浙江省温州十校联合体2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题

2023学年第二学期温州十校联合体期末联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分（共58分）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的补集及交集运算可得.【详解】由补集可得，又,所以.故选：D.2.的展开式中的常数项是（）A.120 B.60 C.60 D.120【答案】C【解析】【分析】直接根据二项式定理计算得到答案.【详解】的展开式通项为：，取得到常数项为：.故选：【点睛】本题考查了二项式定理求常数，意在考查学生的计算能力和应用能力.3.已知圆台的高为8，上､下底面圆的半径分别为2和8，则圆台的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆台的母线长，根据圆台的表面积公式计算即可求得答案.【详解】如图所示，由题知，，，则.故圆台的表面积.故选：D4.已知向量，在上的投影向量记为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据投影向量的模长公式进行计算【详解】，故.故选：C5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据得,可以求出的值,再根据即可求值.【详解】根据题意:,则,因为,所以,所以,所以.故选:A6.已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列、充要条件的定义判断可得答案.【详解】若，当时，，所以，当时，，所以，可得，即，可得是公比为2首项等比数列；若为等比数列，可得当时，，所以，即，则“”是“为等比数列”的充要条件.故选：C.7.若函数有4个零点，则正数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】当时，分析函数单调性及最值，得当时有且仅有一个零点，则当时，有3个零点，结合图象分析得，解不等式即可.【详解】当时，是减函数，且，故当时有且仅有一个零点，由题意得，当时，有3个零点，，，令，即，结合图象分析得，即，解得.故选：.8.已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（）A. B.C.是奇函数 D.【答案】B【解析】【分析】利用赋值判断A，令可判断C，令，结合条件求出函数周期可判断BD.【详解】令，则，解得，故A正确；令，则，即，因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确；令，则，因为不恒为0，且，所以只能，从而，周期4，显然，故B错误D正确.故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数（为虚数单位），下列结论正确的是（）AB.为纯虚数C.对应的点位于第四象限D.【答案】BC【解析】【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的模即可判断A；根据复数的乘法运算即可判断BD；根据共轭复数的定义及复数的几何意义即可判断C.【详解】，则，故A错误；为纯虚数，故B正确；，对应的点为，位于第四象限，故C正确；，，故D错误.故选：BC.10.已知函数，下列结论正确的是（）A.当时，在处的切线方程为B.当时，恒成立C.若恰有一个零点，则D.若恰有两个零点，则【答案】ABD【解析】【分析】求导，根据点斜式即可求切线方程判断A，根据导数判断函数的单调性，即可求解B，构造函数，由导数求解单调性，即可得直线与的交点个数，进而判断CD.【详解】对于A，当时，，，则，,故切线方程是，即，故A正确；对于B，当时，，，当单调递增，当单调递减，故，故B正确，对于CD，令，则，记，则，当单调递增，当单调递减，故，又，而，故当时，此时直线与有两个不相等的交点，当或时，直线与有1个交点，故C错误，D正确，故选：ABD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11.如图，是棱长为1正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（）A.平面B.与平面所成角的余弦值为C.若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个D.若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为【答案】AC【解析】【分析】建立以为原点空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，可得，即可判断A；设与平面所成的角为，由，即可判断B；由正方体各个顶点到平面的距离与比较，即可判断C；点在侧面内运动，且满足，可得点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动，而当点于或重合时与所成角为，即可判断D.【详解】对A，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，则，所以，即，所以平面，故A正确；对B，设与平面所成的角为，则，故B错误；对C，因为正方体的棱长为1，所以正的边长为，正方体的对角线，设到平面的距离为，由，则，则，则到平面的距离为，因为，所以在以为顶点的棱上，满足条件的点共有3个，又与平面所成角的正弦值为，所以到平面的距离为，因为，所以在棱上都存在满足条件的点，同理在都存在满足条件的点，而棱到平面最近的距离为，所以不存在满足条件的点，所以满足条件的点共有9个，故C正确；对D，设，则，又，所以，即，则点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动，而当点和或重合时与所成角为，故D错误.故选：AC.非选择题部分（共92分）三､填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件“两次向上点数之和为7”的概率为______.【答案】【解析】【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则基本事件有共个，记“两次向上点数之和为7”为事件，则包含的基本事件有，，，，，共个，所以.故答案为：13.在中，为所在平面内的两点，，，则的值为__________.【答案】12【解析】【分析】通过向量的线性运算，用向量分别表示，然后求出数量积.【详解】因为在中，，所以为正三角形，因为,,所以，故答案为：12.14.椭圆的左焦点为，直线与椭圆和圆心为的圆相切于同一点，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】求导可得椭圆在的切线斜率为，进而可得点的轨迹方程为（），利用点到直线的距离公式即可求解最小值.【详解】由可得，由于直线与椭圆相切于，故上半椭圆的方程为，求导得，因此，故椭圆在的切线斜率为，由于直线于圆也相切于，故圆心所在的直线斜率为1，且经过点，故点的轨迹方程为（），，故的最小值为到的距离，故答案为：四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别是.（1）求角的大小；（2）若面积为，且周长为6，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，边化角，再结合三角和角公式和诱导公式求解即可；（2）由面积公式求出，结合周长，得到，再用余弦定理得到，，代入求解即可．【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，因为所以因为，所以，所以，故【小问2详解】由题意得因为，所以由余弦定理得，所以所以，解得.16.在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间内，将样本数据按的分组作出频率分布直方图如图所示.（1）求的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值.假设所有参与者得分，试估计得分在上的人数.参考数据：若，则【答案】（1），估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分（2）估计得分在上的人数约为人.【解析】【分析】（1）由频率和为1解得，再根据频率分布直方图求出平均值；（2）取，标准差，利用正态分布的性质可得答案.【小问1详解】由题意得，解得，因为上的频率分别为，所以样本的平均值为，估计抽取的100位参与者得分的平均值为75分；【小问2详解】取，则，可得标准差，，，，，估计得分在上的人数约为人.17.已知四棱锥为的中点，平面，.（1）若，证明：平面；（2）若，二面角的大小为，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，且，即可得到，再由线面平行的判定定理，即可证明；（2）方法一：作交于，连接，由二面角的定义可得是二面角的平面角，再由勾股定理代入计算，即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的公式代入计算，即可求解.【小问1详解】证明：且为的中点，，平面平面，又且平面平面，平面，与共面，，又平面平面，平面.【小问2详解】法1：如图，作交于，连接.由得，，，且，是二面角的平面角，，又，，在中，，由，解得，.法2：如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.则，设，则，，设面的法向量为，由，令，可得设面的法向量为，由，令，可得.设二面角的大小为，则，.18.已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.（1）求的方程；（2）证明：直线恒过定点；（3）若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解，（2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，由垂直得斜率关系，即可代入化简求解，（3）根据中点坐标可得，即可根据三角形面积之比求解.【小问1详解】右顶点，解得.【小问2详解】设，可设直线.联立，得则，即..以为直径的圆经过点即，化简得当时，直线经过点，不符条件，舍去..直线必过定点.【小问3详解】由（2）知.,为中点，，代入得.由得.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.19.已知奇函数，其中.（1）求值；（2）若对任意上恒成立，求的取值范围；（3）记，证明：当时，.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）函数为奇函数，故，从而得到方程，化简得到，求出；（2）当时，，根据函数单调性，放缩得到对任意上恒成立，当时，可举出反例，从而得到结论；（3）变形得到，即证：当时，，构造，求导得到单调性和最值，得到结论.【小问1详解】为奇函数，，即，化简得，且，，，；【小问2详解】由（1）