2023年《直线交圆锥曲线的弦长与中点弦问题》教学设计

高中数学精编资源3/3《直线交圆锥曲线的弦长与中点弦问题》教学设计必备知识学科能力学科素养高考考向1.圆锥曲线及其性质学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算【考查内容】1.掌握圆锥曲线的标准方程2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法,能利用直线与圆锥曲线的位置关系解决相关问题【考查题型】解答题2.直线与圆锥曲线的位置关系数学抽象直观想象数学运算逻辑推理数学建模一、本节内容分析直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线知识应用的重点内容,在学习了三大圆锥曲线之后,安排这一节课,旨在巩固曲线和方程的理论,并能熟练运用.同时有关圆锥曲线的问题,特别是直线与圆锥曲线的位置关系问题,也是解析几何中的主体内容,这些问题的解决既丰富了圆锥曲线知识,同时也有力地印证前面学习的直线与圆的位置关系所用的基本思想方法.因此在教学中应加强练习,使学生充分掌握这单元的知识和方法.在学习中使学生进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力,是巩固所学的圆锥曲线知识的好方法,具有相当重要的意义.另外,本部分的学习是通过由特殊到一般逐步展开的,可以进一步发展的学生观察、归纳、类比、概括等能力,发展有层次的思维及灵活处理问题的能力.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.圆锥曲线及其性质2.直线与圆锥曲线的位置关系直观想象数学抽象逻辑推理数学运算数学建模核心素养二、学情整体分析本节课之前已经学习了圆锥曲线,因此,学生比较熟悉这些曲线,而且,每一种曲线都有和直线位置关系的问题,加上之前又学习了建立平面直角坐标系求直线方程的方法,这些都为本节课的学习奠定了必要的基础.同时,高二学生对高中数学学习的基本方法有了较好的体验和了解,具备了一定的观察、类比、归纳、概括、表达能力.通过三大圆锥曲线方程的学习,对坐标系下建立方程进行了反复训练,这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备.当然,由于学生对直线与圆锥曲线的位置关系认识还不深刻,在探究知识的形成与方法的运用时可能会遇到一些困难,在教学中一定要时刻关注学生反馈的信息,循序渐进地开展教学.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.点与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系3.直线交圆锥曲线的弦长4.中点弦问题【教学目标设计】1.能用直线与圆锥曲线的位置关系有关知识,解决相关的数学问题与实际问题.2.在探索直线与圆锥曲线的位置关系的过程中,学会运用数形结合的思想解决问题.【教学策略设计】新课程下的教学,力求知识的形成过程,为克服课堂时间不足,需要学生做好课前预习,在教师的引导下,学生已经具备一定探究与研究问题的能力.所以在设计问题时应考虑周全和灵活性,采用启发式、探索式等教学策略,师生共同探讨,共同研究,让学生积极思考,主动学习.在教学过程中采用讨论法,向学生提供具备启发式和思考性的问题.因此,要求学生在课上讨论,提高学生的探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力,使学生在问题的指引下、教师的指导下,把探究活动层层展开、步步深入,力求体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________【教学重点难点】重点1.体会解决直线与圆锥曲线问题的步骤.2.通过具体问题的解决归纳直线与圆锥曲线相交、相切、相离的定义,体会直线与圆锥曲线交点个数可转化为方程组的解.3.了解直线与圆锥曲线位置关系中封闭曲线与不封闭曲线的差异.4.理解圆锥曲线切线斜率的意义,为后续导数的学习提供基础.5.体会直线与圆锥曲线的位置关系是后续复杂问题的突破口,体现了数形结合、函数与方程、分类讨论以及转化与化归的数学思想方法.难点1.圆锥曲线的定义在解题中的运用.2.平面几何知识在解题中的简化功能.3.根与系数的关系在解题中“设而不求”的意义.4.曲线的几何特征与方程的代数特征的统一.5.设点、设参数及参数方程在解题中的作用.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________2.其他材料______________________________________________________四、教学活动设计(课时建议:1课时)探究1直线交圆锥曲线的弦长问题师:直线与圆锥曲线相交时有两个公共点,这两个公共点的端点的线段称为圆锥曲线的一条弦,线段的长就是弦长,弦长如何去求解,下面我们一起来探究,先看一道例题.【典型例题】探究弦长公式例1已知直线l:y=x-2与抛物线C:x2=-6y相交于A,B两点,且O为坐标原点.(1)求弦长|AB|;(2)判断店是否成立,并说明理由.【以学定教】熟练掌握直线与拋物线的位置关系的方法,将位置关系转化为方程组的解,为直线与圆锥曲线的弦长提供示范,提升学生数形结合及方程思想的应用能力.师:若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长,用什么方法？生:把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长.师:求交点坐标比较麻烦,可否不求交点？生:可以尝试用根与系数关系来求解.生解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2.因为A(x1,y1),B(x2,y2)都是直线y=x-2上的点,所以第二式减去第一式可得y2-y1=x2-x1,从而|AB|2=(x2-x1)2+(x2-x1)2=2(x2-x1)2,又因为从方程组中消去y,整理可得x2+6x-12=0,而且x1,x2是该方程的两个根,因此根与系数的关系可知所以(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-6)2-4×(-12)=84,因此|AB|2=2×84=168,从而可知|AB|=2.【分析计算能力】通过例题巩固所学结论,加强思维意识的训练,培养学生运用新知识解决问题的能力.提升分析计算能力.【综合问题解决能力】设计弦长公式的推导使学生成为学习的主体,由被动地接受变成主动地获取.通过讨论,让学生互相交流,互相学习,教师引导学生初步建立“设而不求”的解题策略,提升综合问题解决能力.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1,y1),=(x2,y2),因此·=x1x2+y1y2,将y1=x1-2,y2=x2-2代入上式可得·=x1x2+(x1-2)(x2-2)=2x1x2-2(x1+x2)+4.又因为x1+x2=-6,x1x2=-12,所以·=2×(-12)-2×(-6)+4=-8≠0,所以不成立.师:例1的第(1)问没有直接求交点坐标.用一元二次方程根与系数的关系来求解,使用了“设而不求”的方法.对于一般方程而言,设直线方程为y=kx+m(k≠0)与圆锥曲线F(x,y)=0相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则或,当k=0时,直线平行于x轴,所以|AB|=|x1-x2|.以上就是弦长公式的推导.【概括理解能力】使学生深刻理解弦长公式的推导过程,强化记忆,提高自我获取知识的能力.比较求弦长的两种方法差异,提升对“设而不求”的解题策略的理解,培养学生分析问题、解决问题以及概括理解的能力.【要点知识】弦长公式当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长(k≠0).【以学定教】通过例2,逐步探求直线与抛物线建立的方程组中根与系数的关系,把弦中点问题也利用根与系数的关系来解决,进一步强化“设而不求”的思想,也为后面的中点弦问题打下基础.师:下面看一道例题.【典型例题】弦长公式的运用例2已知抛物线C:y=2x2,直线l:y=kx+2交C于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交C于点N.(1)证明:抛物线C在点N处的切线与AB平行;(2)是否存在实数k使=0,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.【分析计算能力】通过例2引出本节重点知识,通过学生思考和分析比较,把相切问题转化成方程等根问题,培养学生分析计算能力.生:因为是抛物线,可以利用方程来设点.师:解析几何的本质就是用坐标来表示点.生:中点坐标可以利用根与系数的关系解决.生证明:(1)如图,设A(x1,2x).B(x2,2x).把y=kx+2代入y=2x2得2x2-kx-2=0.由根与系数的关系得.∴,∴点N的坐标为.【说明论证能力】学生在教师的引导下,学会用根与系数的关系判断直线与圆锥曲线中的平行问题,在解题的过程中提升说明论证能力和逻辑推理核心素养.设抛物线在点N处的切线的方程为,将代入上式得.∵直线l与抛物线C相切,∴即l//AB.师:解析几何中的垂直平行总是利用斜率来表示,有时,为了更加方便,回避讨论,通常利用向量来表示.生解:(2)假设存在实数k,使=0,则NA⊥NB.又∵M是AB的中点,∴|MN|=|AB|.由(1)知4)=+2.∵MN⊥x轴,∴.又|AB|=∴,解得k=±2,即存在k=±2,使得=0.师:我们再练一道弦长公式的应用例题.【深度学习】体会数形结合的思想,将直线平行、垂直关系用斜率和向量表示,充分体现解析法的思想,让学生体会解析几何的本质就是坐标法,从而降低思维难度.【典型例题】弦长公式的应用例3己知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P,Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆的方程.【少教精教】教师步步提问,逐步提示学生如何解决问题和解决题目过程中出现的问题,学生在教师引导下逐渐清晰解题思路并能独立解题,通过教师少教精教,学生完成题目要求,提升数学运算核心素养.师:求椭圆方程的方法有哪些？生:(1)定义法;(2)待定系数法.师:这里运用待定系数法,设出椭圆方程,然后呢？生:P,Q的坐标显然是求不出来的,可以设出来,利用设而不求的思想方法计算.师:要不要分类设方程？生:如果设为椭圆系方程可以不用分类.师:很好！设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去y,转化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解.生解:设椭圆方程为mx2+y2=1(m>0,n>0,m≠n),P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去y,得.因为.由OP⊥OQ,得,∴.∴m+n=2,①又,将m+n=2代入得.②由①②式,得,或故椭圆方程为或.【意义学习】引领学生从不同的角度探索解决问题的方法和途径,一方面进一步帮助学生体验求直线与圆锥曲线的位置关系;另一方面,让学生在不同的解法的探讨和交流中,建立起知识之间的联系,深化对弦长公式的理解.【以学定教】以求椭圆方程为载体将垂直、弦长问题融合到方程组中,充分利用根与系数的关系,强化“设而不求”的思想方法,使直线与圆锥曲线的位置关系问题得到深化.探究2中点弦问题师:下面看例4题.【典型例题】中点弦问题例4已知椭圆,求:(1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程;(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.【简单问题解决能力】学生在解决中点弦的过程中,能够想到用平方差的方法解决问题,设而不求,简化解题过程,提升了简单问题解决能力,锻炼了逻辑推理、数学运算核心素养.师:中点弦问题如何求解？生:可利用平方差法求解师:什么是平方差法？生:就是设出交点坐标,代入方程,相减,利用平方差公式得到中点和斜率的关系式,也叫“点差法”.师:此法要注意什么？生:最重要的是取值范围.师:对,当直线与圆锥曲线无交点时,“点差法”也能用,显然是不合理的,原因就是缺少取值范围的支撑.因此在求轨迹方程时要注意变量的范围.师解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.又A,B两点均在椭圆上,故有x+4y=16,x+4y=16.两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)(y1-y2).故.(1)由,得所求直线方程为x-2y-4=0.(2)由,得所求轨迹方程为x+8y=0(-4≤x≤4).(3)由,得所求轨迹方程为(x-4)2+4(y-1)2=20(-4≤x≤4).【归纳总结】点差法对中点弦问题,常用的解题方法——平方差法(点差法),其解题步骤为:(1)设点,即设出弦的两端点坐标;(2)代入,即代入圆锥曲线方程;(3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把上式展开,整理.【猜想探究能力】通过解决例4,师生共同归纳出解决中点问题的一类方法即点差法也是平方差法,在解决问题和归纳的过程中提升猜想探究能力.师:下面进行巩固训练.【巩固练习】求中点弦的长度已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为()A.B.2C.D.师:如何思考本题？生:用“点差法”.师:要不要考虑取值范围？生:应该考虑,但是,由于点在椭圆内部,因此,这条弦一定存在,可以不求,但是要说明一下.生解:依题设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,∵点在椭圆内部,因此,这条弦一定存在.又x+2y=4,x+2y=4,∴x-x=-2(y-y),∴此弦所在直线的斜率,∴此弦所在的直线方程为.代入,整理得,∴,∴.答案C师:直线与双曲弦的中点弦问题是否也可以用“点差法”解决,请看下题.【少教精教】弦中点问题解法一般为设而不求,关键是求出弦所在直线方程的斜率利用点差法,列出有关弦的中点及弦斜率之间关系求解.【巩固练习】中点弦问题已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且点B是弦Q1,Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.师:如何思考本题？生:用“点差法”.师:如何判断这条直线是否存在？生:不同于封闭曲线,难以判断.师:可以先尝试着先做出来,再检验.生解:设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)是双曲线上的两点,则x1≠x2,且x1+x2=2,y1+y2=2,由两式相减并变形得,若存在,则直线l为y-1=2(x-1),即y=2x-1联立得,由于∆=-8<0,方程无实根,即直线与双曲线无交点,故不存在满足条件的直线.【教师总结】(1)利用“点差法”解题,其过程是无法保证直线与双曲线相交的,因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证.【综合问题解决能力】通过对直线与双曲线相交时的中点弦问题的解决,使学生加深对点差法的掌握以及对数形结合、等价转化等数学思想方法的认知,使学生学会从理性的角度思考问题、优化思维,从而提升综合问题解决能力和数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养.(2)确定好运算方法,形成运算程序的完备性,有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.(3)中点弦问题用直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组来求解更好,“点差法”有自身的弱点,一般地,当题目中同时出现中点和斜率时才会使用.师:已知弦AB的中点,我们可以用点差法去研究AB的斜率和方程.(1)AB是椭圆(a>b>0)的一条弦,弦中点M(x0,y0),则AB的斜率为,运用“点差法”求AB的斜率.设A(x1,y1),B(x2,y2).A,B都在椭圆上,则两式相减得,即,即,故.(2)运用类比的方法可以推出:①已知AB是双曲线(a>0,b>0)的一条弦,弦中点M(x0,y0),则.②已知抛物线y2=2px(p>0)弦AB的中点为M(x0,y0),则.【深度学习】通过对中点弦问题的探究和对点差法的学习,师生共同归纳推导出当直线与三大圆锥曲线相交时,已知弦中点坐标时的弦斜率的通用公式,使学生的推测解释等数学能力和逻辑推理等核心素养得到进一步的提升.【课堂小结】直线交圆推曲线的弦长与中点弦问题1.连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦长.直线l:f(x,y)=0,曲线C:F(x,y)=0,l与C的两个不同的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标是方程组,的两组解,方程组消元后化为关于x(也可以是y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)或(ay2+by+c=0).判别式∆=b2-4ac,应有∆>0,所以x1,x2是方程ax2+bx+c=0的解.由根与系数的关系(韦达定理)求出,,则A,B两点间的距离,即为弦长公式,也可以写成关于y的形式,弦长公式为(k≠0).2.注意点(1)如果在设直线方程时涉及斜率,要注意斜率不存在的情况,为了避免讨论,过焦点的直线可设为x=my+c.(2)涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数的关系,设而不求计算弦长;涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系,设而不求简化运算:涉及过焦点的弦的问题,可考虑利用圆锥曲线的定义求解.3.圆锥曲线的中点弦问题直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何的主要内容之一,也是高考的一个热点问题.这类问题一般有以下三种类型:(1)求中点弦所在直线方程;(2)求弦中点的轨迹方程;(3)弦长为定值时,弦中点的坐标.其解法有设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等.【设计意图】在解决直线与圆锥曲线的位置关系的综合问题时,没有统一的套路可寻,必须仔细分析题目的特点,充分利用圆锥曲线的几何性质,一步一步探求解题方法,将数形结合、分类讨论、函数与方程的思想融合在解题过程中.教学评价本节所涉及的知识是平面解析几何中最重要的内容.它们渗透在三大圆锥曲线的各个部分,正是这一部分内容构成了解析几何的主体,又最能体现解析法的思想.本部分具体知识如下:(1)直线与圆锥曲线的位置关系问题,首先是几何问题,因此在解答这些问题时,应注意曲线几何性质的运用,如定义、范围、对称性、渐近线、离心率等这样可以使问题简化.(2)对本章中介绍的主要的数学方法——坐标法要引起足够重视.要注意学习如何借助于坐标系,用代数方法来研究几何问题,体会这种数形结合的思想.(3)首先将几何问题代数化,最核心的思想就是将点坐标化,然后用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题,处理代数问题,分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终应用所学知识,完成下题:【设计意图】通过直线与圆锥曲线位置关系的学习,解决直线与圆锥曲线位置关系的判断、弦长问题和中点弦问题.发展了学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养.(2021·山东泰州期末)如图,已知椭圆C:,矩形ABCD的顶点A,B在x轴上,C,D在椭圆C上,点D在第一象限.CB的延长线交椭圆C于点E,直线AE与椭圆C,y轴分别交于点F,G,直线CG交椭圆C于点H,DA的延长线交FH于点M.(1)设直线AE,CG的斜率分别为k1,k2,求证:为定值;(2)求直线FH的斜率k的最小值;(3)证明:动点M在一个定曲线上运动.【深度学习】求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围.解析:题目中出现的点虽多,但彼此之间关联紧密,A,B,C,D,E中任一点确定后,都能确定题中的图形,因此,以其中一个点作为主动点,遵循点线形成顺序,渐次表示出相关量是最容易想到的思路.解:(1)设A(x0,0),D(x0,y0),则B(-x0,0),C(-x0,y0),E(-x0,-y0).则,直线AE方程为y=,即,所以,所以k2=,所以.(2)(方法一)联立消去y,整理得(2x+y)x2-2x0yx+x+y-8x=0,解得,由于直线CG方程为,联立消去y,整理得(2x+9y)x2+6xyx+xy-8x2=0,解得,所以直线FH的斜率k=====,因为2x+3y≥2x0y0>0,所以,故k的最小值.【分析计算能力】探索性问题和证明题往往会涉及定点、定值问题,可以通过特例找寻定点、定值,然后利用逻辑推理的方法去证明.在解题的过程中提升分析计算能力.【综合问题解决能力】通过引领学生观