走近数学建模8.2数学建模的主要步骤 数学建模活动的主要过程+导学案 高一上学期数学北师大版（2019）必修+第一册

第八章数学建模活动（一）§1走近数学建模§2数学建模的主要步骤§3数学建模活动的主要过程【学习目标】1.了解哥尼斯堡七桥问题的由来,理解欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的方法,掌握一笔画定理的步骤.2.了解数学模型的实际背景及其数学描述,了解数学模型中的参数、结论的实际意义.3.能够在熟悉的情境中发现问题并转化为数学问题.4.通过案例,熟悉模型分析、模型假设、模型建立、模型求解的全过程,理解初等模型的特点及一般的建模方法,提高数学建模能力,提高理论联系实际的能力.5.了解课题研究的四个步骤及每个步骤所包含的内容.一、数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.二、数学建模的基本步骤1.提出问题实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的,原始的问题往往是一个希望得到优化的期待,或是某个不良现象的消失.这就需要透过现象,明确地提出问题.2.建立模型在一定的知识积累的基础上,预测建立的数学模型,抓住主要因素,摒弃次要因素,做出适当简化和假设.在假设的基础上,用数学概念表示实际问题,用数学结构反映实际问题中各个量之间的关系.3.求解模型这个过程就是求解数学问题.值得注意的是,如果目标是求值,一般不容易求得精确值,这就要根据需要求近似解.4.检验结果用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况,就要重新建模.三、建模举例1.问题提出妹妹小英过生日,妈妈给她做了一块边界形状任意的蛋糕(如图所示),哥哥小明也想吃,小英指着蛋糕上一点对哥哥说,你能过这一点切一刀,让切下的两块蛋糕的面积相等吗?如果能做到,便把其中的一块送给你.2.模型假设(1)假设蛋糕是平放在桌上的,即蛋糕上表面与水平面是平行的.(2)假设蛋糕的质地均匀,即蛋糕密度相同,形状为不规则柱形.3.模型建立已知平面上一条没有交叉点的封闭曲线(无论什么形状),P是曲线所围成的图形内部一点.(如图)求证:存在一条过P的直线l,将这个图形的面积二等分.4.模型求解过点P任作一条直线l,l将曲线所围成的图形分为两部分,其面积分别记为S1,S2.如果S1=S2,则l即是所要找的直线.现在,我们考虑S1≠S2的情形.不失一般性,设S1>S2.建立如图所示的坐标轴(x轴),并在直线l上取一点Q(异于点P),把x轴的正方向以点P为旋转中心,旋转到射线PQ的方向所成的角记为α,并设初始位置的角为α0.以点P为旋转中心,将直线l按逆时针方向旋转,则面积S1,S2就连续地依赖于角α的变化而变化,即S1=S1(α),S2=S2(α)都是关于α的连续函数(图象是一条连续的曲线).令f(α)=S1(α)-S2(α),则函数f(α)是闭区间[α0,α0+π]上的连续函数,并且f(α0)=S1(α0)-S2(α0)>0,f(α0+π)=S1(α0+π)-S2(α0+π)=S2(α0)-S1(α0)<0.则根据零点存在定理可知,存在一点c∈(α0,α0+π),使得f(c)=S1(c)-S2(c)=0,即存在一点c∈(α0,α0+π),使得S1(c)=S2(c).5.模型结论通过上述几何问题的证明,我们得知,对于蛋糕上的任意一个指定的点,一定存在过这个指定点的一条直线l,使得沿l切开这块蛋糕能将这块蛋糕切成面积相等的两块.6.模型评价本模型只从理论上证明了二等分蛋糕的可行性.但是,并没有解决怎样将一个蛋糕具体二等分的问题.四、数学建模活动的主要过程1.选题“选题”就是选定研究的问题.选题来源有三:(1)阅读已有的研究论文,用同样的方法研究类似的问题.(2)研究已有的论文,换个视角、增加问题的复杂性,进一步研究相关的问题.(3)用数学的眼光观察世界,发现研究新的问题.2.开题“开题”是进一步明确研究的问题和设计解决问题的方案.开题主要做的工作是:(1)明确研究的问题,说明问题研究的价值,估计可能的结果;(2)选择研究方法,确定人员分工,形成研究的实施方案;(3)完成开题报告.3.做题“做题”是研究者(研究小组)建立数学模型、用数学解决实际问题的实践活动.“做题”需要