上海市宝山区2023-2024学年高二下学期期末考试数学

2023学年第二学期期末高二年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4.可使用符合规定的计算器答题.一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________.2.在等差数列中，，则的值是__________.3.若双曲线的一条渐近线方程为，则实数___________．4.若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为__________.5.经过点，且与直线平行的直线的方程为___________.6.已知向量，，则在方向上的投影向量为__________.7.如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示）8.中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了__________里.9.在数列中，，且，则__________.10.抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________.11.已知点在椭圆上，为椭圆右焦点，直线与圆相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______.12.我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为__________.二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得多分.13.“”是“曲线表示椭圆”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（）A.⊥ B.C与相交但不垂直 D.或15.已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（）A. B. C. D.16.已知实数满足，则取值范围是（）A. B. C. D.三､解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.17.已知直线和直线.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.18.已知等差数列首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.（1）求数列的通项公式：（2）若是数列的前项和，求的最小值.19.从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量.（1）计算的值，（2）若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知①求的值；②求的面积：20.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且.（1）求证：；（2）当为钝角时，求实数的取值范围；（3）若二面角的大小为，求点到平面的距离.21.已知椭圆的离心率为，左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，过右焦点的直线交椭圆于点，且的周长为16.（1）求椭圆的标准方程；（2）记直线的斜率分别为，证明：为定值：（3）记的面积分别为，求的取值范围.2023学年第二学期期末高二年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4.可使用符合规定的计算器答题.一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________.【答案】【解析】【分析】根据直线方程可得斜率，从而利用可求倾斜角.【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率1，令直线倾斜角为，则，因为，所以.故答案为：.2.在等差数列中，，则的值是__________.【答案】12【解析】【分析】应用等差数列的性质即可求解.【详解】等差数列中，，则，所以.故答案为：123.若双曲线的一条渐近线方程为，则实数___________．【答案】9【解析】【分析】根据双曲线的焦点在轴上的渐近线为即可解决.【详解】由题知双曲线的焦点在轴上，所以即解得故答案为：9.4.若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为__________.【答案】【解析】【分析】变形得到方程组，求出定点坐标.【详解】令，解得，故经过定点坐标为.故答案为：5.经过点，且与直线平行的直线的方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据直线平行得到，得到，整理得到答案.【详解】直线与直线平行，则，直线方程为，即.故答案为：6.已知向量，，则在方向上的投影向量为__________.【答案】【解析】【分析】根据投影向量定义和向量坐标运算直接求解即可.【详解】，又，在方向上的投影向量为.故答案为：.7.如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示）【答案】【解析】【分析】根据向量线性运算直接求解即可.【详解】为中点，；，；.故答案为：.8.中中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其意思是：有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了__________里.【答案】96【解析】【分析】由等比数列前项和公式即可求解.【详解】由题意，此人每天走的路程可以构成等比数列，公比，，因为，解得，所以（里）.故答案为：96.9.在数列中，，且，则__________.【答案】5【解析】【分析】用累加法求解.【详解】，，…，各式累加得.故答案为：5.10.抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值.【详解】由，得，所以，准线为，不妨设点在第一象限，过作于，则，得，则，得，所以，设点关于直线对称点为，则，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为，故答案为：11.已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______.【答案】【解析】【分析】如图，左焦点为，由几何性质得，即可由相似求得，即可由勾股定理，及椭圆定义建立齐次式，从而求得离心率.【详解】如图所示，左焦点为，设圆的圆心为，切圆C于A，则半径.∵，∴，则，∴，∴，化简得.∴椭圆的离心率为.故答案为：.12.我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为__________.【答案】【解析】【分析】将原方程配方，方程的解转化为直线与双曲线的交点的纵坐标。【详解】原方程可化为，其几何意义为点到，距离之差的绝对值等于，则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：，，，所以，又因为双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：，令得，所以原方程的解为。故答案为：二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得多分.13.“”是“曲线表示椭圆”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为曲线为椭圆，所以，解得且，所以“”是“且”的必要而不充分条件.故选：B14.已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（）A.⊥ B.C.与相交但不垂直 D.或【答案】D【解析】【分析】根据，所以，进而可以得到与的关系.【详解】因为，所以，所以或.故选：D.15.已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可.【详解】曲线，即由已知圆的圆心为，半径为，因为，所以点在圆内，且，所以过点的最短弦长为，最长弦长为直径长，从而公差.故选：B16.已知实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围.【详解】当，表示椭圆第一象限部分；当，表示双曲线第四象限部分；当，表示双曲线第二象限部分；当，不表示任何图形；以及两点，作出大致图象如图：曲线上的点到的距离为，根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是，直线与距离为，曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1，联立，消得，，且，所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点，考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为，所以，所以的取值范围是.故选：A【点睛】关键点点睛：解决本题问题的关键是确定方程表示的图形，以及通过曲线上的点到直线的距离为的取值范围，间接求解的取值范围.三､解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.17.已知直线和直线.（1）若，求实数值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）0或2（2）【解析】【分析】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解；（2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证.【小问1详解】若，则，解得或2；【小问2详解】若，则，解得或1.时，，满足，时，，此时与重合，所以.18.已知等差数列的首项为1，前项和为，且是3与的等比中项.（1）求数列的通项公式：（2）若是数列的前项和，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项的性质即可得，再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入化简可求出，即可求出数列的通项公式；（2）由裂项相消法求和即可得，根据数列单调性可求得答案.【小问1详解】设等差数列的公差为，由题意，即，解得，所以，即数列的通项公式为.【小问2详解】由，.因为，即，所以为严格增数列，所以时，有最小值.19.从空间一点出发作三条两两互相垂直的坐标轴，可以建立空间直角坐标系.如果坐标系中的坐标轴不垂直；那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.设是空间中相互成角的三条坐标轴，其中分别是轴､轴､轴正方向的单位向量.（1）计算的值，（2）若向量，则把有序数对叫做向量在该斜坐标系中的坐标.已知①求的值；②求的面积：【答案】（1）（2）①，②【解析】【分析】（1）直接根据数量积定义求解；（2）①根据数量积定义求的值；②求出各边长，再求其面积.【小问1详解】同理，所以.【小问2详解】①，，所以②，同理，，，等腰三角形中，可计算得边上的高为，所以的面积为.20.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且.（1）求证：；（2）当为钝角时，求实数的取值范围；（3）若二面角的大小为，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明；（2）首先求出点坐标，即可表示出，，依题意可得，即可求出的取值范围；（3）利用空间向量法求出二面角二余弦值，即可求出，从而得到平面的法向量，再由向量法求出点到平面的距离.【小问1详解】因为底面为正方形，底面，如图以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，所以，因为，所以；【小问2详解】因为，所以，所以，，当为钝角时，，化简得，解得，显然不平行，所