又，，可得，椭圆的方程为．（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．由得．设，，则有，．又点M是椭圆的右顶点，点．由题意可知直线AM的方程为，故点．直线BM的方程为，故点．若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点，则等价于恒成立．又，，恒成立．又，．解得．故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．【点睛】本题考查圆锥曲线中求曲线方程，直线与曲线的关系以及定点问题，综合性较强.设而不求是基本方法，解题处理关键地方在于将圆过定点问题转化为恒成立问题求解.8．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1(−c,0),（1）求椭圆C的方程；（2）若点P,Q是定直线x=4上的两个动点，且F1P•定点的坐标.【答案】（1）；（2），．【解析】试题分析：（1）由题意得，运用点到直线的距离公式，解得a=2，进而可求得椭圆的方程；（2）由题意得，写出直线和直线的方程，可得设，写出以PQ为直径的圆的方程，令，即可求解求定点的坐标．试题解析：（1）由，得再由，得a=2，椭圆的方程．（2）由（1）知：设直线斜率为，则直线的方程为：，直线的方程为：，令得：于是以PQ为直径的圆的方程为：即：令，得或圆过定点，考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；圆的方程的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、圆的方程的应用，判定圆过定点，属于中档试题，着重考查了向量的数量积的坐标表示和圆的方程求法，同时考查了转化与化归思想和推理、运算能力，本题的解答中写出直线和直线的方程，得，写出以PQ为直径的圆的方程是解答的关键．9．已知动圆与定圆相外切，又与定直线相切.（1）求动圆的圆心的轨迹的方程，（2）过点的直线交曲线于，两点，直线分别交直线，于点和点.求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）易知到点的距离与到直线的距离相等，得到轨迹方程.（2），设直线方程为：，联立方程得到，为直径的圆方程为：，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：根据题意知到点的距离与到直线的距离相等，所以的轨迹方程为：.（2）显然直线不与轴重合，设直线方程为：，与联立消得：，设，则，直线方程为：，所以，即，同理，所以以为直径的圆方程为：，令得：，即，以为直径的圆经过轴上的两个定点和.【点睛】本题考查了轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10．已知动圆过定点，且和直线相切，动圆圆心形成的轨迹是曲线，过点的直线与曲线交于两个不同的点.（1）求曲线的方程；（2）在曲线上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见解析【分析】（1）由抛物线定义确定P的轨迹方程，（2）设，直线的方程为，代入抛物线方程，整理得设存在定点，由，代入韦达定理整理得，利用即可得【详解】（1）设动圆圆心到直线的距离为，根据题意，动点形成的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，抛物线方程为.（2）根据题意，设，直线的方程为，代入抛物线方程，整理得若设抛物线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点，设，则，同理可得解得在曲线上存在定点，使得以为直径的圆恒过点.【点睛】本题考查由定义求轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质的应用，考查计算能力，是中档题11．已知椭圆C的短轴的两个端点分别为，离心率为．（1）求椭圆C的方程及焦点的坐标；（2）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q，试判断以线段为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）（2）.【分析】（1）根据题目椭圆过短轴端点，以及离心率，可以求出椭圆方程为.（2）利用直线MA的斜率以及直线MB的斜率，的方程，得出点P,Q的坐标，那么就可以设出圆的方程，再进行转化变形，就可以求出定点的坐标.【详解】（1）设椭圆方程为，因为椭圆短轴的两个端点为，所以b=1，且椭圆的离心率为，所以，并且，得出，所以椭圆方程为.（2）设点M),则,所以过原点与MA平行的直线方程为：,令,得,;,所以直线MB方程为：,令,得,;设过点P,Q的圆的方程为展开后得：即：;令,y=9或y=-3，故定点为.【点睛】（1）求椭圆的方程就是利用题目的信息求解;（2）要注意过两点的圆的方程可以设为:，这样求解比较方便，特别要明确圆过定点就是与点M的位置无关，中，令x=0，即可得解.12．已知抛物线与过点的直线交于两点.（1）若，求直线的方程；（2）若，轴，垂足为，探究：以为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）或；（2）过定点，【分析】（1）设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系及弦长公式计算即可；（2）设以为直径的圆经过点，，，利用得，令解方程组即可.【详解】（1）由题可知，直线的斜率不为0，设其方程为，将代入，消去可得，显然，设，，则，，所以，因为，所以，解得，所以直线的方程为或.（2）因为，所以是线段的中点，设，则由（1）可得，，所以，又轴，垂足为，所以，设以为直径的圆经过点，则，，所以，即，化简可得①，令，可得，所以当，时，对任意的，①式恒成立，所以以为直径的圆过定点，该定点的坐标为.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线中的定点问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.13．已知椭圆：.左焦点，点在椭圆外部，点为椭圆上一动点，且的周长最大值为.（1）求椭圆的标准方程；（2）点､为椭圆上关于原点对称的两个点，为左顶点，若直线､分别与轴交于､两点，试判断以为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.【答案】（1）；（2）是，定点为和.【分析】（1）的三边有一边已经确定，问题转化为，何时另外两边之和最大，结合椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边即可确定思路；（2）分直线斜率存在与不存在分别研究，不存在容易得出定点，存在时，可以设出斜率，再联立椭圆方程，求出坐标，最后求出以为直径的圆的方程，方程里面含有，再令即可.【详解】（1）设右焦点为，则即点为与椭圆的交点时，周长最大所以所以椭圆的标准方程为（2）由（1）知，设，则当直线斜率存在时，设其方程为联立得令，得同理得设中点为，则所以以为直径的圆得方程为即即令，得所以过点和，且为定点.当直线斜率不存在时，容易知道此时所以以为直径的圆是以原点为圆心，为半径的圆，显然也过定点和综上，此圆过定点和【点睛】方法点睛：对于过定点的问题，可以先通过特殊情况得到定点，再去证明一般得情况.14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，椭圆的左、右顶点分别为，，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）以为直径的圆恒过两定点，．【分析】（1）由可得的值，的面积最大时，由椭圆的性质可得当和三角形内切圆的性质可列方程，再结合的关系，从而得出答案.(2)设出直线的方程与椭圆方程联立得出韦达定理，由点坐标得出的方程进而得出点坐标，同理得出坐标，写出以为直径的圆的方程，从而得出圆过定点.【详解】解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得，化简得①又，所以，，，所以椭圆的标准方程为．（2）由（1）知，，由题意，直线的斜率不为，设直线的方程为，代入椭圆的方程，整理得．设，，则，，②直线．令，得，同理可得，所以以为直径的圆的方程为，即，③由②得：代入③得圆的方程为．若圆过定点，则解得或所以以为直径的圆恒过两定点，．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆方程和根据直线与椭圆的为关系求圆过定点问题，解答本题的关