高等数学三章导数与微分

1§3.1导数的概念§3.2导数运算法则§3.3隐函数、含参数导数、高阶导数§3.4函数的微分第三章导数与微分2§3.1导数的概念一、引出导数概念的实例二、导数的定义三、利用定义计算导数四、导数的几何意义五、可导与连续的关系3一、引例1.自由落体运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动42.曲线的切线斜率曲线在M

点处的切线割线MN

的极限位置MT(当时)割线MN

的斜率切线MT的斜率5两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.63.1.2、导数的定义定义1.

设函数在点存在,并称此极限为也叫做微商，记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数,

若上述极限不存在,在点不可导.就说函数7例3.3

求函数在点的导数解：8

3.1.3单侧导数

定义3.2如果极限

存在，则称此极限为函数在点处的左导数，记作；如果极限存在，则称此极限为函数在点处的右导数，记作定理3.1：函数在x0点处可导当且仅当910若函数在开区间

I

内每点都可导（对于区间端点，考虑相应地单侧导数）,就称函数在

I内可导.

此时导数值构成的新函数称为导函数.

记作:3.1.4导函数11解：1213

定理3.2:如果函数在点处可导，则它在处必连续．证明因为函数y=f(x)在x0点处可导，则存在所以有即函数在点处连续．14四、几何意义(切线方程)

函数y=f(x)在点x0处的导数就是曲线y=f(x)在点处的切线斜率k，即.这就是导数的几何意义．因此,曲线在点处的切线方程为法线方程为15

例３求曲线在点(1，1)处的切线方程和法线方程．解因此切线方程为,即

法线方程为

,即16(7)(8)(3)(4)(1)(2)基本初等函数的导数(为常数)

(5)(6)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)17

3．对数函数的导数即特别地，当a=e时，18导数的四则运算法则复合函数的导数隐函数的导数对数求导法参量函数求导§3.2求导法则反函数的导数19

3.2.1导数的四则运算法则定理3.31．若函数u(x)和v(x)都在x处可导，则有以下结论。20例3.7

设，求．解解:21例3.9

设，求．解即22

定理

若在区间内(单调)可导且则有反函数定义于值域反函数的导数为3.2.2反函数的导数例7求函数的导数．解由已知，则，23例3.10

解由已知，则，.24

注:1.这个公式可以推广到两个以上函数复合的情形．2.注意区别与.3.复合函数的求导法则也被称作是链式求导法则。

定理3.5

如果函数u=g(x)在x点处可导，而函数y=f(u)在对应的点u处可导，那么复合函数y=f(g(x))也在点x处可导，且有3.2.3复合函数的导数,因此25例3.12

求导数

解：显然是由，由复合函数的链式求导法则可得：26例3.13

求下列函数的导数解：函数显然是由复合而成的,因此27例3.14

求下列函数的导数解

:

函数显然是由复合而成的,因此28例3.16

求的导数．解293031

前面我们所讨论的函数y=f(x)，其因变量y直接可用含自变量x的表达式表示，称这样的函数为显函数．但经常也会遇到由方程F(x,y)=0所确定的两个变量x,y之间的函数关系，称这样的函数为隐函数．如由方程:3.3隐函数、参变量函数的导数和高阶导数

有些隐函数可化成显函数，如由方程解出,则隐函数化成了显函数，但有些隐函数不易化成显函数,例如隐函数.32

下面介绍由方程所确定的隐函数的直接求导方法：

将方程两边逐项对自变量x求导数,在求导过程中，把y看成x的函数，可得到包含y'及x和y的一个方程,从中解出y'，即得到隐函数的导数33

例3.22

求由方程确定的隐函数的导数．解方程两边对求导，得解之得34

例3.23

求在点处的切线方程。解方程两边对求导，得35

参数函数是隐函数以外的另一种灵活表达函数的形式。如：3.3.2、参数函数求导对，也可写为一般形式：（直观：运动）36导数联系：斜率＝两方向速度比直观：点运动速度（切于曲线）37例椭圆参数方程求处切线方程解：38

如果导函数仍是的可导函数，就称其的导数为函数的二阶导数,记作或

相应地，把y=f(x)的导数y'=f'(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数．

类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，一般地函数y=f(x)的n-1阶导数的导数叫做函数y=f(x)的n阶导数，分别记作二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．3.3.3

高阶导数39解例1

求函数的二阶及三阶导数．40例2

求函数的阶导数．解41例3

求的阶导数．解由公式常用公式42求参数方程的2阶导数43例3.30求参数方程的2阶导数44一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的基本公式与运算法则四、微分的形式不变性五、微分在近似计算上的应用§3.4函数的微分45

函数的导数表示函数关于自变量变化的快慢程度(变化率)．但在许多情况下，需要考察或者估算函数改变量的大小，特别是当自变量发生微小变化时函数改变量的大小．这就需要引进微分的概念．

一、微分的概念

引例已知正方形的面积是边长的函数，若其边长由变化到，问正方形的面积改变了多少?当很微小时,正方形的§3.4函数的微分46面积改变的近似值是多少?

当边长由变化到，面积相应的改变量为如图中蓝色部分区域即表示

可以把分成两部分第一部分是的线性函数(图中天蓝部分)，第二部分(图中纯蓝部分)，当时，是比较高阶的无穷小量，因此当很小时，我们用近似地表示,即47

上述结论对于一般的函数是否成立呢?下面说明对于可导函数都有此结论．设函数在点处可导，则有根据函数极限与无穷小量的关系得于是

当时，函数的改变量表示成两部分之和，一部分关于的线性函数，通常把它叫做的线性主部；另一部分当时，是比较高阶的无穷小量，所以当很小时，有48一般地有

特别当时,称为函数在点的微分,记作

或即

注1:规定自变量的微分就等于其改变量,即.于是有即函数

定义3.5:设函数在点处可导，称为函数在点处的微分，记作或，即此时,我们也说函数在点处可微.49在点处的微分等于该函数在该点的导数与自变量微分的乘积.

注2:对两边同时除以后得到,它反映了函数的微分与其导数之间的关系,可见函数的导数即是函数的微分与自变量微分的商,因此常常把导数也称为微商.注3:从定义易见可微与可导的关系是定理3.6可微必可导,可导也必可微.例1求下列函数的微分解(1)

因为50例2

已知求及．解所以(2)

方程两边同时对求导,并把看作的函数,得解之得故51微分的几何意义：设函数的图象如下图所示．在曲线上取定一点，过该点作曲线的切线它与轴的交角为，则该切线的斜率为改变量，且

当自变量在处取得改变量时，就得到曲线上另一点，即相应曲线纵坐标得到相应的改变量同时点处的切线的纵坐标也得到相应的演示52

三、微分的基本公式与运算法则

根据定义，函数微分就是函数导数与自变量微分之积，所以由导数的基本公式和运算法则得到相应的微分基本公式和运算法则．

（9）

微分的几何意义：在曲线上点处，当自变量取得改变量时，曲线在该点处切线纵坐标的改变量即是函数在点处微分的几何意义.．显然,与相差，当很小时有531．微分基本公式542．微分的运算法则设在点均可微,则有(3)(4)(1)(2)55

四、微分形式的不变性

设函数可导，当

是自变量时，其微分为

而当是的函数,而是的函数,即时,为复合函数,微分为