直线与圆的位置关系（第二课时）同步练习 高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册

.5.1直线与圆的位置关系（第二课时）（同步练习）一、选择题1.一涵洞的横截面是半径为5m的半圆，则该半圆的方程是()A.x2＋y2＝25B.x2＋y2＝25(y≥0)C.(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D.随建立直角坐标系的变化而变化2.一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是()A.13米B.14米C.5米D.16米3.如图，圆弧形拱桥的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为()A.15米B.13米C.9米D.6.5米4.如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45eq\r(2)m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10m，AB＝100m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)()A.100eq\r(2)B.100eq\r(3)C.150eq\r(2)D.150eq\r(3)5.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(3π,2)D.π6.方程eq\r(1－x2)＝x＋k有唯一解，则实数k的取值范围是()A.{－eq\r(2)}B.(－eq\r(2)，eq\r(2))C.[－1,1)D.{k|k＝eq\r(2)或－1≤k<1}7.(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝eq\f(4,3)x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为()A.6秒B.8秒C.10秒D.16秒8.(多选)从点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是()A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5eq\r(2)－1D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，1))二、填空题9.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________10.某圆弧形拱桥的水面跨度是20m，拱高为4m．现有一船宽9m，在水面以上部分高3m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低________m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01m)11.已知点A(－1,1)和圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A经x轴反射到圆C上的最短路程是________12.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P，Q分别在线段AD，CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约________秒(精确到0.1，eq\r(7)≈2.646)．三、解答题13.如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40eq\r(2)千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？14.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)15.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝eq\f(4,3).(1)求新桥BC的长；(2)当OM为多长时，圆形保护区的面积最大？参考答案及解析：一、选择题1.D2.D解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－6，－2)，B(6，－2)，设圆的方程为x2＋(y＋m)2＝m2(m>0)，将A点坐标代入圆的方程，则有m＝10，故圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，令y＝－4，则x＝±8，故|EF|＝16(米)．3.B解析：如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝eq\f(13,2)，所以拱桥的直径为13米．4.A解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k>0)，则当该直线与圆O相切时，新路长度最小，此时eq\f(|100k－10|,\r(k2＋1))＝45eq\r(2)，解得k＝1，此时求得新路长度为100eq\r(2)m.5.D解析：如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的eq\f(1,4)．6.D解析：由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0)只有一个交点，结合图形(图略)易得－1≤k<1或k＝eq\r(2)．7.AD解析：设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则由圆心到直线l的距离为eq\f(|m＋4|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2))＝eq\f(3,2)，得m＝－eq\f(3,2)或m＝－eq\f(13,2)，所以该圆运动的时间为eq\f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),\f(1,2))＝6(秒)或eq\f(\f(3,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2))),\f(1,2))＝16(秒)．8.BCD解析：点A(－3,3)关于x轴的对称点为A′(－3，－3)．圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.由相切知eq\f(|2k－2＋3k－3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)或k＝eq\f(3,4).所以反射光线方程为y＋3＝eq\f(4,3)(x＋3)或y＋3＝eq\f(3,4)(x＋3)．即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误；又A′(－3，－3)，C(2,2)的方程为y＝x，故B正确；因为|A′C|＝eq\r(2＋32＋2＋32)＝5eq\r(2)，所以光线经过的最短路程为5eq\r(2)－1，故C正确；由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))，所以被挡住的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，1))，故D正确．二、填空题9.答案：eq\f(7\r(2),2)－2解析：从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即eq\f(|2＋3＋2|,\r(12＋－12))－2＝eq\f(7\r(2),2)－2.10.答案：1.22解析：以水位未涨前的水面AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(0≤y≤4)，∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100＋b2＝r2，,4－b2＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－10.5，,r＝14.5.))∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)，令x＝4.5，得y≈3.28，故当水位暴涨1.5m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22(m)，船才能安全通过桥洞．11.答案：8解析：点A(－1,1)关于x轴的对称点为A′(－1，－1)，则点A′到圆C最短距离就是所求距离，又|A′C|＝eq\r(62＋82)＝10，所以所求最短路程为10－2＝8．12.答案：4.4解析：以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，可设点P(－10，－10＋1.5t)，Q(10，10－t)，可得直线PQ的方程为y－10＋t＝eq\f(20－2.5t,20)(x－10)，圆O的方程为x2＋y2＝1，由直线PQ与圆O有公共点，可得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2.5t－20,2)－t＋10)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20－2.5t,20)))2))≤1，化为3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤eq\f(8\r(7)－8,3)，而eq\f(8\r(7)－8,3)≈4.4，因此，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒．三、解答题13.解：(1)由题意，得A(40,40)，B(20,0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,402＋402＋40D＋40E＋F＝0，,202＋20D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－20，,E＝－60，,F＝0，))∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.(2)该船初始位置为点D，则D(－20，－20eq\r(3))，且该船航线所在直线l的斜率为1，故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20eq\r(3)＝0，由(1)得圆C的圆心为C(10,30)，半径r＝10eq\r(10)，由于圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|10－30＋20－20\r(3)|,\r(12＋12))＝10eq\r(6)<10eq\r(10)，故该船有触礁的危险．14.解：如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O的方程为x2＋y2＝252.直线AB的方程为eq\f(x,40)＋eq\f(y,30)＝1，即3x＋4y－120＝0.设点O到直线AB的距离为d，则d＝eq\f(|－120|,5)＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝eq\f(2\r(252－242),28)＝0.5(h)．所以这艘外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5h.15.解：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系Oxy.由条件知，A(0,60)，C(170，0)，直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－eq\f(4,3).又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝eq\f(3,4).设点B的坐标为(a，b)，则kBC＝eq\f(b－0,a－170)＝－eq\f(4,3)，①kAB＝eq\f(b－60,a－0)＝eq\f(3,4)，②联立①②解得a＝80，b＝120.所以|BC|＝eq\r(170－802＋0－1202)＝150.因此新桥BC的长为150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm，|OM|＝dm(0≤d≤60)．由条件知，直线BC的方程为y＝－eq\f(4,3)(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圆M与直线BC相切