专题07三角形中的重要模型-等积模型（教师卷）

专题07三角形中的重要模型等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当//，则；反之，如果，则可知直线//。图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。如图2，当点D是BC边上的动点时，则S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC。如图3，当点D是BC边上的动点，BE⊥AD，CF⊥AD时，则S△ABD∶S△ADC＝BE∶CF。例1．（山东省临沂市20232024学年八年级月考）如图，是边的中线，点E在上，，的面积是3，则的面积是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出．【详解】解：∵是边的中线，的面积是3，∴，∵，∴，故选：D．【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．例2．（河北省石家庄市20232024学年八年级月考）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是32，则阴影部分的面积是（）

A．9 B．12 C．18 D．20【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵是的边上的中线，∴，∵是的边上的中线，∴，又∵是的边上的中线，则是的边上的中线，∴，，则，故选：B．【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．例3．（湖北十堰五校联考20232024学年八年级月考）如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：．已知的面积为2，则的面积为．【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：，的面积为2，的面积为4，的面积为，点为的中点，的面积的面积，的面积为，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．例4．（浙江省杭州市20232024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，E为边上一点且，相交于F，四边形的面积为6，则的面积是．

【答案】14.4【分析】连接,设则根据为边上中线，可得；根据，可得进而，的面积可表示为和由此建立方程解出a的值即可得到的面积.【详解】解：连接，如图所示：设则

∵为边上中线，∵，，，即解得:.，故答案为:14.4.【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.例5．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图1，是边上的中线，则．理由：因为是边上的中线，所以．又因为，，所以．所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图2至图4中，的面积为a．(1)如图2，延长的边到点D，使，连接．若的面积为，则（用含a的代数式表示）；(2)如图3，延长的边到点D，延长边到点E，使，，连接．若的面积为，则（用含a的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长到点F，使，连接，，得到（如图4）．若阴影部分的面积为，则（用含a的代数式表示）；拓展应用：(4)如图5，点D是的边上任意一点，点E，F分别是线段，的中点，且的面积为，则的面积为（用含a的代数式表示），并写出理由．【答案】(1)a(2)2a(3)6a(4)2a，见解析【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；（2）连接，运用“等底同高的三角形面积相等”得出，即可得解；（3）由（2）结论即可得出，从而得解；（4）点E是线段的中点，可得，．．点F是线段的中点，可得．从而可得答案．【详解】（1）解：如图2，延长的边到点，使，为的中线，即；（2）如图3，连接，延长的边到点，延长边到点，使，，，，，即；（3）由（2）得，同理：，，；（4），理由如下：理由：∵点E是线段的中点，∴，．∴．∵点F是线段的中点，∴．∴．【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．例6．（2023春·上海·九年级期中）解答下列各题(1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等．(2)解答下题．①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______．②如图3，、、三点在同一直线上，，垂足为．若，，，，求的面积．(3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）．【答案】(1)(2)①15；②(3)图见解析，理由见解析【分析】（1）根据，可得和同底等高，即可求解；（2）①先求出，再由，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；②先求出=，再由，，可得AC∥BF，从而得到，即可求解；（3）过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得，从而得到，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴和同底等高，则与的面积相等；（2）解：①∵，且边上的高为5，∴，∵，∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，∴；②∵，，，∴，∵，，∴，，∴∠EBG=120°，∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴；（3）解：如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，理由如下：∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴，∴，∴，∵，∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键．模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系如图1，结论：①或；②。梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系如图2，结论：①；②；③梯形的对应份数为。例1．在四边形ABCD中，AC和BD互相垂直并相交于O点，四个小三角形的面积如图所示．则阴影部分三角形BCO的面积为．【答案】45【详解】设阴影部分面积为x。根据蝴蝶（风筝）定理：即：20：x=16：36解得：x=45估阴影部分的面积为45.例2、如图，S△ACB＝24平方厘米，S△ACD＝16平方厘米，S△ABD＝25平方厘米，则S△COB为平方厘米。【答案】9平方厘米【解析】在四边形ABCD中，根据蝴蝶（风筝）模型得：DO：BO＝S△ACD：S△ACB＝16：24＝2：3，则S△AOB＝S△ABD＝×25＝15（平方厘米），则S△COB＝S△ACB—S△AOB＝24—15＝9（平方厘米）例3、如下图，梯形的平行于，对角线，交于，已知与的面积分别为平方厘米与平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米．【答案】144平方厘米【解析】根据梯形蝴蝶定理，，可得，再根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面积为(平方厘米)．例4、如图，梯形中，、的面积分别为和，则梯形的面积为．【答案】7.5【解析】根据梯形蝴蝶定理，，所以，，，．例5、梯形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB垂直AC，并且已知AO＝6厘米，BO＝10厘米，则三角形DOC的面积是平方厘米。【答案】24平方厘米【解析】在梯形ABCD中，根据蝴蝶定理得：S△DOC＝S△AOB在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB2＝OB2—OA2＝102—62＝64＝82，所以AB＝8所以S△DOC＝S△AOB＝6×8÷2＝24（平方厘米）例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，则中间的四边形GQHS的面积为。【答案】17【解析】如下图，连接EF、GH和IJ在平行四边形ABEF中，根据蝴蝶模型得：S△ABP＝S△EPF＝6，在平行四边形EFGH中，S△EQF＝S△GQH＝13—6＝7；在平行四边形IDCJ中，S△DCT＝S△IJT＝5，在平行四边形GIJH中，S△GSH＝S△ISJ＝15—5＝10，所以S四边形GQHS＝S△GQH＋S△ISJ＝7＋10＝17模型3.燕尾（定理）模型条件：如图，在中，E分别是上的点，在上一点，结论：S1S2S3S4S1+S3S2+S4BEEC。例1、如图，△ABC中，M、N分别是BC、AC边上的三等分点，AM、BN相交于点O，已知△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为。【答案】8【解析】如图，连接OC由“燕尾定理”可得：,所以可得所以,所以四边形MCNO的面积为8.例2．（2023·山东·八年级专题练习）如图，在△ABC中，已知点P、Q分别在边AC、BC上，BP与AQ相交于点O，若△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，则△PQC的面积为（

）A．22 B．22.5 C．23 D．23.5【答案】B【分析】连接CO，根据△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，求出S△POQ=1.5，设S△OPC=x，S△COQ=y，仍然利用△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，列出关于x、y的方程组，解得x、y的值，然后利用S△QPC=S△OPC+S△COQS△POQ即可求出答案．【详解】连接CO，∵△BOQ、△ABO、△APO的面积分别为1、2、3，∴，，∴S△POQ=1.5，设S△OPC=x，S△COQ=y，则，解得，S△QPC=S△OPC+S△COQS△POQ=15+91.5=22.5．故选B．【点睛】本题考查三角形面积的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握三角形关于面积的相关知识与运算.例3．如下图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为．【答案】19【详解】连接BG，份根据燕尾定理，，得(份)，(份)，则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19例4．（2023江苏淮安九年级月考）已知的面积是60，请完成下列问题：

(1)如图1，若是的边上的中线，则的面积______的面积．（填“>”“<”“=”）(2)如图2，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法，连接，由得：，同理：，设，，则，由题意得：，，可列方程组为：，解得______，则可得四边形的面积为______．(3)如图3，，，则四边形的面积为______．(4)如图4，D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，与交于O，且，则四边形A的面积为______．【答案】(1)=(2)，20(3)11(4)【分析】（1）过点A作于点H，根据中线的定义得出，再根据三角形的面积公式得出，即可得出结论；（2）用加减消元法求解该二元一次方程组，根据，即可求解；（3）连接，根据题意得出，，则，，设，，则，，列出方程组求解，最后根据即可求解；（4）连接，根据题意得出，，用和（3）一样的方法即可求解．【详解】（1）解：过点A作于点H，∵是的边上的中线，∴，∵，∴，故答案为：=；

（2）解：，得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴原方程组的解为，∴，故答案为：，20；（3）解：连接，∵，，∴，，∵的面积是60，∴，，设，，则，，，解得：，∴；故答案为：11；

（4）解：连接，∵D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，∴，，∴，，∵的面积是60，∴，，设，，则，，，解得：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了三角形综合，解二元一次方程组，解题的关键是掌握同高三角形面积比等于底的比．模型4.鸟头定理（共角定理）模型图1图2共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。如图，在中，分别是上的点(如图1)或在的延长线上，在上(如图2)，则例1、如图，在三角形ABC中，D、E是AB,AC上得点，且AD：AB=2:5，AE：AC=4：7，三角形ADE的面积是16平方厘米，则ABC的面积为。【答案】70平方厘米【解析】①观察：图中存在鸟头模型‚假设：设三角形ABC的面积为a转化：由鸟头模型比例关系有：16：a=（4×2）：（5×7），得a=70。即三角形ABC的面积是70平方厘米。例2．（2023·山西晋中·九年级统考阶段练习）阅读理解如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比，例：在图1中，点D，E分别在AB和AC上，△ADE和△ABC是共角三角形，则证明：分别过点E，C作EG⊥AB于点G，CF⊥AB于点F，得到图2，∵∠AGE=∠AFC，又∵∠A=∠A，∴△GAE∽△FAC，∴又即任务：（1）如图3，已知∠BAC+∠DAE=180°，请你参照材料的证明方法，求证：（2）在（1）的条件下，若则AE=．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，过点E作EF⊥DA交DA延长线于F，可得∠EFA=∠CGA=90°，再由∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，推出∠CAG=∠EAF，即可证明△CAG∽△EAF，得到，再由，，得到．（2）根据，，可得，由此求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点C作CG⊥AB于G，过点E作EF⊥DA交DA延长线于F，∴∠EFA=∠CGA=90°，∵∠BAC+∠DAE=180°，∠DAE+∠EAF=180°，∴∠CAG=∠EAF，∴△CAG∽△EAF，∴，∵，，∴；（2）∵，，∴，∵∴故答案为：6．【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解题关键在于能够准确读懂题意作出辅助线构造相似三角形．例3．（2023·重庆·九年级专题练习）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE∥BC，则∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得．根据上述这两个式子，可以推出：．（2）如图3，若∠ADE＝∠C，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D在△ABC的边上，做AH⊥BC于H，可得：．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D、E分别在△ABC的边AB、AC反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，则．（2）如图6，E在△ABC的边AC上，D在AB反向延长线上，连接DE，已知线段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD中，G是BC边上的中点，延长GA到E，连接DE交BA的延长线于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，▱ABCD的面积为30，则△AEF的面积是．【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）;（2）；结论应用：【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；探究二，过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；延伸探究：（1）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；（2）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，然后按照探究一中方法证明即可；结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，可得,根据题意，进而得出,根据AM=DM,,可得FN=DN，根据AE=2，AG=4，，可得FN=2EF，进而可得ED=5EF，即可得出．【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴,∴，∴；探究二：过D、B点分别作,垂足分别为M、N，∵，∴,∴,；延伸探究：（1）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，∵，∴,∴,；（2）过D、B点分别作,垂足分别为M、N，∵，∴,∴,;结论应用：取AD的中点M，连接GM并延长交DE于点N，连接DG，∴AM=DM，，∵AE=2，AG=4，∴,∵AM=DM,,∴FN=DN，∵AE=2，AG=4，,∴,即：FN=2EF,∴ED=5EF，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．模型5.金字塔与沙漏模型金字塔模型沙漏模型条件：①；②。例1．（2023秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）如图，已知点D、E分别是边上的点，且，面积比为，交于点F．则（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形的性质可得，，再根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比即可求解．【详解】解：∵，是公共角，∴，∴，∵，∴，∵，面积比为∴相似比为，∴，故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，明确“相似三角形的对应边上高的比等于相似比”，灵活运用是关键．例2．（2023·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，中，，与相交于点．如果，那么等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，得到，，结合面积比等于相似比平方即可得到答案；【详解】解：∵，，∴，，∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．例3．（2023·江苏·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，则的面积与的面积的比为（

）A．1：2 B． C．1：4 D．【答案】C【分析】设小方格的边长为1，根据等腰直角三角形和勾股定理求出AB和CD的长，再根据得到，然后利用相似三角形的性质来求解．【详解】解：如下图，设小方格的边长为1，∵、分别是边长为1和2的等腰直角三角形，∴，，．∵，∴，∴．又∵，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形面积比与相似比的关系，关键是判断两三角形相似，确定其相似比．例4．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是6，则四边形的面积为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：由题意可知：，∴，∵，∴，∴，∵阴影部分的面积是6，∴，∴，∴；故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．例5．（2023·辽宁·九年级校考期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为米．

【答案】/【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解．【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点，则，

设米，由得，，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，解得，，∴车宽的长度为米，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．例6．（2023·四川成都·九年级成都实外校考期中）如图，中，点分别在上，且，于点M，于点N，于点D，交于点E，且，连接，若的面积等于75，则的最小值为．【答案】【分析】先证，利用对应高之比等于相似比，设，根据勾股定理表示出，通过配方求最小值．【详解】解：，，，，，，，，，，∴四边形是矩形，，，，，，，；的面积等于75，，，，，，设，则，，，∴当时，有最小值．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理，解决问题的关键熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．例7．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，矩形EFGH内接于（矩形各顶点在三角形边上），E，F在上，H，G分别在，上，且于点D，交于点N．(1)求证：(2)若，，设，则当x取何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？【答案】(1)见解析；(2)当取1.5时，矩形的面积最大，，最大面积是6.75．【分析】（1）由，可证；（2）由相似三角形的性质可得，表达出与的关系，进而求出矩形的面积与之间的函数关系式，进而解答．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，设矩形的面积为，则．∴当取1.5时，矩形的面积最大，最大面积是6.75．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．课后专项训练1．（2023山西八年级期末）如图在中，、分别是边、的中点．，，则图中阴影部分的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】可求得，，，据此即可求得答案．【详解】∵是边的中点，∴．∵是边的中点，∴．∵，∴．∴．故选：A．【点睛】本题主要考查三角形的中线，牢记三角形的中线的定义是解题的关键．2．（2023·江苏扬州·八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米，则矩形面积为平方厘米．【答案】60【详解】分别作出黄色三角形和绿色三角形的高线，据矩形的性质和三角形的面积公式说明S黄+S绿=S矩形，然后列式计算即可.详解：如图，分别作出4个三角形的高线.∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC,AB=CD.∴S黄+S绿=AD·OM+BC·ON=AD·AB=S矩形，∴S矩形=21÷(15％)=60平方厘米.故答案为60.点睛：本题考查了矩形的性质和三角形的而面积公式，证明S黄+S绿=S矩形是解答本题的关键.3．（2023安徽芜湖八年级期中）如图，在中，分别是的中点，且，则．

【答案】【分析】由点，，分别为边，，的中点可得是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积．【详解】解：已知点，，分别为边，，的中点，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，，点是的中点，，，，点是的中点，，即．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的中线和三角形面积之间的关系“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”，这也是本题的突破点．4．（浙江省杭州20232024学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，为边上一点且相交于，四边形的面积为，则的面积是．

【答案】【分析】连接，设，则，根据为边上中线，可得，；根据，可得，，进而的面积可表示为和，由此建立方程，解出的值即可得到的面积．【详解】解：连接，如图所示：

设，则，为边上中线，，，，，，，，即，解得：，，故答案为：．【点睛】本题考查与中线有关的三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题．5．（广东省宝安区文汇学校20232023学年九年级上学期月考数学试题）如图，的面积为，，则四边形的面积等于．

【答案】【分析】连接，求出，，,设，则，得到，解方程后即可得到四边形的面积．【详解】解：如图，连接，

∵∴，∴，∴，∵的面积为，∴，∴，,设，则，，解得，∴四边形的面积为．故答案是：【点睛】此题考查的是不同底等高的三角形面积，灵活分割三角形面积进行计算是解答此题的关键．6.如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是．【答案】22.5【详解】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．根据蝴蝶定理得设，根据共边定理我们可以得，，解得．7.如图，，，求梯形的面积．【答案】9【详解】设为份，为份，根据梯形蝴蝶定理，，所以；又因为，所以；那么，，所以梯形面积，或者根据梯形蝴蝶定理，．四边形的对角线与交于点(如图所示)。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍。【答案】【详解】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．9.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是．【答案】4【详解】解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD＝2：1，∴AE＝CE，∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．故答案为：4．10．如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于．【答案】【详解】方法一：连接，根据燕尾定理，，,设份，则份，份