第11讲平面向量(原卷版+解析)

第11讲平面向量【题型精讲】题型一：平面向量的线性运算1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））四边形中，，，，则（）A．－4 B．－2 C．2 D．42．（2021·山西吕梁·高三月考（理））如图，中，点是的中点，点满足，与交于点，，则（）A． B． C． D．3．（2021·贵州遵义·高三月考（文））如图，在中，为上一点，且，设，则用和表示为（）A． B． C． D．4．（2021·安徽·芜湖一中高三月考（理））如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（）A． B．C． D．题型二：平面向量的数量积1．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））设向量，，若，则（）A． B．1 C． D．2．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知，若点是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（）A．8 B．10 C．12 D．133．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（理））已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））中，，，，，且，则实数的值为（）A． B． C． D．题型三：平面向量的综合应用1．（2021·浙江宁波·高三月考）已知平面向量，，满足，，．若，则的取值范围是______2．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知，若恒成立，则k的取值为_____________.3．（2021·上海·格致中学高三期中）已知向量，满足，，则的最大值为______.4．（2021·浙江·学军中学高三期中）如图，已知是半径为2，圆心角为的一段圆弧上一点，，则的最小值为___________.5．（2021·陕西·西安中学高三月考（文））如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为___________.【课后精练】一、单选题1．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知向量是单位向量，向量，的夹角为60°，且，则（）A．2 B． C． D．2．（2021·全国·高三月考（理））已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（文））已知是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为（）A． B． C． D．4．（2021·安徽·高三月考（文））下列命题中正确的是（）.A．因为两个非零向量、方向相反，则它们是相反向量B．已知，且，则C．已知向量，，若，则D．两个非零向量、，若，则与反向5．（2021·江西赣州·高三期中（理））在中，，，在上且，则（）A．2 B．4 C．8 D．126．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数在上的最小值为，点为函数的图象在轴右侧的第一个最高点，点为函数的图象在轴右侧的第二个对称中心，为坐标原点，则=（）A． B． C． D．7．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知向量共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（）A． B．C． D．8．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（理））在中，，，，为中点，为的内心，且，则（）A． B． C． D．二、多选题9．（2021·湖南郴州·高三月考）如图，在直角坐标系中，，，点在轴上且，则下列说法正确的有（）A．B．C．与共线的单位向量的坐标可以是､D．与的夹角的余弦值为10．（2021·广东深圳·高三月考）已知平面向量，若是直角三角形，则的可能取值是（）A．-2 B．2 C．5 D．711．（2021·湖南·高三月考）定义：，两个向量的叉乘的模.（）A．若平行四边形的面积为4，则B．在正中，若，则C．若，，则的最小值为D．若，，且为单位向量，则的值可能为12．（2021·广东·金山中学高三期中）已知向量，，则下列说法正确的是（）A．若，则的值为B．的最小值为1C．若，则的值为2D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是三、填空题13．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知向量，，若，则实数___________.14．（2021·天津市咸水沽第一中学高三月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______．15．（2021·江苏省天一中学高三月考）等腰直角中，点是斜边边上一点，若=+，则的面积为______四、双空题16．（2021·天津南开·高三期中）边长为的菱形满足，则___________；一直线与菱形的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线于点，若，，，则___________.第11讲平面向量【题型精讲】题型一：平面向量的线性运算1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））四边形中，，，，则（）A．－4 B．－2 C．2 D．4【答案】D【详解】由，，，可知，四边形为直角梯形，∴，所以．故选：D．2．（2021·山西吕梁·高三月考（理））如图，中，点是的中点，点满足，与交于点，，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题设，，又，，∴，而共线，∴，可得.故选：C3．（2021·贵州遵义·高三月考（文））如图，在中，为上一点，且，设，则用和表示为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题得.故选：A4．（2021·安徽·芜湖一中高三月考（理））如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（）A． B．C． D．【答案】A【详解】，，，，故选：A.题型二：平面向量的数量积1．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））设向量，，若，则（）A． B．1 C． D．【答案】C【详解】，则，所以.故选：C2．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知，若点是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】C【详解】∵，∴可以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设，则，故点P坐标为则，∴令，则，则当时，，当时，，则函数在递增，在上递减，则，即的最大值为12．故选：C．3．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（理））已知平面向量，满足，，，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，向量，可得，又由，可得，可得，设向量与的夹角为，其中可得，所以.故选：D.4．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））中，，，，，且，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，因为，所以，,所以，因为，，，所以，解得，故选：D题型三：平面向量的综合应用1．（2021·浙江宁波·高三月考）已知平面向量，，满足，，．若，则的取值范围是______【答案】【详解】解：记，，，则，，．由题意，，可得（显然）又由，得，消去n得，化简得，即．结合，可解得或．因此，．故答案为：2．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知，若恒成立，则k的取值为_____________.【答案】0【详解】解：因为，所以，因为，所以，即，解得故答案为：3．（2021·上海·格致中学高三期中）已知向量，满足，，则的最大值为______.【答案】【详解】设向量的夹角为，，，则，令，则，据此可得：，即的最大值是故答案为：.4．（2021·浙江·学军中学高三期中）如图，已知是半径为2，圆心角为的一段圆弧上一点，，则的最小值为___________.【答案】【详解】解：已知是半径为2，圆心角为的一段圆弧上一点，，以圆心为原点，垂直平分线所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则：，，，由题设：，；则其中；所以，当时，则的最小值为；故答案为：．5．（2021·陕西·西安中学高三月考（文））如图，中，，，，为重心，为线段上一点，则的最大值为___________.【答案】20【详解】延长交于，因为为△ABC重心，所以为的中点，所以,设，因为P为线段BG上一点，所以，因为为△ABC重心，所以，因为,，所以其对称轴为，所以当时，取得最大值20，故答案为：20【课后精练】一、单选题1．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知向量是单位向量，向量，的夹角为60°，且，则（）A．2 B． C． D．【答案】A【详解】因为向量是单位向量，向量，的夹角为60°，且，所以，解得故选：A2．（2021·全国·高三月考（理））已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．【答案】B由向量垂直转化为向量的数量积为0，利用向量的数量积运算化简即可得出结果.【详解】由题意，可得，即，由，设与的夹角为，则，可得，故.故选：B.3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（文））已知是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，即，，解得：.故选：D.4．（2021·安徽·高三月考（文））下列命题中正确的是（）.A．因为两个非零向量、方向相反，则它们是相反向量B．已知，且，则C．已知向量，，若，则D．两个非零向量、，若，则与反向【答案】D【详解】A选项，相反向量要求向量方向相反，模长相等，向量、方向相反，模长未知，故A错误；B选项，，，无法得到，B错误；C选项，若，则，即，，C错误；D选项，，，若，即，即，故与反向，D选项正确；故选：D.5．（2021·江西赣州·高三期中（理））在中，，，在上且，则（）A．2 B．4 C．8 D．12【答案】C【详解】因为，所以，所以．故选：C．6．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知函数在上的最小值为，点为函数的图象在轴右侧的第一个最高点，点为函数的图象在轴右侧的第二个对称中心，为坐标原点，则=（）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由得，，则，，即，令，得，故点A坐标为，令，得，故点B坐标为，则，，，故选：A.7．（2021·广西南宁·高三月考（文））已知向量共面，且均为单位向量，，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】如图，，当与同向时，此时最大，为；当与反向时，此时最小，为.故选：A8．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（理））在中，，，，为中点，为的内心，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图所示，因为,所以.所以内切圆的半径为，所以点，所以，所以，所以.所以.故选：A二、多选题9．（2021·湖南郴州·高三月考）如图，在直角坐标系中，，，点在轴上且，则下列说法正确的有（）A．B．C．与共线的单位向量的坐标可以是､D．与的夹角的余弦值为【答案】BD【详解】对A，，A错误；对B，，B正确；对C，依题可知，，所以与共线的单位向量的坐标是和，C错误；对D，设与的夹角为，，，，所以，所以，D正确．故选：BD．10．（2021·广东深圳·高三月考）已知平面向量，若是直角三角形，则的可能取值是（）A．-2 B．2 C．5 D．7【答案】BD【详解】，，，若，则，∴，解得；若，则，∴，此时方程无解；若，则∴，解得．结合选项可知BD正确，故选：BD11．（2021·湖南·高三月考）定义：，两个向量的叉乘的模.（）A．若平行四边形的面积为4，则B．在正中，若，则C．若，，则的最小值为D．若，，且为单位向量，则的值可能为【答案】ACD【详解】若平行四边形的面积为4，则，所以A正确；设正的边的中点为，则，则，故，所以B不正确；由，，得，，则，可得，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，所以C正确；若，，且为单位向量，则当，，，时，可以等于，此时.所以D正确.故选：ACD12．（2021·广东·金山中学高三期中）已知向量，，则下列说法正确的是（）A．若，则的值为B．的最小值为1C．若，则的值为2D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是【答案】BC【详解】A选项：若，则，解得：，故A错；B选项：，所以，当时，取得最小值为1，故B正确；C选项：，若，即，解得：，故C正确；D选项：若与的夹角为钝角，则且，，所以，且，解得：且，故D错误.故选：BC三、填空题13．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知向量，，若，则实数___________.【答案】【详解】因为，，所以因为，所以，解得故答案为：14．（2021·天津市咸水沽第一中学高三月考）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______．【答案】【详解】由题设，，又，∴，且，为非零向量，∴，又，∴.故答案为：15．（2021·江苏省天一中学高三月考）等腰