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文档简介
初二数学上学期期末考试卷及答案
一.选择题(共10小题)
1.(2013•铁岭)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB二DE,还需添加两个条件才能使△ABC合△DEC,不能添
加的一组条件是()
BC
A.BC=EC,ZB=ZEB.BC=EC,AC=DCC.BC=DC,ZA=ZDD.ZB=ZE,ZA=ZD
2.(2011•恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DF_LAB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别
为50和39,则AEDF的面积为()
3.(2013•贺州)如图,在△ABC中,ZABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点,则BF的长是()
4.(2010♦海南)如图,a、b、c分别表示△ABC的三边长,则下面与△ABC一定全等的三角形是()
5.(2013♦珠海)点(3,2)关于x轴的对称点为()
A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,・2)D.(2,-3)
6.(2013•十堰)如图,将^ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合.已知AC=5cm,△ADC的周长为17cm,
则BC的长为()
A
不
A.7cmB.10cmC.12cmD.22cm
7.(2013•新疆)等腰三角形的两边长分别为3和6,,则这个等腰三角形的周长为()
A.12B.15C.12或15D.18
8.(2013•烟台)下列各运算中,正确的是()
A.3a+2a=5a2B.(-3a3)2=9a6C.zi44-a2=a3D.(a+2)2=a2+4
9.(2012•西宁)下列分解因式正确的是()
A.3x2-6x=x(3x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)
C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)D.4lx2-2xy+y2=(2x-y)2
10.(2013•恩施州)把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是()
A.y(x2-2xy+y2)B.x2y-y2(2x-y)C.j<(x-y)2D.y(x+y)2
二.填空题(共10小题)
11.(2013•资阳)如图,在RSABC中,ZC=90°,ZB=60°,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD
翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则^PEB的周长的最小值是_____________.
1
12.(2013•黔西南州)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、C)、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则
NE=____________度,
RCDE
13.(2013•枣庄)若一b2二La-b=i则a+b的值为________
63
14.(2013•内江)若m2-,=6,且m-n=2,则m+n=
15.(2013♦荷泽)分解因式:3a2-“ab+lZb、.
16.(2013•盐城)使分式上UJ值为零的条件是*=____________.
2x-l
17.(2013•南京)使式子1+」-有意义的x的取值范围是____________.
X-1
2-Q
18.(2012•茂名)若分式W_^的值为0,则a的值是_____________.
a+3
19.在下列几个均不为零的式子,X2-4,X2-2X,x2-4x+4,x2+2x,x?+4x+4中任选两个都可以组成分式,请你
选择一个不是最简分式的分式进行化简:.
3a+0.05b
20.不改变分式的值,把分式分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是
5a-0.2b
2
三.解答题(共8小题)
21.(2013•遵义)已知实数a满足a2+2a-15=0,求_」叫+Q+?Q+2)的值.
a+1a2-1a2-2a+l
222
22.(2013•重庆)先化简,再求值:-—」a+9b+(-^―-a-2b)-1其中a,b满足卜+右,.
a2-2aba-2ba(a-b=2
22
23.(2007•资阳)设ai=32-12,a2=52_32…an=(2n+l)-(2n-1)(n为大于0的自然数).
(1)探究an是否为8的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论;
(2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数试找出ai,a2,…,an,…这一列数中从
小到大排列的前4个完全平方数,并指出当n满足什么条件时,an为完全平方数(不必说明理由).
24.在△ABC中,若AD是NBAC的角平分线,点E和点F分别在AB和AC上,且DEJ_AB,垂足为E,DF±AC,
垂足为F(如图(1)),则可以得到以下两个结论:
①/AED+/AFD=180°;②DE二DF.
那么在△ABC中,仍然有条件"AD是NBAC的角平分线,点E和点F,分别在AB和AC上〃,请探究以下两个问
题:
(1)若NAED+NAFD=180。(如图(2)),则DE与DF是否仍相等?若仍相等,请证明;否则请举出反例.
(2)若DE=DF,则NAED+NAFD=I8O。是否成立?(只写出结论,不证明)
A
25.(2012•遵义)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),
Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE_LAB
于E,连接PQ交AB于D.
(1)当NBQD=30。时,求AP的长;
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
26.(2005•江西)将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形
式,使点B、F、C、D在同一条直线上.
(1)求证:ABXED;
(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证
27.(2013•沙河口区一模)如图,RSABC中,N090。,AC=3,BC=4.点M在AB边上以1单位长度/秒的速度
从点A向点B运动,运动到点B时停止.连接CM,将△ACM沿着CM对折,点A的对称点为点A,.
(1)当CM与AB垂直时,求点M运动的时间;
(2)当点A,落在△ABC的一边上时,求点M运动的时间.
28.已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和ABCE,且CA二CD,CB=CE,
ZACD=ZBCE,直线AE与BD交于点F,
(1)如图1,若NACD=60。,则NAFB二;如图2,若NACD=90。,则NAFB二:如图
3,若NACD=120%则/AFB=:
(2)如图4,若NACD=a,则NAFB=(用含a的式子表示);
(3)将图4中的AACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上),变成如图5所示
的情形,若/ACD=a,则NAFB与a的有何数量关系?并给予证明.
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题)
1.(2013•铁岭)如图,在△ABC和△DEC中,已知AB=DE,还需添加两个条件才能使△ABB△DEC,不能添
加的一组条件是()
R
A.BC=EC,ZB=ZEB.BC=EC,AC=DCC.BC=DC,ZA=ZDD.ZB=ZE,ZA=ZD
考点:全等三角形的判定.
分析:根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可.
解答:解:A、已知AB=DE,再加上条件BC=EC,NB=NE可利用SAS证明△ABC空△DEC,故此选项不合题
意;
B、已知AB=DE,再加上条件BOEC,AC=DC可利用SSS证明△ABC"&DEC,故此选项不合题意;
C、已知AB=DE,再加上条件BC=DC,NA=/D不能证明△ABC合△DEC,故此选项符合题意;
D、已知AB二DE,再加上条件NB二NE,NA=ND可利用ASA证明△ABC合△DEC,故此选项不合题意;
故选:C.
点评:本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对
应相等时,角必须是两边的夹角.
2.(2011•恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DFJ_AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别
C.7D.3.5
考点:角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.
专题:计算题;压轴题.
分析:作DM二DE交AC于M,作DN_LAC,利用角平分线的性质得到DN二DF,将三角形EDF的面积转化为三
角形DNM的面积来求.
解答:解:作DM=DE交AC于M,作DN_LAC,
.DE=DG,DM=DE,
/.DM=DG,
.AD是△ABC的角平分线,DF±AB,
DF=DN,
在RtADEF和RtADMN中,
[DN=DF,
IDM=DET
RIADEmRsDMN(HL),
△ADG和今AED的面积分别为50和39,
SAMDG=SAADG-SAADM=50-39=11,
SADNM=SADEF=^SAMDG=—X11=5.5
22
故选B.
点评:本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质,解题的关键是正确地作出辅助线,将所求的三角
形的面积转化为另外的三角形的面积来求.
3.(2013•贺州)如图,在△ABC中,ZABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点,则BF的长是()
C.8cmD.9cm
考点:仝等三角形的判定与性质.
分析:求出NFBD二NCAD,AD=BD,证△DBF2△DAC,推出BF=AC,代入求出即可.
解答:解::F是高AD和BE的交点,
NADC=ZADB=ZAEF=90\
ZCAD+ZAFE=90°,ZDBF+ZBFD=90°,
/ZAFE=ZBFD,
ZCAD=ZFBD,
/ZADB=90°,ZABC=450,
.,.ZBAD=45°=ZABD,
/.AD=BD,
在^DBF和仆DAC中
'NFBD二NCAD
<DB=AD
ZFDB=ZCDA
/.△DBF空△DAC(ASA),
BF=AC=8cm,
故选C.
点评:本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的内角和定理的应用,关键是推出
△DBF^△DAC.
4.(2010♦海南)如图,a、b、c分别表示△ABC的三边长,则下面与△ABC一定全等的三角形是()
考点:全等三角形的判定.
分析:根据全等三角形的判定方法进行逐个验证,做题时要找准对应边,对应角.
解答:解:A、与三角形ABC有两边相等,而夹角不一定相等,二者不一定全等;
B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等,二者全等;
C、与三角形ABC有两边相等,但角不是夹角,二者不全等;
D、与三角形ABC有两角相等,但边不对应相等,二者不全等.
故选B.
点评:本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS.ASA、SAS、SSS,
直角三角形可用HL定理,但AAA、SSA,无法证明三角形全等,本题是一道较为简单的题目.
5.(2013•珠海)点(3,2)关于x轴的对称点为()
A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,・2)D.(2,-3)
考点:关于x轴、y轴对称的点的坐标.
分析:根据关于x轴对称点的坐标特点:横坐标不变,纵坐标互为相反数可直接写出答案.
解答:解:点(3,2)关于x轴的对称点为(3,-2),
故选:A.
点评:此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点,关键是掌握点的坐标的变化规律.
6.(2013•十堰)如图,将△ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合.已知AC=5cm,△ADC的周长为17cm,
则BC的长为()
B.10cmC.12cmD.22cm
考点:翻折变换(折叠问题).
分析;首先根据折叠可得AD=BD,再由△ADC的周长为17cm可以得到AD.DC的长,利用等量代换可得BC的
长.
解答:解:根据折叠可得:AD=BD,
△ADC的周长为17cm,AC=5cm,
/.AD+DC=17-5=12(cm),
•••AD=BD,
BD+CD=12cm.
故选:C.
点评:此题主要考查了翻折变换,关键是掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小
不变,位置变化,对应边和对应角相等.
7.(2013•新疆)等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为()
A.12B.15C.12或15D.18
考点:等腰三角形的性质;三角形三边关系.
分析:因为已知长度为3和6两边,没有明确是底边还是腰,所以有两种情况,需要分类讨论.
解答:解:①当3为底时,其它两边都为6,
3、6、6可以构成三角形,
底长为15;
②当3为腰时,
其它两边为3和6,
3+3=6=6,
・••不能构成三角形,故舍去,
・•.答案只有15.
故选B.
点评:本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,
分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
8.(2013•烟台)下列各运算中,正确的是()
A.3a+2a=5a2B.(-3a3)2=9a6C.a4va2=a3D.(a+2)2=a2+4
考点:同底数辕的除法;合并同类项;制的乘方与积的乘方;完全平方公式.
分析:根据合并同类项的法则、幕的乘方及积的乘方法则、同底数塞的除法法则,分别进行各选项的判断即可.
解答:解:A、3a+2a=5a,原式计算错误,故本选项错误:
B、(-3a3)2=9a6,原式计算正确,故本选项正确;
C、a4va2=a2,原式计算错误,故本选项错误;
D、(a+2)2=a2+4a+4,原式计算错误,故本选项错误;
故选B.
点评:本题考查了同底数冢的除法、塞的乘方与积的乘方,解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则.
9.(2012•西宁)下列分解因式正确的是()
A.3x2-6x=x(3x-6)B.-a2+b2=(b+a)(b-a)
C.4x2-y2=(4x+y)(4x-y)D.4x2-2xy+y2=(2x-y)2
考点:因式分解-运用公式法;因式分解-提公因式法.
专题:计算题.
分析:根据因式分解的定义,把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解,并根据提取公因式法,利用平
方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解.
解答:解:A、3x2-6x=3x(x-2),故本选项错误;
B、-a2+b2=(b+a)(b-a),故本选项正确;
C、4x2-y2=(2x+y)(2x-y),故本选项错误;
D、4x2・2xy+y2不能分解因式,故本选项错误.
故选B.
点评:本题主要考查了因式分解的定义,熟记常用的提公因式法,运用公式法分解因式的方法是解题的关键.
10.(2013•恩施州)把x2y・2y?x+y3分解因式正确的是()
A.y(x2-2xy+y2)B.x2y-y2(2x-y)C.y(x-y)2D.y(x+y)2
考点:提公因式法与公式法的综合运用.
分析:首先提取公因式y,再利用完全平方公式进行二次分解即可.
解答:解:x2y-2y2x+y3
=y(x-2yx+y-)
=y(x-y)2.
故选:C.
点评;本题主要考查了提公因式法,公式法分解因式,提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解,注意分解
要彻底.
二.填空题(共10小题)
II.(2013•资阳)如图,在RSABC中,ZC=90%NB=60。,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD
翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则ZkPEB的周长的最小值是」
考点:轴对称-最短路线问题;含30度角的直角三角形;翻折变换(折叠问题).
专题:压轴题.
分析:连接CE,交AD于M,根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时,PE+BP的值最小,即可此时^BPE
的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,先求出BC和BE长,代入求出即可.
解答:
解:连接CE,交AD于M,
•••沿AD折叠C和E重合,
•.NACD=ZAED=90",AC=AE,ZCAD=ZEAD,
•.AD垂直平分CE,即C和E关于AD对称,CD=DE=1,
・••当P和D重合时,PE+BP的值最小,即此时△BPE的周长最小,最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE,
/ZDEA=90°,
/.ZDEB=90%
/ZB=60°,DE=1,
..BE=近,BD=-§J3,
33
即BC=l+Zj^
3
△PEB的周长的最小值是BC+BE=I+-?V34--V3=I+V3»
33
故答案为;ii表.
点评:本题考查了折叠性质,等腰三角形性质,轴对称-最短路线问题,勾股定理,含30度角的直角三角形性质
的应用,关键是求出P点的位置,题目比较好,难度适中.
12.(2013•黔西南州)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则
NE=15度.
考点:等边三角形的性质;三角形的外角性质;等腰三角形的性质.
专题:压轴题.
分析:根据等边三角形三个角相等,可知NACB=60。,根据等腰三角形底角相等即可得出NE的度数.
解答:解:・・,△ABC是等边三角形,
•.NACB=60°,ZACD=120°,
.CG=CD,
/.ZCDG=3O°,ZFDE=150°,
•.DF=DE,
.1.ZE=I5°.
故答案为:15.
点评:本题考查了等边三角形的性质,互补两角和为180。以及等腰三角形的性质,难度适中.
13.(2013•枣庄)若一b2二La-b=i则a+b的值为.
63~T~
考点:平方差公式.
专题:计算题.
分析:已知第一个等式左边利用平方差公式比简,将a-b的值代入即可求出a+b的值.
解答:解:’「a?-b?=(a+b)(a-b)=—>a-b=—,
63
/.a+b」.
2
故答案为:a.
2
点评:此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
14.(2013•内江)若m2-«=6,且m-n=2,则m+n=3.
考点:因式分解-运用公式法.
分析:将n?-/按平方差公式展开,再将m-n的值整体代入,即可求出m+n的值.
解答:解:m2-n2=(m+n)(m-n)=(m+n)x2=6>
故m+n=3.
故答案为:3.
点评:本题考查了平方差公式,比较简单,关键是要熟悉平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.
15.(2013•莉泽)分解因式:3a2-12ab+12bZ3(a-2b)2.
考点:提公因式法与公式法的综合运用.
分析:先提取公因式3,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案.
解答:解:3a2-12ab+12b2=3(a2-4ab+4b2)=3(a-2b)2.
故答案为:3(a-2b)2.
点评:本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识.一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用
其他方法进行因式分解,注意因式分解要彻底.
16.(2013•盐城)使分式值为零的条件是*=-i.
2x-l
考点:分式的值为零的条件.
分析:分式的值为零时,分子等于零,且分母不等于零.
解答:解:由题意,得
x+l=O,
解得,X=-1.
经检验,x=-1时,"1-0.
2x-l
故答案是:・1.
点评:本题考查了分式的值为零的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这
两个条件缺一不可.
17.(2013•南京)使式子1+—^有意义的x的取值范围是xwl.
x-1
考点:分式有意义的条件.
分析:分式有意义,分母不等于零.
解答:解:由题意知,分母X-1H0,即x制时,式子l+二^ff意义.
x-1
故填:x#l.
点评:本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念:
(1)分式无意义=分母为零;
(2)分式有意义o分母不为零;
(3)分式值为零o分子为零且分母不为零.
18.(2012•茂名)若分式3_的值为0,则a的值是3.
a+3
考点:分式的值为零的条件.
专题:探究型.
分析:根据分式的值为。的条件列出关于a的不等式组,求出a的值即可.
解答:2_Q
解:•.•分式3_的值为0,
a+3
a2-9=0
••,
a+3卉0
解得a=3.
故答案为:3.
点评:本题考查的是分式的值为0的条件,即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.
19.在下列几个均不为零的式子,X2-4,x2-2x,x2-4x+4,x2+2x,x2+4x+4中任选两个都可以组成分式,请你
选择一个不是最简分式的分式进行化简:—.
―x+2-
考点:最简分式.
专题:开放型.
分析:在这几个式子中任意选一个作分母,注意另选一个作分子,就可以组成分式.因而可以写出的分式有很多
个,把分式的分子分母分别分解因式,然后进行约分即可.
解答:解x2-2x_x(_-2)_--2
x2+2Xx(x+2)x+2'
点评:本题主要考查分式的定义,分母中含有字母的有理式就是分式.并且考查了分式的化简,首先要把分子、
分母分解因式,然后进行约分.
20.不改变分式的值,把分式;0十0・05b分子分母中的各项系数化为整数且为最简分式是
当一0.2b
2
60atb
-10a-4b-
考点:最简分式.
分析:首先将分子、分母均乘以100,若不是最简分式,则一定要约分成最简分式.本题特别注意分子、分母的每
一项都要乘以100.
解答:解:分子、分母都乘以100得,300&+5b,
50a-20b
约分得,60a+b
10a-4b
点评:解题的关键是正确运用分式的基本性质.
三.解答题(共8小题)
21.(2013•遵义)已知实数a满足a?+2a-15=0,求」--廿2+(a+?(a+2)的值.
a+1a2-1a2-2a+l
考点:分式的化简求值.
分析:先把要求的式子进行计算,先进行因式分解,再把除法转化成乘法,然后进行约分,得到一个最简分式,
最后把a2+2a-15=0进行配方,得到一个a+1的值,再把它整体代入即可求出答案.
解答:解:_L-a+2:(a+1)(a+2)_i________a+2.殳-1)2_1_
22-
a+1a-1a-2a+la+1(a+1)(a1)(a+1)(a+2)a+1
1_2
(a+1)2(a+1J'
a2+2a-15=0,
(a+1)2=16,
点评:此题考查了分式的化简求值,关键是掌握分式化简的步骤,先进行通分,再因式分解,然后把除法转化成
乘法,最后约分;化简求值题要将原式化为最简后再代值.
22.(2013・重庆)先化简,再求值:屋—6ab+9(^kL-a-2b)-X其中a,b满足("工’.
a2-2aba-2ba(a-b=2
考点:分式的化简求值;解二元一次方程组.
专题:探究型.
分析:先根据分式混合运算的法则把原式进夕亍化简,再求出a、b的值代入进行计算即可.
:(a-3b);a-2b1
a(a-2b)(3b-a)(3b+a)a
3ba1
a(3b+a)a
一2
3b+a
a+b=4
a-b=2
a二3
b=l
.,・原式=-2:—1«
3X1+33
点评:本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.
23.(2007•资阳)设ai=32-12,@2=5?-3?,a产(2n+l)2-(2n-1)2(n为大于0的自然数).
(1)探究an是否为8的倍数,并用文字语言表述你所获得的结论;
(2)若一-个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数试找出ai,a2,…,an,…这一列数中从
小到大排列的前4个完全平方数,并指出当n满足什么条件时,an为完全平方数(不必说明理由).
考点:因式分解-运用公式法.
专题:规律型.
分析:(1)利用平方差公式,将(2n+l)2-(2n-1)2化简,可得结论;
(2)理解完全平方数的概念,通过计算找出规律.
解答:解:(1)an=(2n+l)2-(2n-1)2=4n2+4n+l-4n2+4n-l=8n,(3分)
又n为非零的自然数,
・•.an是8的倍数.(4分)
这个结论用文字语言表述为:两个连续奇数的平方差是8的倍数(5分)
说明:第一步用完全平方公式展开各(1),正确化简(1分).
(2)这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16,64,144,256.(7分)
n为一个完全平方数的2倍时,an为完全平方数(8分)
说明:找完全平方数时,错一个扣(1),错2个及以上扣(2分).
点评:本题考查了公式法分解因式,属于结论开放性题目,通过一系列的式子,找出一般规律,考查了同学们的
探究发现的能力.
24.在△ABC中,若AD是NBAC的角平分线,点E和点F分别在AB和AC上,且DE_LAB,垂足为E,DF_LAC,
垂足为F(如图(1)),则可以得到以下两个结论:
①NAED+NAFD=180。;②DE=DF.
那么在△ABC中,仍然有条件"AD是NBAC的角平分线,点E和点F,分别在AB和AC上”,请探究以下两个问
题:
(1)若NAED+NAFD=180。(如图(2)),则DE与DF是否仍相等?若仍相等,请证明;否则请举出反例.
(2)若DE=DF,则NAED+NAFD=180。是否成立?(只写出结论,不证明)
A
考点:全等三角形的判定与性质:角平分线的性质.
专题:证明题.
分析:(1)过点D作DM_LAB于M,DN_LAC于N,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DM=DN,
再根据NAED+NAFD=180。,平角的定义得NAFD+NDFN=180。,可以推出NDFN=NAED,然后利用角角
选定理证明△DME与bDNF全等,根据全等三角形对应边相等即可证明;
(2)不一定成立,若DE、DF在点D到角的两边的垂线段上或垂线段与点A的两侧,则成立,若是同侧
则不成立.
解答:解:(1)DE=DF.
理由如下:
过点D作DM_LAB于M,DN_LAC于N,
.AD平分NBAC,DM_LAB,DN_LAC,
..DM=DN,
NAED+ZAFD=180°,ZAFD+ZDFN=180°,
ZDFN=ZAED,
」.△DME^△DNF(AAS),
DE=DF;
(2)不一定成立.
如图,若DE、DF在点D到角的两边的垂线段与顶点A的同侧则一定不成立,
经过(1)的证明,若在垂线段上或两侧则成立,
所以不一定成立.
(2)颗图
(1)题图
点评:本题考查了角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,从题目提供信息找出求证的思路是解题的关键,
读懂题目信息比较重要.
25.(2012•遵义)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),
Q是CB廷长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE_LAB
于E,连接PQ交AB于D.
(1)当NBQD=30。时,求AP的长;
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
专题:压轴题;动点型.
分析:(1))由△ABC是边长为6的等边三角形,可知NACB=60。,再由NBQD=30。可知NQPC=90。,设AP=X,
贝IJPC-6-X,QB-x,在RSQCP中,ZBQD-30%PC-&C,BP6-x-1(6+x),求山x的值即可;
22
(2)作QF_LAB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,由点P、Q做匀速运动且速度相同,可知
AP二BQ,
再根据全等三角形的判定定理得出△APE合△BQF,再由AE二BF,PE=QF且PEllQF,可知四边形PEQF
是平行四边形,进而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE=-UB,由等边△ABC的边长为6可得出DE=3,故
2
当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
解答:解:(1)••・△ABC是边长为6的等边三角形,
・./ACB=60%
,.NBQD=30°,
NQPC=90°,
设AP=x,则PC=6・x,QB=x,
QC=QB+BC=6+x,
,.在RsQCP中,ZBQD=30%
PC=-1QC,即6-X=l(6+x),解得x=2,
AP=2:
(2)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
作QFJ_AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,
又PE_LAB于E,
.,.ZDFQ=ZAEP=90°,
•・•点P、Q速度相同,
AP=BQ,
・・・△ABC是等边三角形,
•.NA=ZABC=ZFBQ=60°,
在△APE和4BQF中,
/ZAEP=ZBFQ=90°,
..NAPE=ZBQF,
'NA二NFBQ
在乙APE和4BQF中,AP=BQ
ZAEP=ZBFQ
△APE合△BQF(AAS),
/.AE=BF,PE=QF且PEIIQF,
二.四边形PEQF是平行四边形,
「•DEJEF,
2
•.EB+AE=BE+BF=AB,
DE」AB,
2
又•「等边△ABC的边长为6,
.,.DE=3,
・•・当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
A
点评:本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质,根据题意作出辅助
线构造出全等三角形是解答此题的关键.
26.(2005•江西)将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形
式,使点B、F、C、D在同一条直线上.
(1)求证:AB±ED:
(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证
考点:翻折变换(折叠问题);直角三角形全等的判定.
专题:几何综合题;压轴题.
分析:做此题要理解翻折变换后相等的条件,同时利用常用的全等三角形的判定方法来判定其全等.
解答:证明:(1)由题意得,NA+NB=90。,NA=ND,
ZD+ZB=90°,
AB±DE.(3分)
(2)AB±DE,AC±BD
NBPD=ZACB=90°,
在△ABC和^DBP,
'NA=ND
<NACB=NDPB,
BC=BP
「.△AB8△DBP(AAS).(8分)
说明:图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对:
△APN年4DCN、△DEF合△DBP、AEPM合△BFM.
点评:此题考查了翻折变换及全等三角形的判定方法等知识点,常用的判定方法有SSS、SAS、AAS.HL等.
27.(2013•沙河口区一模)如图,RQABC中,ZC=90°,AC=3,BC=4.点M在AB边上以I单位长度/秒的速度
从点A向点B运动,运动到点B时停止.连接CM,将△ACM沿着CM对折,点A的对称点为点A,.
(1)当CM与AB垂直时,求点M运动的时间;
(2)当点A,落在△ABC的一边上时,求点M运动的时间.
考点:翻折变换(折叠问题).
分析:(1)由RSABC中,ZC=90%CM与AB垂直,易证得△ACM-△ABC,然后由相似三角形的对应边成
比例,即可求得AM的长,即可得点M运动的时间;
(2)分别从当点A,落在AB上时与当点A,落在BC上时去分析求解即可求得答案.
解答:解:(1)RlAABC中,ZC=90°,CM±AB,
ZA=ZA,ZAMC=ZACB=90°,
AACM~△ABC»
.ACAM
一而下,
/AC=3,BC=4,
AB=7AC2+BC2=5.
・••点M运动的时间为:g;
5
(2)①如图1,当点A,落在AB上时,
此时CM±AB,
则点M运动的时间为:8;
5
②如图2,当点A,落到BC上时,CM是NACB平分线,
过点M作ME_LBC于点E,作MF_LAC于点F,
ME=MF,
SAABC=SAACM+SABCM»
1AC»BC=1AC«MF+1BC«ME,
222
lx3x4=i<3xMF+lx4xMF,
222
解得:MF”,
7
1.ZC=90°,
/.MFIIBC,
.・.△AMFs△ABC,
.MFAM
12
即王J,
45
解得:AM=K,
7
综上可得:当点A,落在△ABC的一边上时,点M运动的时间为:9或里.
57
点评,此题考查了相似三角形的判定弓性质,折叠的性质以及勾股定理等知识.此题难度较大,注意掌握数形结
合思想与分类讨论思想的应用.
28.已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA二CD,CB=CE,
ZACD=ZBCE,直线AE与BD交于点F,
(1)如图1,若NACD=60。,则NAFB=120°;如图2,若NACD=90°,则NAFB=90°;如图3,若NACD=120°,
则NAFB=60°;
(2)如图4,若NACD二a,则NAFB=180tl-a(用含a的式子表示。
(3)将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上),变成如图5所示
的情形,若NACD=a,则NAFB与a的有何数量关系?并给予证明.
考点:等边三角形的判定与性质.
专题:证明题;探究型.
分析:(1)如图1,首先证明△BCD合△ECA,得出NEAC=NBDC,再根据NAFB是△ADF的外角求出其度数.
如图2,首先证明△ACEW△DCB,得出NAEONDBC,又有NFDE=/CDB,进而得出NAFB=90。.
如图3,首先证明4ACE之△DCB,得出NEAC=ZBDC,又有NBDC+ZFBA=1800-ZDCB得到
ZFAB+ZFBA=120。,进而求出NAFB=60°.
(2)由NACD=NBCE得至IJNACE=NDCB,再由三角形的内角和定理得NCAE=NCDB,从而得出
ZDFA=ZACD,得到结论NAFB=1800-a.
(3)由NACD=ZBCE得到/ACE=ZDCB,通过证明4ACE合△DCB得/CBD=ZCEA,由三角形内角
和定理得到结论NAFB=180--a.
解答:解:(1)如图1,CA=CD,ZACD=60°,
所以△ACD是等边三角形.
.CB=CE,ZACD=ZBCE=60°,
所以△ECB是等边三角形.
,/AC=DC,ZACE=ZACD+ZDCE,ZBCD=ZBCE+ZDCE,
又NACD=ZBCE,
ZACE=ZBCD.
.AC二DC,CE=BC,
△ACE堂△DCB.
ZEAC=ZBDC.
NAFB是△ADF的外角.
•.NAFB=ZADF+ZFAD=ZADC+ZCDB+ZFAD=ZADC+ZEAC+ZFAD=ZADC+ZDAC=120°.
如图2,/AC=CD,ZACE=ZDCB=90%EC=CB,
」.△ACaADCB.
..NAEC=ZDBC,
又NFDE=NCDB,NDCB=90。,
ZEFD=90°.
ZAFB=90°.
如图3,「NACD=/BCE,
NACD-ZDCE=ZBCE-ZDCE.
.,.ZACE=ZDCB.
又「CA二CD,CE=CB,
△AC哙△DCB.
ZEAC=ZBDC.
•.zBDC+ZFBA=180°-NDCB=180*-(180-ZACD)=1
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