等比数列与指数函数教学设计 高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

教学设计

课程基本信息学科数学年级高二学期秋季课题1.3.2等比数列与指数函数教学目标1.按照等差数列的研究路径，利用具体实例操作，让学生经历从特殊到一般的逻辑推导过程，体会等比数列与指数函数的关系。2.通过信息技术展示图象的变化，引导学生发现等比数列的增减性，发展学生的数学直观想象的数学核心素养。教学内容教学重点：从图象和解析式来认识等比数列与指数函数的关系教学难点：利用信息技术展示让学生直观理解等比数列的增减性教学过程（一）类比旧知，引出课题引言：同学们，我们是如何研究等差数列的？类比等差数列的研究路径，我们已经推导了等比数列的通项公式，通项公式是什么？接下来应该研究什么呢？师生活动：教师借助思维导图带领学生共同经历等差数列的研究过程，类比等差数列，导入新知课题。设计意图：通过复习等差数列，让学生感受到研究数列的统一路径，使得接下来的学习水到渠成，也为如何继续研究等比数列指明方向。（二）信息技术引领，探索新知师生活动：等比数列an的通项公式为，类比等差数列，将通项公式中的正整数自变量转换为实数自变量,得到函数,教师借助GGB画出函数图象，让学生观察图象，从图形的直观中发现问题并分析问题。问题1：当函数的自变量取正整数值时，图象发生了什么变化？（教师通过对取1、2、3、4,在函数图象上描出几个特殊点，给学生直观感受）追问1：从图象中能发现等比数列对应的点n,an都在函数的图象上，那函数上的点都是数列所对应的点吗？追问2：可以借助函数的图象来研究数列的性质，你能准确描述数列an的单调性？追问3：从函数与数列的关系出发，等比数列an设计意图：通过两次转换和信息技术的辅助，教师直观地体现等比数列与指数函数的共性和差异，学生从图象中认识了两者的关系，提高学生的直观想象的数学核心素养。师生活动：给出三个通项公式分别为，，的等比数列，留给学生时间自己动手作图，观察数列的单调性。教师在学生思考后，展示已经用GGB做好的相应图象，并提出问题。问题2：观察和两个通项公式和它们的图象，能发现数列an的单调性的什么规律？追问1：观察和两个通项公式和它们的图象，能发现数列an的单调性的什么规律？追问2：观察这四个特殊的等比数列的图象和解析式，你能得出关于等比数列单调性的一般结论？（教师对学生给出的一般性的结论进行完善，用表格的形式展现出来，一目了然）设计意图：从图象的比较中发现首项和公比对等比数列单调性的影响，进一步用控制变量的方法分析解析式，让学生感受形的直观，数的严谨，过程中渗透特殊到一般的数学思想方法，也让学生通过实际操作，体验发现“等比数列单调性”的过程，从而加深对数列研究方法的理解。问题3：等比数列对公比有什么要求？上述表格还有什么要补充的？追问1：当公比等于1时，你能描出此时等比数列的图象？此时的图象能否借助指数函数的图象来研究？追问2：公比等于1的等比数列是常数列，也是等差数列，那么常数列一定既是等差数列又是等比数列吗？追问3：当公比小于0时，你能描出此时等比数列的图象？此时的图象能否借助指数函数的图象来研究？（举出一个公比小于0的一个等比数列，教师继续借助GGB描出此时的散点图，同时完善表格）设计意图：充分利用信息技术展示图象变化，有助于学生直观理解等比数列的增减性；同时对公比进行分类讨论，提升学生的分析能力，培养严谨的数学思维。典例辨析，强化应用公比大于0且不等于1的等比数列的通项公式an可以借助函数来研究性质，且数列an的点都落在函数的图象上，则对于这类数列的通项我们可以统一表示为an=A×q问题4：例1：我们知道通项公式为一次函数的数列是等差数列，类比等差，如果一个数列的通项公式为，其中均为非零常数,那么它是等比数列吗？师生活动：引导学生利用等比数列的定义证明数列为等比数列，并观察通项公式形式特征。设计意图：通过逆向思考问题的方式，开拓学生的思维，给出判断一个数列是否为等比数列的一个方法。问题5：例2：已知数列的通项公式为数列bn的通项公式为,那么数列anbn变式1：上述的结论具有一般性吗？特殊地，若是非零常数，那么数列是等比数列吗？变式2：数列an设计意图：类比等差性质进行推导，以此丰富学生对等比数列和等差数列的认识，同时加深学生对特殊到一般的数学思想方法的认识。练习：已知、是项数相同的数列，若数列是公差为的等差数列，数列满足，证明：数列是等比数列.师生活动：这个练习是借助指数的运算性质将等差数列和等比数列联系起来，请同学们类比此题，借助对数的运算性质同样将等差数列和等比数列联系起来。设计意图：让学生在理解指数、对数运算性质的基础上，进一步将等差数列和等比数列联系起来，并让学生发挥他们的主动性，自主设计题目，培养学生的创新意识。课堂小结，凝练升华师生活动：对本节课的内容进行梳理，从四个具体实例到一般的结论，从图象和解析式两个方面，通过两次转换将等比数列和指数函数联系起来，分类讨论了数列的单调性并引导学生发现下一节将研究等