2023-2024学年北京顺义区一中高三（上）期中数学试题和答案

高中PAGE1试题2023北京顺义一中高三（上）期中数学一、单选题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合M＝{x|x+2≥0}，N＝{x|x﹣1＜0}．则M∩N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2＜x≤1} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x＜1}2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数＝（）A． B．1﹣i C． D．3．已知圆C的圆心坐标为（﹣3，2），且点（﹣1，1）在圆C上，则圆C的方程为（）A．x2+y2+6x﹣4y+8＝0 B．x2+y2+6x﹣4y﹣8＝0 C．x2+y2+6x+4y＝0 D．x2+y2+6x﹣4y＝04．已知平面向量＝（﹣1，2），，＝（t，t），若（），则t＝（）A． B． C． D．5．记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：{}为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．某金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（）A．1 B． C． D．7．过点（0，﹣2）与圆x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝（）A．1 B． C． D．8．已知函数，则（）A．f（x）在单调递增，且图象关于直线对称 B．f（x）在单调递增，且图象关于直线对称 C．f（x）在单调递减，且图象关于直线对称 D．f（x）在单调递减，且图象关于直线对称9．若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（）A．bc＞0 B．ab＞0 C．b2+8ac＞0 D．ac＜010．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是该正方体对角线BD1上的动点，给出下列四个结论：①AC⊥B1P；②△APC面积的最小值是；③只存在唯一的点P，使BD1⊥平面APC；④当时，平面ACP∥平面A1C1D．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共5小题，共25分）11．（5分）已知函数f（x）＝3x+log3x，则＝．12．（5分）已知直线l1：x+2y﹣1＝0，l2：2x+ay﹣1＝0，若l1∥l2，则a的值是．13．（5分）已知命题p：若α，β为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ．能说明命题p为假命题的一组β的值可以是α＝，β＝．14．（5分）数列{an}共9项，该数列的前3项成等比数列，后7项成等差数列，且a1＝1，a5＝10，a9＝22，则a7＝，数列{an}的所有项的和为．15．（5分）已知曲线C的方程为：x2+y2＝2|x|+2|y|（x，y∈R）有下列四种描述（1）曲线C关于y＝x对称；（2）曲线C的面积大于16；（3）曲线C与圆x2+y2＝5有四个公共点；（4）若A，B为曲线C与x轴的交点，P为曲线C上的点，则△ABP的面积最大为；则其中所有正确结论的序号题．三、解答题（本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（13分）已知△ABC满足_____，且b＝，B＝，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知填在横线上，并求解下列问题：（Ⅰ）sinC；（Ⅱ）求△ABC的面积．条件①tanA＝3，条件②b2+c2﹣a2＝2c，条件③3b＝c．17．（14分）为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动．活动结束后，利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段分组记录如表：组别男生女生合格不合格合格不合格第一组90108020第二组88127228第三组60405842第四组80206238第五组82187822合计400100350150假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立．（Ⅰ）从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率；（Ⅱ）从该地区众多小学的男生、女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成绩合格，求X的分布列与数学期望；（Ⅲ）假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用“ξk＝1”表示第k组同学跳绳成绩合格，“ξk＝0”表示第k组同学跳绳成绩不合格（k＝1，2，3，4，5），试确定方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5中哪个最大？哪个最小？（只需写出结论）18．（13分）已知圆C：（x+2）2+y2＝1，直线x﹣y+m＝0与圆C交于E，F两点．（1）若，求实数m的值；（2）求的取值范围（O为坐标原点）．19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ADC＝60°，△PAD为正三角形，O为AD的中点，且平面PAD⊥平面ABCD，M是线段PC上的点．（1）求证：OM⊥BC；（2）当点M为线段PC的中点时，求点M到平面PAB的距离；（3）是否存在点M，使得直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为．若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．20．（15分）已知函数f（x）＝alnx+﹣（a+1）x+1．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．21．（15分）已知数集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）．如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n且i，j，n∈N*），aiaj与两数中至少有一个属于A，则称数集A具有性质P．（Ⅰ）分别判断数集{2，3，6}，{1，3，4，12}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）设数集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）具有性质P．①若ak∈N*（k＝1，2，3，…），证明：对任意1≤i≤n（i，n∈N*）都有ai是an的因数；②证明：ann＝a12•a22•a32•…•an2．

参考答案一、单选题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．【答案】A【分析】求出集合M、N的范围，再根据交集的定义可得．【解答】解：由题意，M＝{x|x≥﹣2}，N＝{x|x＜1}，∴M∩N＝{x|﹣2≤x＜1}．故选：A．2．【答案】B【分析】结合复数的几何意义，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：复数z对应的点的坐标是，则z＝1+i，故．故选：B．3．【答案】A【分析】求出圆的半径，即可求出圆的标准方程，再化简整理，即可求解．【解答】解：由题意可知，圆的半径为，故圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2＝5，即x2+y2+6x﹣4y+8＝0．故选：A．4．【答案】B【分析】由向量平行的坐标表示，列方程求解即可．【解答】解：由＝（﹣1，2），，＝（t，t），可得，又（），则有3（t+2）+2（t﹣1）＝0，解得t＝．故选：B．5．【答案】C【分析】首先明确充要条件的判定方法，再从等差数列的定义入手，进行正反两方面的论证．【解答】解：若{an}是等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn＝na1+d，即＝a1+d＝n+a1﹣，故{}为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，若{}为等差数列，则可设﹣＝D，则＝S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D，当n≥2时，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上两式相减得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D，当n＝1时，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D，则an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数），所以数列{an}为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．故本题选：C．6．【答案】C【分析】根据题意，该金字塔对应的正四棱锥为S﹣ABCD，再设该正四棱锥的底面边长为a，高为h，用a，h表示出一个侧面的面积与射影面的面积，作出侧面与底面所成锐二面角的平面角，进而求出其正切值即可得答案．【解答】解：根据题意，假设该金字塔对应的正四棱锥为S﹣ABCD，且该正四棱锥的底面边长为a，高为VE＝h，斜高为VE＝h′，如图，∠VEO为侧面与底面所成锐二面角的平面角，正四棱锥为S﹣ABCD的底面积S＝a2，侧面积S′＝4S△VBC＝4×（×a×h′）＝2ah′，若正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则有＝＝2，变形可得a＝h′，又由侧面与底面所成的角为∠VEO，在Rt△VOE中，OV＝h′＝a，OE＝，则有h＝OV＝＝，故侧面三角形与底面正方形所成角的正切值tan∠VEO＝＝．故选：C．7．【答案】B【分析】圆的方程化为（x﹣2）2+y2＝5，求出圆心和半径，利用直角三角形求出sin，再计算cos和sinα的值．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣1＝0可化为（x﹣2）2+y2＝5，则圆心C（2，0），半径为r＝；设P（0，﹣2），切线为PA、PB，则PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sincos＝2××＝．故选：B．8．【答案】B【分析】化简f（x）的解析式，根据三角函数的单调性、对称性确定正确答案．【解答】解：，由于，所以f（x）在单调递增，，所以f（x）不关于直线对称.，所以f（x）关于直线对称．故选：B．9．【答案】A【分析】求出函数f（x）的导数f′（x），由已知，可得函数f′（x）在（0，+∞）上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答即可．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），由，得，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以函数f′（x）在（0，+∞）上有两个变号零点，而a≠0，所以方程ax2﹣bx﹣2c＝0有两个不等的正根x1，x2，所以，所以b2+8ac＞0，ab＞0，ac＜0，所以a2bc＜0，即bc＜0．故BCD正确，A错误．故选：A．10．【答案】C【分析】通过证明AC⊥平面BDD1B1来判定①；分析△APC的面积取得最小值的条件，求解即可判定②；通过分析BD1⊥平面APC的条件，得到点P满足的条件，从而判定③；通过证明BD1⊥平面A1C1D，BD1⊥平面ACP，可得平面ACP∥平面A1C1D，从而判定④．【解答】解：①：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易知AC⊥D1DBB1，P在BD1上，而BD1⊂面D1DBB1，∴AC⊥B1P，故①正确；②：△APC的最小面积，即AC的中点O到D1B的距离为△APC的高时取得，由，可得OP＝＝，故△APC面积的最小值是，故②错误；③：在正方体中，已知AC⊥BD1，故当AP⊥BD1时，有BD1⊥平面APC，在平面ABD1中，过点A只能作出一条直线垂直于BD1，故点P是唯一的，故③正确；④：当时，此时OP⊥D1B，AC⊥面D1DBB1，∴AC⊥D1B，又AC∩OP＝O，∴D1B⊥平面ACP，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，显然有D1B⊥平面A1C1D，即两面同时垂直于一条直线，∴平面ACP∥平面A1C1D，故④正确；综上，①③④正确．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，共25分）11．【答案】﹣1．【分析】代入即可得出函数的值．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+log3x，∴＝+＝﹣1，故答案为：﹣1．12．【答案】4．【分析】由两直线平行可得A1B2＝A2B1，代入相关数据计算即可．【解答】解：因为l1∥l2，所以a＝2×2＝4，经验证，符合题意．故答案为：4．13．【答案】（答案不唯一），（答案不唯一）．【分析】根据题意，举反例，即可得解．【解答】解：取α＝+2π，β＝，则α＞β，但sinα＝sinβ，不满足sinα＞sinβ，∴命题p为假命题，∴能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α＝，β＝．故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）．14．【答案】16，90或94．【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．【解答】解：设后7项的公差为d，前3项的公比为q，a5＝10，a9＝22，则2a7＝a5+a9＝32，解得a7＝16，d＝，a3＝a5﹣2d＝10﹣6＝4，则＝4，解得a2＝±2，a6＝a5+d＝13，当a2＝2时，a1+a2+a3+•••+a9＝a1+a2+7a6＝1+2+7×13＝94，当a2＝﹣2时，a1+a2+a3+•••+a9＝a1+a2+7a6＝1﹣2+7×13＝90，故答案为：16，90或94．15．【答案】（1）（2）（4）．【分析】根据方程的对称性，画出图象，数形结合，逐项判断即可．【解答】解：设（x，y）是曲线C上任意一点，由于曲线C的方程为x2+y2＝2|x|+2|y|，所以当x≥0，y≥0时，曲线的方程为x2+y2＝2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，方程x2+y2＝2|x|+2|y|中，x换成﹣x，y换成﹣y，方程不变，则其曲线关于x轴，y轴，原点对称，曲线C的图形如图（由图中实线部分及原点组成），故（1）正确．由图可知，曲线C所围成的图形是由一个边长为的正方形和四个全等的半圆组合而成的，其中半圆的半径为，故曲线C所围成的图形的面积为＞16，故（2）正确；连接原点与（1，1）点，并延长与曲线交于M点，则OM＝2＞，则以（0，0）为圆心，半径为的圆x2+y2＝5与曲线有8个交点，（3）错误；第一象限内，（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，取正的，y＝1+，当x＝1时，ymax＝1+，则△ABP的面积最大为×4×（1+）＝，（4）正确．故正确结论的序号：（1）（2）（4）．三、解答题（本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．【答案】若选①，（I）；（II）6；若选②，（Ⅰ）；（II）6；若选③，（Ⅰ）；（II）3或6．【分析】若选①，（I）由已知结合同角基本关系先求出cosA，sinA，进而可求sinC，然后结合余弦定理可求cosA，sinA，结合诱导公式及和角正弦可求sinC；（II）由（I）利用正弦定理可求a，结合三角形面积公式可求．若选②，（I）由已知利用余弦定理可求cosA，进而可求sinA，结合诱导公式及和角正弦可求sinC；（II）由（I）利用正弦定理可求a，结合三角形面积公式可求．若选③，（I）由题意结合正弦定理可求sinC；（II）由（I）知cosC的值，利用两角和的正弦公式可求sinA的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：若选①，（I）因为tanA＝＝3，A为锐角，，又sin2A+cos2A＝1，所以cosA＝，sinA＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA＝×+×＝；（II）由正弦定理可得a＝＝＝3，所以△ABC的面积为S＝absinC＝×3××＝6；若选②，（Ⅰ）因为b2+c2﹣a2＝2c，由余弦定理得，cosA＝＝＝，故A为锐角，sinA＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA＝×+×＝；（II）由正弦定理可得a＝＝＝3，所以△ABC的面积为S＝absinC＝×3××＝6；若选③，（Ⅰ）因为b＝＝，所以c＝3，b＝，，由正弦定理，可得sinC＝＝＝；（II）由（I）知cosC＝±＝±，因为c＞b，所以C＞B，故C有两解，又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝×（±），即sinA＝或sinA＝，当sinA＝时，S△ABC＝bcsinA＝×3×＝3；当sinA＝时，S△ABC＝bcsinA＝×3×＝6．17．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）X的分布列见解析；E（X）＝；（Ⅲ）Dξ1最小，Dξ3最大．【分析】（Ⅰ）根据表格中的数据，求出男女生跳绳合格的人数以及总的人数，利用古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）根据相互独立事件的概率求出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；（Ⅲ）根据表格中所给的数据，由方差的意义即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“从样本中的中小学生随机抽取1人，该同学跳绳成绩合格”，样本中男生跳绳成绩合格的有：90+88+60+80+82＝400人，样本中女生跳绳成绩合格的有：80+72+58+62+78＝350人，样本中男、女跳绳成绩合格的共有：400+350＝750人，样本中的男生总人数为：400+100＝500人，样本中男、女生总人数为：500+500＝1000，所以P（A）＝＝；（Ⅱ）设事件B为“从该地区众多中小学的男生中随机抽取1人，该生跳绳成绩合格”，则P（B）＝＝，设事件C为“从该地区众多中小学的女生中随机抽取1人，该生跳绳成绩合格”，P（C）＝，由题意可知，X的可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为：X012P所以X的数学期望E（X）＝0×+1×+2×＝；（Ⅲ）Dξ1最小，Dξ3最大．18．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）联立，消y得：2x2+2（m+2）x+3+m2＝0，然后结合弦长公式求解；（2）结合平面向量数量积的运算求解．【解答】解：（1）已知圆C：（x+2）2+y2＝1，直线x﹣y+m＝0与圆C交于E，F两点，联立，消y得：2x2+2（m+2）x+3+m2＝0，由题意可得Δ＝4（m+2）2﹣8（3+m2）＞0，即，设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2＝﹣m﹣2，，又，则，即，即或；（2）由（1）可得：＝x1x2+y1y2＝＝m2﹣2m+3＝（m﹣1）2+2，又，则．19．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且．【分析】（1）连接OC，AC，证明AD⊥平面POC，利用线面垂直的性质可得出AD⊥PC，再结合AD∥BC，可证明OM⊥BC；（2）推导出PO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出点M到平面PAB的距离．（3）设＝＝（，0，﹣），（0≤λ≤1），则＝＝（），由直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为，利用向量法能求出结果．【解答】解：（1）证明：连接OC，AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∵O为AD的中点，∴OC⊥AD，∵△PAD是等边三角形，O为AD的中点，∴PO⊥AD，∵PO∩OC＝O，∴AD⊥平面POC，∵PC⊂平面POC，∴AD⊥PC，∵BC∥AD，∴BC⊥PC．（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∵OC⊥AD，以点O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（，﹣2，0），C（，0，0），P（0，0，），M（，0，），设平面PAB的法向量＝（x，y，z），＝（，﹣1，0），＝（0，1，），＝（，1，），由，取x＝1，得＝（1，，﹣1），∴点M到平面PAB的距离d＝＝＝．（3）设＝＝λ（，0，﹣）＝（，0，﹣），（0≤λ≤1），＝＝（0，1，）+（）＝（），∵直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，整理得9λ2+3λ﹣2＝0，由0≤λ≤1，解得，∴存在点M，使得直线AM与平面PAB的夹角的正弦值为，＝．20．【答案】（Ⅰ）切线方程为y＝x﹣1；（Ⅱ）a＜1．【分析】（Ⅰ）代入a的值，求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极小值，确定a的范围即可．【解答】解：（I）当a＝0时，，（1分）所以f′（x）＝x﹣1，（3分）所以k＝f′（2）＝1，因为．（5分）所以切线方程为y＝x﹣1．（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．因为（7分）所以．（9分）令f′（x）＝0，即x2﹣（a+1）x+a＝0，解得x＝1或x＝a．（10分）（1）当a≤0时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化状态如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以当x＝1时，f（x）取得极小值．所以a≤0成立．（11分）（2）当0＜a＜1时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化状态如下表：x（0，a）a（a，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以当x＝1时，f（x）取得极小值．所以0＜a＜1成立．（12分）（3）当a＝1时，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，没有极小值，不成立．（13分）（4）当a＞1时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化状态如下表：x（0，1）1（1，a）a（a，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗极大值↘极小值↗所以当x＝1时，f（x）取得极大值．所以a＞1不成立．（14分）综上所述，a＜1．（15分）21．【答案】（Ⅰ）数集{2，3，6}不具有性质P，数集{1，3，4，12}具有性质P．理由见解答．（Ⅱ）①证明过程见解答．②证