对数的运算性质导学案 高一上学期数学北师大版（2019）必修+第一册

§2对数的运算2.1对数的运算性质【学习目标】1.掌握对数的运算性质.2.理解对数运算性质的推导过程.3.通过推导对数运算性质的过程,提升数学运算的核心素养.◆知识点对数的运算性质若a>0,且a≠1,M>0,N>0,b∈R,则有(1)loga(M·N)=;

(2)logaMN=(3)logaMb=blogaM.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)loga(M·N)=logaM·logaN,其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. ()(2)loga(M±N)=logaM±logaN,其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. ()(3)logaM·logaN=loga(M+N),其中a>0,且a≠1,M>0,N>0. ()(4)log214=-2. (◆探究点一对数的运算性质例1已知a>0且a≠1,x>0,y>0,z>0,用logax,logay,logaz表示下列各式:(1)loga(xyz);(2)logaxy(3)loga3x2yz;变式[2024·广东两阳中学高一月考]若2a=log28,b=log213,则1a+1b= ()A.0 B.2 C.4 D.8[素养小结]利用对数的运算性质解题时,一定要注意真数的取值范围是(0,+∞).公式可以逆用.◆探究点二利用对数运算性质求值例2计算:(1)4lg2+3lg5-lg15(2)lg27(3)2log32-log3329+log38-5变式计算:(1)12lg3249-43lg8+(2)lg2+lg5-lg8lg50(3)lg5·(lg8+lg1000)+(lg23)2+lg16+lg0.[素养小结]利用对数的运算性质求值时,一般有两个思路:(1)正用公式:将式中真数的积、商、幂运用对数的运算性质化为对数的和、差、积,然后化简求值;(2)逆用公式:将式中对数的和、差、积运用对数的运算性质化为真数的积、商、幂,然后化简求值.拓展已知m>0,且10x=lg(10m)+lg1m,求实数x的值◆探究点三条件求值与化简例3(1)已知lg2=m,lg3=n,求100m-2n的值.(2)已知log32=a,3b=5,用a,b表示log330.变式(1)设5m=9,则log53= ()A.2m B.1m C.m D(2)已知log53=a,log54=b,则log5270可表示为 ()A.32ab B.3a+b2C.3a+b2 D.a3+b+[素养小结]条件求值与化简的基本原则和方法:①正用或逆用对数运算性质;②对真数进行处理,要么把已知条件的真数化简,要么化简所求对数的真数.§2对数的运算2.1对数的运算性质【课前预习】知识点(1)logaM+logaN(2)logaM-logaN诊断分析(1)×(2)×(3)×(4)√【课中探究】探究点一例1解:(1)loga(xyz)=logax+logay+logaz.(2)logaxy2z=loga(xy2)-logaz=logax+logay2-logaz=logax+2logay-(3)loga3x2yz=loga(3x2y)-logaz=logax23+logay-logaz12=2(4)logax5y3z2=loga(x5y3)-logaz2=logax5+logay3-2logaz=5logax+3log变式A[解析]由2a=log28得2a=3,所以a=log23,又b=log213,所以a+b=log23+log213=log21=0,所以1a+1b=a+b探究点二例2解:(1)原式=lg24×5315=lg(2)原式=lg(33)1(3)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3=5log32-(5log32-2)-3=-1.变式解:(1)原式=12(5lg2-2lg7)-43×32lg2+12(2lg7+lg5)=52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5=12lg2+12lg5=12(lg2+lg(2)原式=lg2×58lg5040+log2(2)-1=(3)原式=3lg5·(1+lg2)+3(lg2)2-lg6+lg6-2=3lg2·(lg5+lg2)+3lg5-2=3-2=1.拓展解:10x=lg(10m)+lg1m=lg10m·1m=lg10=探究点三例3解:(1)∵lg2=m,lg3=n,∴10m=2,10n=3,∴100m-2n=(102)m-2n=102m-4n=102m104n(2)∵3b=5,∴b=log35.又log32=a,∴log330=12log3(2×3×5)=12(log32+log33+log35)=12(变式(