专题124一次函数与方程不等式之间的关系（举一反三）（沪科版）（原卷版）

专题12.4一次函数与方程、不等式之间的关系【十大题型】【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1一次函数与一元一次方程的解】 1【题型2两个一次函数与一元一次方程】 2【题型3利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 3【题型4一次函数与二元一次方程（组）的解】 4【题型5不解方程组判断方程组解的情况】 4【题型6一次函数与一元一次不等式的解集】 6【题型7两个一次函数与一元一次不等式】 6【题型8一次函数与一元一次不等式组的解集】 8【题型9一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 9【题型10绝对值函数与不等式】 11【知识点1一次函数与一元一次方程、不等式的关系】1.任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.【题型1一次函数与一元一次方程的解】【例1】（2023春·天津·八年级统考期末）已知方程ax+b=0的解为x=-32，则一次函数y=ax+A．(3,0) B．(-23,0) C．(-2,0) D．(-32【变式11】（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）已知函数y=kx+b的部分函数值如表所示，则关于x的方程x…--1…y…53-…【变式12】（2023春·四川绵阳·八年级校联考期末）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为．【变式13】（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象经过点2,4，4,1，则方程【题型2两个一次函数与方程组、不等式组】方程组的解与相应函数的交点坐标是相对应的。找到函数的交点坐标，也就找到了对应方程组的解，反之一样。对于不等式组的解集也可以通过其对应的函数图象来解决。【题型2两个一次函数与一元一次方程】【例2】（2023春·青海西宁·八年级统考期末）如图，一次函数y1=k1x+b与y2=k

【变式21】（2023春·江苏南通·八年级统考期中）若一次函数y=kx+b与y=mx的图象交于点2,4，则关于x的方程2【变式22】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，已知直线y=-x与y=kx+b交于点P

【变式23】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1，l2分别是函数y=

（1）关于x的方程k1x+（2）若x=m，x=n分别为方程k1x+b1=3和【题型3利用一次函数的变换求一元一次方程的解】【例3】（2023春·安徽阜阳·八年级统考期末）若关于x的一次函数y=kx+b的图象经过点A-【变式31】（2023春·福建福州·八年级校联考期中）如图，一次函数y=ax+b的图象为直线l，则关于x的方程a【变式32】（2023秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为．【变式33】（2023秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝2，m＝﹣6．【题型4一次函数与二元一次方程（组）的解】【例4】（2023春·江西宜春·八年级江西省宜丰中学校考期中）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k为整数，若函数y=2x-1与y=A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式41】（2023春·北京东城·八年级北京二中校考期中）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（

）A．x+y=2x-2y=1 B【变式42】（2023•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=-12x+b﹣1上，则常数A．12 B．1 C．﹣1 D．【变式43】（2023春·吉林长春·八年级统考期末）如图，已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P，若二元一次方程组y=kx【题型5不解方程组判断方程组解的情况】【例5】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）【活动回顾】：八年级下册教材中我们曾探究过“以方程x+y=5的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．发现：以方程x

示例：如图1，我们在画方程x-y=0的图象时，可以取点A(-1,-1)和（1）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组x-y=12x（2）观察图象，上述两条直线的交点坐标为________，由此得出这个二元一次方程组的解是________；【拓展延伸】：（3）已知二元一次方程ax+by=7的图象经过两点A(1,2)和（4）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+3图象l1和一次函数y=x-【变式51】（2023秋·广东清远·八年级统考期末）函数y=ax+b与函数yA．无数解 B．无解 C．唯一解 D．不能确定【变式52】（2023秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组y（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；（3）当k，b为何值时，方程组无解．【变式53】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b)．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组y=（3）直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．（4）直接写出不等式x+1≥mx+n的解集．【题型6一次函数与一元一次不等式的解集】【例6】（2023秋·安徽马鞍山·八年级校考期中）已知一次函数y=ax+b的图象经过一、二、三象限，且与x轴交于点(-2，【变式61】（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)，x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式kx+b<0的解集是()x210123y321012A．x<0 B．x>0 C．x<1 D．x>1【变式62】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知一次函数y=ax+b（a、b是常数，a≠0）函数图象经过(1，4)，(2，2)两点，下面说法中：（1）a=2，b=2；（2）函数图象经过(1，0)；（3）不等式ax+b＞0的解集是x＜1；（4）不等式ax+b＜0的解集是x＜1；正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）【变式63】（2023秋·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(-2,0)，则关于x的不等式【题型7两个一次函数与一元一次不等式】【例7】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）一次函数y1=kx+b与y

A．x>-1 B．x>2 C．x<-1 D【变式71】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末）直线y1=kx+2k+3和直线y2=-2x【变式72】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）如图，直线y1=kx+b与x轴交于点A1,0，直线y2

(1)观察图象，直接写出不等式kx+(2)若不等式3x+m>kx【变式73】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1=-12x+6分别与x轴、y轴交于点B、C

(1)求出点A的坐标；(2)根据图象，直接写出y2>y(3)若M是线段OA上的点，且△COM的面积为9，求直线CM【题型8一次函数与一元一次不等式组的解集】【例8】（2023春·山东东营·八年级统考期末）已知：同一个坐标系中分别作出了一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2的图象，分别与

(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是_______；关于(2)请直接写出关于x的不等式k1(3)请直接写出关于x的不等式组k1(4)求△ABC【变式81】（2023秋·浙江·八年级期末）如图，直线y=kx+b(k≠0)经过A(-1,-2)和【变式82】（2023秋·四川成都·八年级校联考期末）已知直线y1=kx+1(k<0)与直线【变式83】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，一次函数y=﹣x﹣2与y=2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组{2x+【题型9一次函数与不等式组中的阴影区域问题】【例9】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读，我们知道，在数轴上，x=1表示一个点，而在平面坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2xy+1=0的所有解为坐标的点组成的图形，就是一次函数y=2x+1的图象，它也是一条直线，如图1，可以得出，直线x=1与直线y=2x+1的交点P的坐标（1，3）就是方程组x=1,2在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x=1以及它的左侧的部分，如图2；y≤2x+1，也表示一个平面区域，即直线y=2x+1以及它下方的部分，如图3．回答下列问题：（1）在直角坐标系（如图4）中，用作图的方法求方程组x=-2,（2）用阴影表示x≥-2,【变式91】（2023•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（）A．2x+y≥53C．2x+y≥5【变式92】（2023秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（）A．x﹣y≤﹣5 B．x+y≥﹣5 C．x+y≤5 D．x﹣y≤5【变式93】（2023春·河南许昌·八年级统考期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程xy=0的一个解x=1y=1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程xy=0的解为坐标的点的全体叫作方程xy=0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程xy=0的图象称为直线直线xy=0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式xy≤0，那么点M（x0，y0）就在直线xy=0的上方区域内．特别地，x=k（k为常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y=m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．请根据以上材料，探索完成以下问题：（1）已知点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直线3x2y=4上的点有；请再写出直线（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤4,0≤y≤3（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤10≤y≤22【题型10绝对值函数与不等式】【例10】（2023春·河南新乡·八年级统考期末）小东根据学习函数的经验，对函数y＝2-x下面是小东的探究过程．（1）化简函数解析式，当x≤2时，y＝；当x>2时，y＝．（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y＝2-x（3）结合函数图象，写出该函数的一条性质：．【变式101】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数y=下面是该学习小组的探究过程，请补充完整；(1)下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：x…012345…y…m0n23…表格中m的值为__________，n的值为___________．(2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图像：（提示：先用铅笔画图确定后用签字笔画图）(3)请观察函数的图像，直接写出如下结论；①当自变量x________时，函数y随x的增大而增大；②方程x+1-3=2的解是③不等式x+1<4的解集为【变式102】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．结合学习函数的经验，探究函数y=(1)列表：x…101234…y…234b21…请根据表格中的信息，可得a=__________，b=(2)①根据（1）中结果，请在给出的平面直角坐标系中，画出这