234圆与圆的位置关系（讲义7大题型）（原卷版）

圆与圆的位置关系1、掌握圆与圆的位置关系及判定方法；2、了解两圆相交或相切时一些简单的几何性质的应用；3、能够利用圆与圆的位置关系解决问题.知识点1圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别是外离、外切、相交、内切、内含．外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切．2、圆与圆的位置关系的判断（1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d．位置关系外离外切相交内切内含图示交点个数01210d与，的关系（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．消元，一元二次方程知识点2两圆的公切线1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线．2、两圆公切线的条数位置关系外离外切相交内切内含图示公切线条数4条3条2条1条无公切线知识点3圆与圆的公共弦1、公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦．2、公共弦所在直线的方程圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程；（2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程.【常用解题技巧】1、判断圆与圆位置关系的一般步骤（1）将两圆的方程化为标准方程(若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要).（2）分别求出两圆的圆心坐标和半径长，；（3）求两圆的圆心距；（4）比较与，的大小关系；（5）根据大小关系确定位置关系．2、两圆公切线方程的确定（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．3、公共弦长的求法（1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．（2）几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长．4、圆系方程及其应用技巧具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。（1）过直线与圆的交点的圆系方程是：（）（2）以为圆心的同心圆系方程是：；（3）与圆同心的圆系方程是；（4）过同一定点的圆系方程是．题型一圆与圆的位置关系判断【例1】（2324高二上·江苏淮安·月考）圆与圆的位置关系为（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离【答案】D【解析】由圆，可得圆心为，半径，由圆，可得圆心为，半径，则两圆心距离为，，则，故两圆相离.故选：D.【变式11】（2324高二上·北京·期中）已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】D【解析】圆，其半径为3，又，因为即圆心距为两个圆的半径之和，故两圆外切，故选：D.【变式12】（2324高二下·广东惠州·月考）若直线与圆相切，则圆与圆（

）A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点【答案】B【解析】直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即，得.圆的圆心坐标为，半径为，其圆心在圆上，所以两圆相交.故选：B【变式13】（2324高二上·安徽亳州·月考）圆：与圆：的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【答案】D【解析】圆的圆心坐标为，半径，圆的圆心坐标为，半径，因为，所以圆与圆内切.故选：D题型二根据圆与圆的位置关系求参数【例2】（2324高二上·山东枣庄·月考）已知圆：与圆：相内切，则（

）A．11 B． C．9 D．【答案】B【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，显然点在圆外，由圆与圆相内切，得，于是，解得，所以.故选：B【变式21】（2324高二上·广西·期末）（多选）若圆M：与圆N：相交，则k的取值可能为（

）A． B．1 C．3.8 D．4.2【答案】AC【解析】两圆的圆心分别为，，圆心距，半径分别为，，因为圆M与圆N相交，所以，解得或.故选：AC.【变式22】（2324高二上·江西·月考）（多选）圆：与圆：没有公共点，则的值可能是（

）A． B． C．2 D．4【答案】BD【解析】圆：的圆心为1,0，半径为1，圆：的圆心为，半径为3，圆与圆没有公共点，则两圆外离或内含，所以或，即或，所以或或，不满足要求，满足要求.故选：BD.【变式23】（2324高二下·上海·月考）已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是.【答案】【解析】圆化为标准方程得，则圆心，半径，圆化为标准方程为，则圆心，半径，因为两圆相交，所以，即，解得.故答案为：.题型三求两圆的交点坐标【例3】圆与圆的交点坐标为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】由,可得，即，代入，解得或，故得或,所以两圆的交点坐标为和,故选:C【变式31】（2324高二下·湖南怀化·期末）已知圆的圆心为，且经过圆：与圆：的交点．则圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】联立，解得：或，所以圆的半径为：，所以的面积为.故选：B．【变式32】（2223高二上·江苏南京·开学考试）直线l过点与圆C：交于两点且，则直线l的方程为（

）A． B．或C． D．或【答案】D【解析】将圆C：的方程化为，则圆心C的坐标为，半径为2.当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为时，代入圆的方程得，解得，此时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由，得圆心C到直线l的距离为，故，解得，故此时直线的方程为，即，综上可得，直线l的方程为或，故选：D.【变式33】（2223高二上·贵州遵义·月考）圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是.【答案】【解析】圆方程为，圆方程为，则圆心分别为，，两圆相交于两点，则线段AB的垂直平分线即为直线，，则直线的方程为，即，故答案为：题型四两圆的公切线问题【例4】（2324高二上·陕西西安·月考）圆和圆的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】圆,表示以为圆心，半径等于的圆．圆,表示以为圆心，半径等于的圆．两圆的圆心距等于，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为.故选C.【变式41】（2324高三上·广西百色·月考）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由两圆方程得：圆心，，半径，两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条；两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行，经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：，，解得：或，即公切线方程为：或；，与平行的公切线方程为，即，，解得：，即公切线方程为或；综上所述：两圆的公切线方程为：或或或.故选：C.【变式42】（2324高二上·江苏盐城·期末）已知圆心均在轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】设圆：，圆：，其中，两圆的公切线方程为，则，，两圆外切，则，化简得，，即，∴，故选：B【变式43】（2324高二上·广东佛山·月考）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：.【答案】（或，填一条即可）【解析】由已知得到两圆的圆心分别为,半径分别为.因为，所以5，圆与圆相交，则圆与圆的公切线有两条，如图所示：根据图象可以直接观察出一条公切线方程为，直线的方程为，根据图形的对称性知另一条公切线与直线关于直线对称.易知直线与直线的交点为，设另一条公切线的方程为，即，原点到其距离为，所以，则另一条公切线的方程为.故答案为：（或，填一条即可）题型五根据两圆公切线条数求参数【例5】（2324高二上·江苏扬州·月考）已知圆与圆，若与有且仅有一条公切线，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆可化为，圆心，半径；圆可化为，圆心，半径；因为与有且仅有一条公切线，所以两圆内切，所以，即，解得.故选：D【变式51】（2324高二上·内蒙古赤峰·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，圆的公切线有2条，则m的取值范围为（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】由题意，圆与圆有2条公切线，则两圆相交，圆的圆心，半径为，圆，即，圆心，半径为1，要使两圆相交，则，解得：或，故选：B．【变式52】（2324高二上·湖北·月考）若圆：与圆：有三条公切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圆：的圆心，半径.圆：，即，则圆心，半径.因为两圆有三条公切线，则两圆外切，则，则有，解得或.故选：A.【变式53】（2324高二上·河北邢台·月考）已知圆与圆有四条公切线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，因为圆的圆心为，半径为4，圆，可得，圆的圆心为，半径为，所以，解得.故选：B.题型六相交圆的公共弦方程【例6】（2324高二上·天津南开·期中）已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】圆与圆相减得，化简为，两圆的公共弦所在直线方程为.故选：B【变式61】（2324高二上·贵州贵阳·期末）圆与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】线段的垂直平分线为圆心连线，由圆的方程可知，，，,所以直线的方程为，化简为.故选：B【变式62】（2324高二下·山西太原·月考）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则，于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，，因此以为直径的圆方程为，圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为，所以直线AB的方程为.故选：A【变式63】（2324高二上·安徽宣城·月考）已知圆，圆，则两圆公共弦所在的直线过定点（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知圆：，圆：，将两圆方程式相减得两圆公共弦所在直线方程为，变形得，由得，即公共弦所在直线过定点，故D项正确.故选：D.题型七相交圆的公共弦长问题【例7】（2324高二上·四川成都·期中）圆与圆的公共弦的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】两圆方程作差可得：，即两圆公共弦所在直线方程为，因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到公共弦所在直线距离，故弦长为.故选：B【变式71】（2425高二上·江苏宿迁·一调）圆与圆的公共弦长为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，作差得两圆的公共弦所在直线的方程为．由，得．所以圆心，半径，则圆心到公共弦的距离．所以两圆的公共弦长为．故选：D．【变式72】（2324高二下·浙江·月考）已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（

）A． B．