浙江省杭州市上城区天杭中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年浙江省杭州市上城区天杭中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）在下列函数表达式中，属于二次函数的是A． B． C． D．2．（3分）下列事件是必然事件的是A．打开电视机，正在播放动画片 B．2018年世界杯德国队一定能夺得冠军 C．某彩票中奖率是，买100张一定会中奖 D．投掷一枚普通的正方体骰子，连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于193．（3分）已知的半径为2，点在同一平面内，，则点与的位置关系是A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断4．（3分）用配方法将二次函数化为顶点式的形式为A． B． C． D．5．（3分）如图，正五边形内接于，则的度数为A． B． C． D．6．（3分）下列命题中是真命题的为A．弦是直径 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．相等的弧所对的弦相等 D．相等的圆心角所对的弧相等7．（3分）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤8．（3分）已知二次函数的图象上有，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．9．（3分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离间的关系为，由此可知铅球推出的距离是A． B． C． D．10．（3分）如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是A． B．2 C． D．二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．（4分）若二次函数的图象过点，则．12．（4分）“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达，若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有人有此习惯．13．（4分）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长是，面积是．14．（4分）直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是．15．（4分）已知二次函数为常数），当时，函数有最小值，则的值为．16．（4分）如图，是的直径，弦垂直平分，点是弧上的一点，连结，，，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是．三、解答题（本大题共7小题，共66分）17．（6分）上城区要在语、数、英、科、社五科中，随机抽出两科进行期末抽测．（1）抽到数学学科的概率是；（2）用画树状图或列表法求抽到的学科恰好是数学和英语的概率．18．（6分）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为．（1）作出该圆弧所在圆的圆心；（2）求这钢梁圆弧的半径长．19．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点．（1）求二次函数的表达式；（2）求出该函数与轴的交点坐标；（3）画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围．20．（10分）已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连结、．（1）求证：；（2）求证：．21．（10分）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为，面积为．（1）（用含的代数式表示）．（2）求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．（3）饲养室长为何值时，占地面积最大？并求出的最大值．22．（12分）已知二次函数．（1）若当时，该函数有最小值，求的值．（2）若二次函数图象向上平移4个单位后与轴只有一个交点，求的值．（3）已知，当时，随着的增大而增大，试求出的一个值．23．（12分）如图1，在半径为2的扇形中，，点是上的一个动点（不与点、重合），点是的中点，交于，于．（1）当时，求线段的长；（2）在△中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．（3）设，，求关于的函数关系式，并写出自变量取值范围．

2022-2023学年浙江省杭州市上城区天杭中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共30分）1．（3分）在下列函数表达式中，属于二次函数的是A． B． C． D．【分析】分别利用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：、是反比例函数关系，故此选项不符合题意；、是一次函数关系，故此选项不符合题意；、是二次函数关系，故此选项符合题意；、不是二次函数关系，故此选项不符合题意；故选：．【点评】此题主要考查了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．2．（3分）下列事件是必然事件的是A．打开电视机，正在播放动画片 B．2018年世界杯德国队一定能夺得冠军 C．某彩票中奖率是，买100张一定会中奖 D．投掷一枚普通的正方体骰子，连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．【解答】解：、打开电视机，正在播放动画片是随机事件，不符合题意；、2018年世界杯德国队一定能夺得冠军是随机事件，不符合题意；、某彩票中奖率是，买100张一定会中奖是随机事件，不符合题意；、投掷一枚普通的正方体骰子，连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19是必然事件，符合题意；故选：．【点评】本题考查了必然事件的概念．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．（3分）已知的半径为2，点在同一平面内，，则点与的位置关系是A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断【分析】根据点到圆心的距离与半径的关系进行判断即可．【解答】解：，，，点在外，故选：．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键，即点在圆外，点在圆上，点在圆内．4．（3分）用配方法将二次函数化为顶点式的形式为A． B． C． D．【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式．5．（3分）如图，正五边形内接于，则的度数为A． B． C． D．【分析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出、，根据等腰三角形的性质求出，计算即可．【解答】解：五边形为正五边形，，，，，故选：．【点评】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于是解题的关键．6．（3分）下列命题中是真命题的为A．弦是直径 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．相等的弧所对的弦相等 D．相等的圆心角所对的弧相等【分析】根据弦的概念、垂径定理的推论、圆心角、弧与弦的关系判断即可．【解答】解：、弦不一定是直径，故本选项命题是假命题，不符合题意；、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故本选项命题是假命题，不符合题意；、相等的弧所对的弦相等，是真命题，符合题意；、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；故选：．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．（3分）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤【分析】①利用抛物线与轴有2个交点可进行判断；②根据二次函数的开口方向确定的符号，根据对称轴确定的符号，根据二次函数的图象与轴的位置确定的符号即可判断；③根据对称轴是直线即可判断；④利用时，可进行判断；⑤根据抛物线与轴的交点即可判断．【解答】解：①抛物线与轴有2个交点，△，所以①正确；②图象开口向下，得，对称轴，，图象与轴的交点在轴的上方，得，，故②正确；③抛物线的对称轴为直线，，，所以③正确；④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为，图象与轴的另一个交点为，当时，，，故④错误；⑤二次函数的图象过，，方程的解是，，故⑤正确．故选：．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，与轴的交点，此类题目，要注意利用好特殊自变量的函数值的应用．8．（3分）已知二次函数的图象上有，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【分析】由二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点值越大，进而求解．【解答】解：，抛物线开口向下，且对称轴为直线，，，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，根据二次函数图象作答，不需要求函数值．9．（3分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离间的关系为，由此可知铅球推出的距离是A． B． C． D．【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．【解答】解：令函数式，中，，，解得，（舍去），即铅球推出的距离是．故选：．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．10．（3分）如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是A． B．2 C． D．【分析】于，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小，根据正方形的性质和勾股定理即可得到结论．【解答】解：于，点在以为直径的圆上，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小，正方形的边长为4，，，，，线段的最小值是，故选：．【点评】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共24分）11．（4分）若二次函数的图象过点，则．【分析】将点代入二次函数的解析式即可得出的值．【解答】解：将点代入二次函数得：，．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，待定系数法是比较常用的一种方法．12．（4分）“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达，若随机选择150名“中年人”进行调查，则估计有90人有此习惯．【分析】用总人数乘以有“手机阅读”习惯的百分比，据此可估计总体中有此习惯的人数．【解答】解：根据题意知估计有此习惯的人数为（人，故答案为：90．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．13．（4分）已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长是，面积是．【分析】直接根据弧长公式及扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：扇形的圆心角为，半径为6，扇形的弧长；面积．故答案为：，．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．14．（4分）直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是5．【分析】根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，即可得出答案．【解答】解：如图，，，，外接圆半径为5．故答案为：5．【点评】本题考查了三角形的外接圆以及外心，注意：直角三角形的外心是斜边的中点．15．（4分）已知二次函数为常数），当时，函数有最小值，则的值为．【分析】根据二次函数为常数），当时，函数有最小值，利用二次函数的性质和分类讨论的方法可以求得的值．【解答】解：二次函数，当时，函数有最小值，当时，时取得最小值，，得（舍去），当时，时取得最小值，，得（舍去），（舍去），当时，时取得最小值，，得，由上可得，的值是，故答案为：．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．（4分）如图，是的直径，弦垂直平分，点是弧上的一点，连结，，，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的是①③④．【分析】如图，连接，，过点作于点，交的延长线于点，在上取一点，使得．首先证明，，是等边三角形，再证明，可以推出①②④正确．【解答】解：如图，连接，，过点作于点，交的延长线于点，在上取一点，使得．垂直平分线段，，，，是等边三角形，，，，，是等边三角形，，故①正确，，是等边三角形，，，，，，，，故③正确，，，，，四边形的面积，故④正确，在中，，，无法确定的值，，故②错误．故答案为：①③④．【点评】此题考查了圆周角定理、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及等腰直角三角形性质．注意证得，，是等边三角形是关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分）17．（6分）上城区要在语、数、英、科、社五科中，随机抽出两科进行期末抽测．（1）抽到数学学科的概率是；（2）用画树状图或列表法求抽到的学科恰好是数学和英语的概率．【分析】（1）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到数学学科的结果数，再利用概率公式可得出答案．（2）由树状图可得抽到的学科恰好是数学和英语的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中抽到数学学科的结果有：（语，数），（数，语），（数，英），（数，科），（数，社），（英，数），（科，数），（社，数），共8种，抽到数学学科的概率是．故答案为：．（2）由树状图可得，抽到的学科恰好是数学和英语的结果有2种，抽到的学科恰好是数学和英语的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．18．（6分）如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为．（1）作出该圆弧所在圆的圆心；（2）求这钢梁圆弧的半径长．【分析】（1）在上取一点，连接，作线段，的垂直平分线交于点，点即为所求；（2）过点作一点交一点．连接．设，利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）如图，点即为所求；（2）过点作一点交一点．连接．设，，，在中，，，．这钢梁圆弧的半径长为．【点评】本题考查作图应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．19．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标为，且过点．（1）求二次函数的表达式；（2）求出该函数与轴的交点坐标；（3）画出该二次函数的图象，并写出当时，自变量的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）令，即可得到关于的方程，即可得解；（3）由（1）（2）即可作图，结合图象可得的范围．【解答】解：（1）设抛物线的解析式是，则，解得：．则抛物线的解析式是，即；（2）在中令，则，解得：或3，则函数与轴的交点坐标，；（3）由（1）（2）得，抛物线顶点为，与轴交点坐标为，；令，则，与轴交于．作图如下．当时，．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及函数与轴、轴的交点坐标的求法，是一个基础题．20．（10分）已知：如图，内接于，为直径，的平分线交于点，交于点，于点，且交于点，连结、．（1）求证：；（2）求证：．【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再利用等弧所对的圆周角相等可得，然后利用等量代换即可解答；（2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同角的余角相等可得，然后利用三角形外角的性质可得，从而可得，最后根据等角对等边，即可解答．【解答】证明：（1）平分，，，；（2）为的直径，，，，，，，，，，，．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．21．（10分）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽为，面积为．（1）（用含的代数式表示）．（2）求出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围．（3）饲养室长为何值时，占地面积最大？并求出的最大值．【分析】（1）依据题意，由，从而，进而可以得解；（2）由（1）根据矩形的面积即可写出函数关系式，同时求出自变量取值范围；（3）根据（2）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积．【解答】解：（1）由题意，，．故答案为：．（2）根据题意，得，，．答：与的函数关系式为，值的取值范围是．（3）由题意，．，对称轴，开口向下，当时，最大，最大值．答：当的长是米时，围成的花圃的面积最大，最大面积是平方米．【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是综合掌握二次函数和一元二次方程的应用．22．（12分）已知二次函数．（1）若当时